平面直角坐标系坐标法.ppt

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平面直角坐标系,-,坐标法,【,小试牛刀,】,1.,选择适当的平面直角坐标系，表示边长为,1,的正方形的顶点。,变式训练,如何通过它们到点,O,的距离以及它们相对于点,O,的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？,2.,已知,A(1,1),和,B(6,2),，求线段,AB,的垂直平分线,l,的方程。,【,小试牛刀,】,o,F,2,F,1,M,平面内,与两个定点,F,1,，,F,2,的距离的差,的绝对值等于常数（小于,F,1,F,2,),的点的轨迹叫做双曲线,.,这两个定点叫做,双曲线的焦点，,两焦点间的距离叫做,双曲线的焦距,|MF,1,|-|MF,2,|,=2a2c,双曲线定义的符号表述：,复习回顾,双曲线,x,2,y,2,前面的系数，哪个为正，,则在哪一个轴上,平面内到两个定点,F,1,，,F,2,的距离的差的绝对值等于常数（小于,F,1,F,2,）的点的轨迹,.,标准方程,不 同 点,相 同 点,图 形,焦点坐标,定 义,a,、,b,、,c,的关系,焦点位置的判断,双曲线的标准方程,实际应用,实际应用,实际应用,实际应用,直角坐标系实际应用,某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：,正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,，,正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚,4s,，已知各观测点到中心的距离都是,1020m,，试确定该巨响的位置。,(,假定当时声音传播的速度为,340m/s,，各相关点均在同一平面上,).,信息中心,观测点,观测点,观测点,P,B,A,C,y,x,O,声响定位问题,y,x,B,A,C,P,o,解：以接报中心为原点,O,，以,BA,方向为,x,轴，建立直角坐标系,.,设,A,、,B,、,C,分别是西、东、北观测点，,则,A(1020,0),B(,1020,0),C(0,1020),设,P,（,x,y,）为巨响为生点，,由,B,、,C,同时听到巨响声，得,|PC|=|PB|,，,故,，,PO,的方程为,，,P,在,BC,的垂直平分线,PO,上,y=,x,因,A,点比,B,点晚,4s,听到爆炸声，,故,.,|PA|,|PB|=3404=1360,由双曲线定义,P,点在以,A,B,为焦点的双曲线 上,a=,c=,b,2,=,.,680,1020,c,2,-a,2,=1020,2,-680,2,=5340,2,y,x,B,A,C,P,o,所以双曲线的方程为：,用,y=,x,代入上式，得,答,:,巨响发生在信息中心的西偏北,45,0,距中心,你能总结用坐标法解决问题的步骤吗？,y,x,B,A,C,P,o,解：以接报中心为原点,O,，以,BA,方向为,x,轴，建立直角坐标系,.,设,A,、,B,、,C,分别是西、东、北观测点，,则,A(1020,0),B(,1020,0),C(0,1020),设,P,（,x,y,）为巨响为生点，,由,B,、,C,同时听到巨响声，得,|PC|=|PB|,，,故,，,PO,的方程为,，,P,在,BC,的垂直平分线,PO,上,y=,x,因,A,点比,B,点晚,4s,听到爆炸声，,故,.,|PA|,|PB|=3404=1360,由双曲线定义,P,点在以,A,B,为焦点的双曲线 上,a=,c=,b,2,=,.,680,1020,c,2,-a,2,=1020,2,-680,2,=5340,2,建系,设点,列式并化简,y,x,B,A,C,P,o,所以双曲线的方程为：,用,y=,x,代入上式，得,答,:,巨响发生在信息中心的西偏北,45,0,距中心,说明,解决此类应用题的关键：,1,、建立平面直角坐标系,2,、设点,（点与坐标的对应）,3,、列式,（方程与坐标的对应）,4,、化简,5,、说明,坐 标 法,例,1.,已知,ABC,的三边,a,b,c,满足,b,2,+c,2,=5a,2,BE,CF,分别为边,AC,CF,上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究,BE,与,CF,的位置关系。,(A),F,B,C,E,O,y,x,解：,以,ABC,的顶点为原点,边,AB,所在的直线,x,轴，建立直角坐标系，由已知，点,A,、,B,、,F,的坐标分别为,A(0,0),B(c,0),F,.,，,(A),F,B,C,E,O,y,x,所以,2x,2,+2y,2,+2c,2,-5cx=0.,设,C,点坐标为,(x,y),，则点,E,的坐标,为,，,由,b,2,+c,2,=5a,2,，,|AC|,2,+|AB|,2,=5|BC|,2,，,即,x,2,+y,2,+c,2,=5(x-c),2,+y,2,，,=-(2x,2,+2y,2,+2c,2,-5cx)/4=0,因为,=,，,所以,=,。,(x/2-c,y/2)(c/2-x,-y),因此，,BE,与,CF,互相垂直,.,(x/2,y/2),(x/2-c,y/2),(c/2-x,-y),(c/2,0),例,1.,已知,ABC,的三边,a,b,c,满足,b,2,+c,2,=5a,2,BE,CF,分别为边,AC,CF,上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究,BE,与,CF,的位置关系。