高中数学人教版(A版)必修-第一册(2019)-5.2.1-三角函数的概念课件-2021-2022学.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第五章 三角函数,5.2.1,三角函数的概念,教学目标,借助单位圆理解任意角三角函数的定义；,（重点）,01,根据定义认识函数值的符号，理解诱导公式一；,（重点）,02,能初步运用定义解决与三角函数值有关的一些简单问题；,（重点、难点）,03,04,学科素养,三角函数的概念；,数学抽象,三角函数的第一定义和第二定义；,数学建模,三角函数的第二定义的推导；,逻辑推理,通过定义求角的三角函数值；,数学运算,01,知 识 回 顾,Retrospective Knowledge,弧度制的定义：,我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做,1,弧度，记作,1,rad,，读作,1,弧度,.,角的扩充：,一条射线绕其端点按,逆时针,方向旋转形成的角叫做,正角,；,一条射线绕其端点按,顺时针,方向旋转形成的角叫做,负角,；,如果一条射线,没有,做任何旋转，就称它形成了一个,零角,所有与角,终边相同的角，连同角,在内，可构成一个集合,象限角与,轴线角,：,把角的顶点固定在原点，角的终边始终与,x,轴的非负半轴重合,.,那么，角,的终边在第几象限，就说这个角是,第几象限的角,.,如果角的终边落在坐标轴上,这个角,称,轴线角,.,锐角,的正弦、余弦和正切叫做角,的锐角三角函数，分别记作,sin,，,cos,，,tan,.,A,B,C,02,新,知,探,索,New Knowledge explore,角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集,R,之间建立了一一对应的关系，下面借助这些知识研究上一节开头提出的问题，即研究单位圆上点的运动,如图，单位圆,O,上的点,P,，以,A,为起点做逆时针方向旋转，,我们将如何建立一个数学模型，刻画单位圆上,点,P,位置变化情况,根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上,研究这个问题,如图，以单位圆的圆心,O,为原点，以射线,O,A,为,x,轴的非负半轴，建立直角坐标系，,则,点,A,的坐标为,(1,，,0),，点,P,的坐标为,(,x,，,y,),，射线,OA,从,x,轴非负半轴开始，绕点,O,按逆时针方向旋转角,，终止,位置为,OP,【,探究,】,当 时，点,P,的坐标是什么？当 或 时，点,P,的坐标又是什么？给定一个角,，它的终边,OP,与单位圆的交点,P,的坐标是唯一确定的吗？,利用勾股定理可以发现，当 时，点,P,的坐标是 ；当 或,时，点,P,的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的,(,如图,).,【,结论,】,一般地，任意给定一个角,R,，它的终边,O,P,与单位圆的交点,P,的坐标，无论是横坐标,x,还是纵坐标,y,，都是唯一确定的,.,所以，点,P,的横坐标,x,和纵坐标,y,都是角,的函数,下面给出这些函数的定义,设,是一个任意角，,R,，它的终边与单位圆相交于点,P,(,x,，,y,),(1),把点,P,的纵坐标,y,叫做,的,正弦函数,，,记作,sin,，即,y,=sin,；,(2),把点,P,的横坐标,x,叫做,的,余弦函数,，,记作,cos,，即,x,=cos,；,(3),把点,P,的纵坐标和横坐标的比值 叫做,的,记作,即,(,x,0).,设,是一个任意角，,R,，它的终边与单位圆相交于点,P,(,x,，,y,),，,可以看出，当 时，,的终边始终在,y,轴上，这时,P,点的横坐标,x,等于,0,，所以,无意义,.,除此之外，正切,tan,与实数,是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，称为,正切函数,角确定,角的终边唯一确定,角的终边与单位圆的交点确定,角的三角函数值（正弦值、余弦值、正切值）确定，所以角的三角函数值是关于角的函数，通常我们把自变量角记为,x,，对应的函数值记为,y,我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常把它们记为：,正弦函数：,y,=sin,x,，,x,R,；,余弦函数：,y,=cos,x,，,x,R,；,正切函数：,y,=tan,x,，,O,x,y,P,(,x,，,y,),1,M,利用锐角三角函数概念可得：,与按本节三角函数定义求得的结论是相同的,【,探究,】,在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，,以比值为函数值的函数，设 ，把按锐角三角函数的定义求得的锐角,x,的正弦值记为,z,1,，并把按本节三角函数定义求得的,x,的正弦值记为,y,1,，那么,z,1,与,y,1,相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？