高中数学全程复习方略3.1.3 导数的几何意义(共54张PPT).ppt

3.1.3,导数的几何意义,1.,了解平均变化率与割线之间、瞬时变化率与切线之间的关系,通过函数的图象理解导数的几何意义,.,2.,了解导函数的概念,会求导函数,.,3.,根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程,.,1.,本课重点是求曲线上某点处的切线方程,.,2.,本课难点是准确理解函数在某点处与过某点的切线方程,.,1.,函数,y=f(x),在点,x,0,处的导数的几何意义,（,1,）几何意义：是曲线,y=f(x),在点,P(x,0,f(x,0,),处的切线的,_.,（,2,）相应的切线方程：,_.,2.,导函数的概念,（,1,）定义式：,.,（,2,）,f(x,0,),与,f(x),的区别：,f(x,0,),是一个确定的数，,f(x),是随,x,的变化而变化的一个函数,.,斜率,y-f(x,0,)=f(x,0,)(x-x,0,),1.,曲线在某点处的切线与曲线的公共点是否只有一个？,提示：,不一定,.,曲线在某点处的切线只是一个局部概念，是该点处割线的极限情况，在其他地方可能还有公共点,.,2.,导数与切线有何联系？,提示：,函数,y=f(x),在,x=x,0,处的导数,f(x,0,),是曲线,f(x),在,x=x,0,处的切线的斜率，即,k=f(x,0,).,3.,设曲线,y=f(x)=ax,2,在点（,1,a,）处的切线与直线,2x-y-6,0,平行，则,a=_.,【,解析,】,f(x)=,=,由题意得,f(1)=2,故,2a=2,a=1.,答案：,1,4.,如果,f(x)=x,2,，那么,f(x),在点,x=,处的切线的倾斜角是,_.,【,解析,】,由导数的定义，得,f(x)=,=,=(2x+x)=2x.,由导数的几何意义，得,f(x),在,x=,处的切线的斜率为,k=f()=2,=1.,该切线的倾斜角为,.,答案：,1.,导数的几何意义,如图,曲线,C,是函数,y=f(x),的图象,P(x,0,y,0,),是曲线,C,上的任意一点,Q(x,0,+x,y,0,+y),为,P,邻近一点,PQ,为,C,的割线,PMx,轴,QMy,轴,为,PQ,的倾斜角,.,P,Q,M,y=f(x),O,y,x,则,MP=x,MQ=y,=tan.,显然，是割线,PQ,的斜率,.,我们发现,当点,Q,沿着曲线无限接近点,P,即,x0,时,割线,PQ,有一个极限位置,PT.,则我们把直线,PT,称为曲线在点,P,处的切线,.,设切线的倾斜角为,那么当,x0,时,割线,PQ,的斜率称为曲线在点,P,处的切线的斜率,.,即,k,切线,=f(x,0,)=,这个概念,:,（,1,）提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；（,2,）说明了切线斜率的本质,函数在,x=x,0,处的导数,.,2.“,函数,f(x),在点,x0,处的导数”、“导函数”、“导数”之间的区别与联系,（,1,）区别,函数在一点处的导数，就是在该点附近的函数值的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变量,.,函数的导数，是对某一区间内任意点,x,而言的,就是函数,f(x),的导函数,f(x).,(2),联系：函数,f(x),在点,x0,处的导数,f(x,0,),就是导函数,f(x),在,x=x,0,处的函数值，即,f(x,0,)=f(x)|,x=x,0,.,这也是求函数在点,x,0,处的导数的方法之一,.,所以，求函数在一点处的导数，通常是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值,.,求切线方程,【,技法点拨,】,1.,求曲线,y=f(x),在点,P,（,x,0,f(x,0,),）处的切线方程的三个步骤,（,1,）求出函数,y=f(x),在点,x0,处的导数,f(x,0,),，即切线的斜率（关键词：斜率）,.,（,2,）根据直线的点斜式方程，写出切线方程,:y-f(x,0,)=,f(x,0,)(x-