,(A),F,B,C,E,O,y,x,探究,：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？,(A),F,B,C,E,O,y,x,练习，证明：三角形的三条高线交于一点,练习，证明：三角形的三条高线交于一点,证明,:,如图，,AD,，,BE,，,CO,分别是三角形,ABC,的三条高，,取,，,建立直角坐标系，,边,AB,所在的直线为,x,轴,边,AB,上的高,CO,所在的直线为,y,轴,设,A,B,C,的坐标分别为（,-a,0),(b,0),(0,c),，则,k,AC,=,k,BC,=,.,因为，所以,k,AD,=,k,BE,=,.,由直线的点斜式方程，得直线,AD,的方程为,。,直线,BE,的方程为,。,由方程,与,，解得,。,所以，,AD,BE,的交点,H,在,y,轴上。因此，三角形的三条高线相交于一点,x=0,c/a,-c/b,b/c,-a/c,坐 标 法,(3),使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。,建系时，根据几何特点,选择适当,的直角坐标系，注意以下原则：,(1),如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；,(2),如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；,通过上面的例题，同学们你能归纳坐标法，建系时应注意什么？,1,、两个定点的距离为,6,，点,M,到这两个定点的距离的平方和为,26,，求点,M,的轨迹,解：设两定点为,A,B,，,，,，,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,以线段,AB,的中点为原点,设动点为,M,（,x,y),，由已知得到,，,即,，,整理得,。,则,A,B,的坐标分别为,，,。,所以，点,M,的轨迹方程为,。,（,-3,，,0,）,（,3,，,0,）,建系,求坐标,找关系式,代入坐标,化简,方程,。,小试牛刀,变形,、两个定点的距离为,6,，点,M,到这两个定点的距离的和为,10,，求点,M,的轨迹方程,解：设两定点为,A,B,，,，,，,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,以线段,AB,的中点为原点,设动点为,M,（,x,y),，由已知得到,，,根据椭圆的定义，,M,的轨迹是以,A,B,为,，,长轴长,2a=,的椭圆，则,c=,a=,b=,.,则,A,B,的坐标分别为,，,。,所以，点,M,的轨迹方程为,。,（,-3,，,0,）,（,3,，,0,）,建系,求坐标,找关系式,定义判断,焦点,10,3,5,4,小试牛刀,变形,、,ABC,中，若,AB,的长度为,6,，中线,CD,的长为,4,，建立适当的坐标系，求点,C,的轨迹方程,解：,，,，,AB,所在直线为,x,轴建立直角坐标系,以线段,AB,的中点为原点,设动点为,C,（,x,y),，由已知得到,，,即,，,整理得,。,则,A,B,的坐标分别为,，,。,所以，点,C,的轨迹方程为,。,（,-3,，,0,）,（,3,，,0,）,建系,求坐标,找关系式,代入坐标,化简,(x3),(x3),小试牛刀,2,、已知点,A,为定点，线段,BC,在定直线,l,上滑动，已知,BC=4,，点,A,到定直线,l,的距离为,3,，求,ABC,的,外心,的轨迹方程。,小试牛刀,2,、已知点,A,为定点，线段,BC,在定直线,l,上滑动，已知,BC=4,，点,A,到定直线,l,的距离为,3,，求,ABC,的,外心,的轨迹方程。,小试牛刀,解决此类应用题的关键：,1,、建立平面直角坐标系,2,、设点,（点与坐标的对应）,3,、列式,（方程与坐标的对应）,4,、化简,5,、说明,坐 标 法,课堂小结,完,。,M,N,O,P,X,y,例,2,圆,O,1,与圆,O,2,的半径都是,1,，,|O,1,O,2,|=4,，过动点,P,分别作圆,O,1,、圆,O,2,的切线,PM,、,PN(M,、,N,分别为切点,),使得,PM=PN,，试建立适当的坐标系，求动点,P,的轨迹方程。,解：以直线,O,1,O,2,为,x,轴，线段,O,1,O,2,的垂直平分线为,y,轴，建立平面直角坐标系，,则两圆的圆心坐标分别为,O,1,(-2,0),，,O,2,(2,0),，设,P(x,y),则,PM,2,=PO,1,2,-MO,1,2,=,同理，,PN,2,=,1,、点,M(4,3),关于点,N(5,-3),的对称点是（）,A.(4,-3)B.(9/2,0)C.(-1/2,3)D.(6,-9),3,、已知,M(-2,-3),与,N(1,1),是两个定点，点,P(x,3,）在线段,MN,的垂直平分线上，则点,P,的横坐标,x,的值是（）,A.-35/6 B.3/2 C.7/2 D.3,2,、已知,ABC,的顶点,A(3,-7),，,B(5,2),，,C(-1,0),，则,ABC,的重心,G,的坐标是（）,A.(7/3,-5/3)B.(7/3,-3)C.(-1/3,5/3)D.(-1/3,-3),4,、,y,轴存在一点,P,，满足,P,与,A(4,-6),的距离等于,5,，则点,P,的坐标为,。