ch常系数线性微分方程组.pptx
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1、2013年6月1一阶一阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组线性微分方程组一阶一阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程组为线性微分方程组为先讨论先讨论(1)的求解的求解即即(1)的基解矩阵的求法的基解矩阵的求法.方法:代数的方法方法:代数的方法2013年6月3将将(2)代入代入(1)得得1 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系解法解法 找找n个线性无关的特解个线性无关的特解(构成基解矩阵)(构成基解矩阵)(构成基解矩阵)(构成基解矩阵)3.1 常系数齐次常系数齐次线性微分方程组线性微分方程
2、组2013年6月4方程组方程组(3)有非零解的充要条件是有非零解的充要条件是:结论结论即即2013年6月52 基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法-常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法(1)矩阵矩阵A具有具有n个线性无关的特征向量时个线性无关的特征向量时定理定理3.1是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵的一个基解矩阵.2013年6月6证明证明:由上面讨论知由上面讨论知,每一个向量函数每一个向量函数都是都是(1)的解的解,因此矩阵因此矩阵是是(1)的解矩阵的解矩阵,所以所以2013年6月7注注1:A的特征方
3、程的的特征方程的n个特征根都是单根个特征根都是单根由线性代数的知识有:由线性代数的知识有:属于不同特征值的特征向量是线性无关的属于不同特征值的特征向量是线性无关的是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵的一个基解矩阵.2013年6月8解解例例1 1 2013年6月92013年6月10其通解为其通解为2013年6月13注注2:A的特征方程有重根时,的特征方程有重根时,但有但有n个线性无关特征向量。个线性无关特征向量。且属于不同特征值共有且属于不同特征值共有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量:是常系数线性微分方程组是常系数线性微分方程组(1)的一个基解矩阵的一个基解矩阵.
4、2013年6月14解解例例2 2 设设求求A的特征值与特征向量的特征值与特征向量由此由此2013年6月152013年6月16得基础解系为:得基础解系为:由由2013年6月17故基解矩阵为故基解矩阵为故通解为故通解为2013年6月18 若属于若属于l li的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数ni如何确定常系数线性微分方程组如何确定常系数线性微分方程组(1)的的ni个个线性无关的特解?线性无关的特解?(2)矩阵矩阵A的线性无关的特征向量的个数的线性无关的特征向量的个数n时时2013年6月19定理定理3.22013年6月20说明说明1:其中其中2013年6月21说明说明2:对应于矩阵对应于矩
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