x,0,),（关键词：写方程）,.,（,3,）化简直线方程成一般式（关键词：化简）,.,2.,求曲线,y=f(x),过点,P(x,0,f(x,0,),的切线方程的五个步骤,设切点,设切点为,(m,f(m),求导数,求,f(m),，即切线的斜率,写方程,写切线的点斜式方程,y-f(m)=f(m)(x-m),代已知点,将已知点,(x,0,f(x,0,),代入切线方程求得,m,的值,下结论,把,m,的值回代切线方程并整理,【,典例训练,】,1.,函数,y=f(x)=,在,x=1,处的切线方程为,_.,2.,已知曲线,C,：,f(x)=x,3,.,（,1,）求曲线,C,上横坐标为,1,的点处的切线的方程；,（,2,）求过点,(1,1),与,f(x)=x,3,相切的直线,.,【,解析,】,1.y|,x=1,=f(1)=,则切线方程为,y,1=,(x,1),，,即,x+y,2=0.,答案：,x+y,2=0,2.(1)f(x)=,=3x,2,f(1)=3,1,2,=3,，又,f(1)=1,3,=1,切线方程为,y-1=3(x-1),，即,3x-y-2=0.,（,2,）设切点为,P,（,x,0,x,0,3,），,由（,1,）知切线斜率为,k=f(x,0,)=3x,0,2,，,故切线方程为,y-x,0,3,=3x,0,2,(x-x,0,).,又点（,1,1,）在切线上，将其代入切线方程得,1-x,0,3,=3x,0,2,(1-x,0,),，,即,2x,0,3,-3x,0,2,+1=0,，,解得,x,0,=1,或,x,0,=-.,故所求的切线方程为,y-1=3(x-1),或,y-1=(x-1),，,即,3x-y-2=0,或,3x-4y+1=0.,【,互动探究,】,题,2,第（,1,）小题中的切线与,C,是否还有其他的公共点？,【,解题指南,】,只需要联立切线方程与曲线方程，解方程组即可解决,.,【,解析,】,由 得,x,3,-3x+2=0,，解得,x=1,或,x=-2,，切线与曲线还有另外一个公共点（,-2,，,-8,）,.,【,想一想,】,解答本题,1,的关键点与题,2,（,2,）的注意点是什么？,提示：,（,1,）函数,f(x),在点,x,0,处的导数,f(x,0,),即直线的斜率,.,（,2,）求曲线的切线时，首先要判断所给的点,P,是否在曲线上，然后要分清在点,P,处的切线与过点,P,的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者,.,点（,1,，,1,）虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点可能是切点，也可能是切线与曲线的交点,.,解题时注意避免漏解,.,求切点的坐标,【,技法点拨,】,求切点坐标的五个步骤,(1),先设切点坐标,(x,0,y,0,),；,(2),求导函数,f(x),；,(3),求切线的斜率,f(x,0,),；,(4),由斜率间的关系列出关于,x,0,的方程，解方程求,x,0,；,(5),点,(x,0,y,0,),在曲线,f(x),上，将,(x,0,y,0,),代入求,y,0,得切点坐标,.,【,典例训练,】,1.,曲线,f(x)=x,3,+x-2,在,P,0,处的切线平行于直线,y=4x-1,，则点,P,0,的坐标为,(),（,A,）（,1,，,0,）（,B,）（,1,，,0,）和（,-1,，,-4,）,（,C,）（,2,，,8,）（,D,）（,2,，,8,）和（,-1,，,-4,）,2.,已知抛物线,y=2x,2,+1,，求：,(1),抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为,45?,(2),抛物线上哪一点处的切线平行于直线,4x-y-2=0?,【,解析,】,1.,选,B.,设切点为,P,0,(a,b),，,f(x)=,k=f(a)=3a,2,+1=4,a=,1.,把,a=-1,，代入到,f(x)=x,3,+x-2,得,b=-4,；把,a=1,，代入到,f(x)=,x,3,+x-2,得,b=0,，所以,P,0,点的坐标为,(1,0),和,(-1,-4).,2.,设点的坐标为,(