,平面直角坐标系,中的伸缩变换,思考：,怎样由正弦曲线,y=sinx,得到曲线,y=sin2x?,在正弦曲线,y=sinx,上任取一点,P(x,y),，保持纵坐标不变，将横坐标,x,缩为原来的,1/2,，就得到正弦曲线,y=sin2x,。,x,O,2,y,上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：设,P(x,y),是平面直角坐标系中任意一点，,保持纵坐标,y,不变，将横坐标,x,缩为原来,1/2,，得到点,P(x,y),，坐标对应关系为：,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标压缩变换。,怎样由正弦曲线,y=sinx,得到曲线,y=3sinx?,在正弦曲线上任取一点,P(x,y),保持横坐标,x,不变，将纵坐标伸长为原来的,3,倍，就得到曲线,y=3sinx,。,x,O,2,y,上述变换实质上就是一个坐标的伸长变换,即：设,P(x,y),是平面直角坐标系中任意一点，,设,P(x,y),是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标,x,不变，将纵坐标,y,伸长为原来的,3,倍，得到点,P(x,y),坐标对应关系为：,我们把式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换,.,在正弦曲线,y=sinx,上任取一点,P(x,y),，保持纵坐标不变，将横坐标,x,缩为原来的,1/2;,怎样由正弦曲线,y=sinx,得到曲线,y=3sin2x?,x,y,O,在此基础上，将纵坐标变为原来的,3,倍，就得到正弦曲线,y=3sin2x.,即在正弦曲线,y=sinx,上任取一点,P(x,y),，若设点,P(x,y),经变换得到点为,P(x,y),，坐标对应关系为,:,。,把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换,设,P(x,y),是平面直角坐标系中任意一点，在变换,:,定义,:,的作用下，点,P(x,y),对应,P(x,y).,称 为,平面直角坐标系中的伸缩变换,。,上述都是坐标伸缩变换，在它们的作用下,可以实现平面图形的伸缩。,在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。,把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；,例,1,在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换,:,后的图形。,(1)2x+3y=0;,(2)x,2,+y,2,=1,解：,(1),由伸缩变换,得到,代入,2x+3y=0;,；,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,得到经过伸缩变换后的图形的方程是,(2),将,代入,x,2,+y,2,=1,，,在伸缩变换,下，,直线仍然变成直线，,而圆可以变成椭圆，,那么椭圆可以变成圆吗？,抛物线、双曲线变成什么曲线？,补充练习：,1,求下列点经过伸缩变换,后的点的坐标：,（,1,，,2,）；（,-2,，,-1,）,.,2,曲线,C,经过伸缩变换,后的曲线方程是,则曲线,C,的方程是,.,3,将点（,2,，,3,）变成点（,3,，,2,）的伸缩变换是（）,4 曲线,变成曲线,的伸缩变换是,.,5,在伸缩变换,与伸缩变换,的作用下，,单位圆,分别变成什么图形？,6,设,M,1,是,A,1,(x,1,y,1,),与,B,1,(x,2,y,2,),的中点，经过伸缩变换后,它们分别为,M,2,A,2,B,2,，求证：,M,2,是,A,2,B,2,的中点,.,7,已知点,A,为定点，线段,BC,在定直线,l,上滑动，已知,|BC|=4,，点,A,到直线,l,的距离为,3,，求,ABC,的外心的,轨迹方程。,则,A,（,0,，,3,）,B,（,x-2,0,）,C(x+2,0),以,l,为,X,轴，过定点,A,垂直于,X,轴的直线为,Y,轴建立直角坐标系，,设,ABC,外心为,P,（,x,y,）,由,|PA|=|PB|,得,8,在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线,4x,2,+9y,2,=36,变为曲线,x,2,+y,2,=1,9,在同一直角坐标系下，经过伸缩变换,后,曲线,C,变为,x2,9y2=1,求曲线,C,的方程并画出图形。,y,x,B,A,C,P,o,以接报中心为原点,O,，以,BA,方向为,x,轴，建立直角坐标系,.,设,A,、,B,、,C,分别是西、东、北观测点，,则,A(1020,0),B(,1020,0),C(0,1020),设,P,（,x,y,）为巨响为生点，,因,A,点比,B,点晚,4s,听到爆炸声，,故,|PA|,|PB|=3404=1360,由,B,、,C,同时听到巨响声，得,|PC|=|PB|,，,故,P,在,BC,的垂直平分线,PO,上，,PO,的方程为,y=,x,，,由双曲线定义,P,点在以,A,B,为焦点的双曲线 上,a=680,c=1020,b,2,=c,2,-a,2,=1020,2,-680,2,=5340,2,.,所以双曲线的方程为：,用,y=,x,代入上式，得,答,:,巨响发生在信息中心的西偏北,45,0,距中心,谢谢观赏,谢谢大家！,结 语,