,【例,1,】,求 的正弦、余弦和正切值,O,x,y,1,M,【,解析,】,在坐标系中作出,AOB=,，易知,:,AOB,的终边与单位圆的交点坐标为 ，,所以,如何求,角的三角函数值,?,借助解直角三角形求得,终边与单位圆交点的坐标，再通过三角函数的定义求出,的,三角函数值,【例,2,】如图，设,是一个任意角，它的终边上任意一点,P,(,不与原点,O,重合,),的坐标为,(,x,，,y,),，点,P,与原点的距离为,r,求证：,【解析】设,的终边与单位圆交于点,P,0,(,x,0,，,y,0,),，分别过点,P,，,P,0,作,x,轴的垂线,PM,，,P,0,M,0,，垂足分别为,M,，,M,0,，,则,:,|P,0,M,0,|,|y,0,|,，,|PM|,|y|,，,|OM,0,|,|x,0,|,，,|OM|,|x|,，,OMP,OM,0,P,0,思考：,根据例,2,，,若已知点,P,（,x,，,y,）为角,终边上异于原点的任意一点，那么,的各个三角,函数值是否可以确定？,故只要知道,角,终边上任意一点，那么就可以求得角,的各个三角,函数值，显然,任意角,的三角函数值仅与,有关，而与点,P,在角的终边上的位置无关,.,【练习】已知点,P,（,3,，,-,4,）在角,终边上，求,sin,，,cos,，,tan,的值,不存在,常见角的三角函数值,三角函数,sin,cos,tan,定义域,象限角三角函数值 符号,探究：,根据任意角的三角函数的定义，确定正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域，再确定这三种,三角,函数的值在各个象限的符号,象限角函数值取正：,一全二正弦，三切四余弦,.,【,例,3】,求证：角,为第三象限角的充要条件为,【,证明,】,首先证明充分性，即如果都成立，那么,为第三象限角,.,因为,sin,0,成立，所以,角的终边位于第三或者第四象限，也可能和,y,轴的负半轴重合；,又因为,tan,0,成立，所以,角的终边位于第一或者第三象限；,综合可知：,为第三象限角,再证明必要性：,即如果,为第三象限角，那么都成立,.,因为,是第三象限角，根据定义有,sin,0,，,cos,0,，所以必要性成立，,即充要性成立,由三角函数的定义，我们知道：,终边相同的角的对应三角函数相同,.,由此得到一组公式：,cos(+,2,k,),=cos,tan(+,2,k,),=tan,sin(+,2,k,),=sin,其中,k,Z,公式一说明了角和三角函数值的对应关系是,多,角,对一,值的关系：即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的；反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因,利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求,0,，,2,的,角的,三角函数值,【例,4,】确定下列三角函数值的符号：,【例,5,】求下列三角函数值：,【练习】填表：,03,拓 展 提 升,Expansion And Promotion,04,归 纳 总 结,Sum Up,1.,三角函数的第一定义和,第二定义：,2.,三角函数值在各个象限和轴线上的符号：,象限角函数值取正：,一全二正弦，三切四余弦,.,3.,终边相同的角的统一三角函数值相等,cos(+,2,k,),=cos,tan(+,2,k,),=tan,sin(+,2,k,),=sin,若点,P,（,x,，,y,）为角,终边上异于原点的任意一点，则,05,课 后 作 业,Homework After Class,1.,已知,角,的,始边在,x,轴的非负半轴上，,终边过,点,P,（,-,12,，,5,），,求,sin,，,cos,，,tan,的值,2.,已知角,、,的顶点在原点，始边在,x,轴的正半轴上，终边关于,y,轴对称，,若角,的终边上有一点的坐标为 ，则,tan,的值是多少？,3.,求下列三角函数值：,