x,0,y,0,),，则,=4x+2x.,f(x)=(4x+2x)=4x.,f(x,0,)=4x,0,.,(1),抛物线的切线的倾斜角为,45,，,斜率为,tan45,1.,即,f(x,0,)=4x,0,=1,，得,x,0,=,，该点为,().,(2),抛物线的切线平行于直线,4x-y-2=0,，,斜率为,4.,即,f(x,0,)=4x,0,=4,，得,x,0,=1,，该点为,(1,3).,【,互动探究,】,题,2,的条件不变，则抛物线上哪一点处的切线垂直于直线,x+8y-3=0?,【,解析,】,抛物线的切线与直线,x+8y-3=0,垂直，,斜率为,8.,即,f(x,0,)=4x,0,=8,，得,x,0,=2,，,y,0,=2,2,2,+1=9,，该点为,(2,9).,【,想一想,】,通过题,1,、,2,的解答，思考求解切点坐标的关键是什么？解决这类问题的注意点是什么？,提示：,（,1,）解答此类题目的关键是所给的直线的倾斜角或斜率，由这些信息得知函数在某点的导数，进而可求出此点的横坐标,.,（,2,）解答过程中要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率的关系，两直线平行、垂直与斜率之间,的关系等,.,【,变式训练,】,曲线,y=x,3,-3x,上某点处的切线平行于,x,轴，求该点坐标,.,【,解析,】,设切点为,(x,y),，则切线的斜率为,切线平行于,x,轴，,k=0.,即,3x,2,-3=0.,解得,x=,1.,当,x=1,时，,y=1,3,-3,1=-2.,当,x=-1,时，,y=(-1),3,-3,(-1)=2.,所求点为,(1,-2),或,(-1,2).,导数的几何意义的综合应用,【,技法点拨,】,导数几何意义的综合应用的解题方法,（,1,）导数的几何意义是曲线的切线的斜率，已知切点可以求斜率，反过来，已知斜率也可以求切点,.,（,2,）导数几何意义的综合应用题的解题关键是对函数进行求导，注意灵活利用题目提供的诸如斜率的线性关系、斜率的最值、斜率的范围等关系求解相应问题,.,【,典例训练,】,1.,若存在过点,(1,0),的直线与曲线,y=x,3,和,y=ax,2,+x-9,都相切，则,a,等于,(),(A)-1,或,(B)-1,或,(C)-,或,-(D)-,或,7,2.,已知,f(x)=x,2,，,g(x)=x,3,.,（,1,）求,f(x),g(x),，并判断,f(x),和,g(x),的奇偶性；,（,2,）若对于所有的实数,x,，,f(x)-2ag(x),恒成立，试求实数,a,的取值范围,.,【,解析,】,1.,选,A.,先求,y=x,3,的导数，,y=,设过点,(1,0),的直线与曲线,y=x,3,相切于点,(x,0,x,3,0,),，则切线方程为,y-x,0,3,=3x,0,2,(x-x,0,),，即,y=3x,0,2,x-2x,0,3,.,点,(1,0),在切线上，,3x,0,2,-2x,0,3,=0,，,x,0,=0,或,x,0,=.,当,x,0,=0,时，由,y=0,与,y=ax,2,+x-9,相切，,得,a=-,；,当,x,0,=,时，由,y=x-,与,y=ax,2,+x-9,相切，得,a=-1.,2.(1),由导数的定义知，,f(x)=2x,；,g(x)=,f(x),和,g(x),的定义域为,R,，故定义域关于原点对称，,f(-x)=-2x=-f(x),，,f(x),为奇函数,.,g(-x)=3(-x),2,=3x,2,=g(x),，,g(x),为偶函数,.,（,2,）由,f(x)-20,对任意实数,x,恒成立，,当,a=0,时，转化为,-2x+20,恒成立，即,x0,对所有实数,x,都成立得，,解得,a .,综上，,a .,【,想一想,】,解答题,1,的注意点与题,2,（,2,）分类讨论的标准是什么？,提示：,(1),解答题,1,时要注意验证所求出的切线方程是否与第二条曲线相切,.,(2),本题分类的标准是不等式,3ax,2,-2x+20,的类型，因为该不等式是一次不等式还是二次不等式取决于,a,的值,.,【,变式训练,】,设,a,0,，,f(x),ax,2,+bx+c,，曲线,y,f(x),在点,P(x,0,，,f(x,0,),处切线的倾斜角的取值范围为,0,，则点,P,到曲线,y,f(x),对称轴距离的取值范围为,(),（,A,）,0,（,B,）,0,（,C,）,0,（,D,）,0,【,解析,】,选,B.,依题设知点,P,的横坐标,x0,必须且只需要满足,0f(x,0,)tan,1,，,因为,f(x),2ax,b,，所以,02ax,0,b1,，,因为抛物线,y,f(x),的对称轴为直线,l,：,x,-,，,所以点,P,到直线,l,的距离为,d,|x,0,+|,，,因为,a,0,，所以,d,|2ax,0,b|,，,又,d0,，即得,d,的取值范围为,0,，,.,【,易错误区,】,求曲线的切线方程中的误区,【,典例,】,经过点,(2,0),且与曲线,y=,相切的直线方程为,_.,【,解题指导,】,【,解析,】,可以验证点,(2,0),不在曲线上，,设切点为,P(x,0,y,0,).,由,y|,x=x,0,=,=,故所求直线方程为,y-y,0,=-(x-x,0,).,由点,(2,0),在所求的直线上，得,x,0,2,y,0,=2-x,0,.,再由,P(x,0,y,0,),在曲线,y=,上，得,x,0,y,0,=1,，,联立可解得,x,0,=1,y,0,=1,，,所以所求直线方程为,x+y-2=0.,答案：,x+y-2=0,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的常见错误,及解题启示总结如下：（注：此处的见解析过程）,常,见,错,误,填,x+,4y-2,=0,假若在解题过程中漏掉处的,“,可以验证点,(2,0),不在曲线上，设切点为,P(x,0,y,0,),”,，,即错误认为点,(2,0),就是切点，切线的斜率就是曲线,y=,在,x=2,处的导数，没分清是在点处的切线还是过点处的切线问题,.,这是考试中最易失分的一种情况,.,常,见,错,误,填错,在求解过程中虽然注意到点,(2,0),不在切线上，即不是切点,.,但在处不能充分利用条件得到处的关于,x,0,y,0,的方程，即,“,由点,(2,0),在所求的直线上，得,x,0,2,y,0,=2-x,0,.,再由,P(x,0,y,0,),在曲线,y=,上，得,x,0,y,0,=1,，,”,解不出,x,0,y,0,的值，导致无法得到正确答案,.,这是考试中不能得满分的一个原因,.,解,题,启,示,(1),求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上，所给点是否为切点若所给点为切点，可用切线方程的一般方法求解；若所给点不是切点，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程这是求切线方程时必须注意的一点,.,(2),在求未知数时，有几个未知数必须有几个方程，才能解方程（组），求出未知数,.,【,即时训练,】,已知曲线,y=x,2,-2,上一点,P(1,-),则在点,P,处的切线的倾斜角为,(),(A)30 (B)45 (C)135 (D)165,【,解析,】,选,B.,y=,切线的斜率为,k=f(1)=1,，倾斜角为,45,.,1.,下列说法正确的是,(),(A),若,f(x,0,),不存在，则曲线,y=f(x),在点,(x,0,f(x,0,),处就没有切线,(B),若曲线,y=f(x),在点,(x,0,f(x,0,),处有切线，则,f(x,0,),必存在,(C),若,f(x,0,),不存在，则曲线,y=f(x),在点,(x,0,f(x,0,),处的切线斜率不存在,(D),若曲线,y=f(x),在点,(x,0,f(x,0,),处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线,【,解析,】,选,C.,因为,k=f(x,0,),，所以,f(x,0,),不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程却可能存在，其切线方程为,x=x,0,.,2.,已知曲线,y=2x,2,上一点,A(2,8),，则,A,处的切线斜率为,(),（,A,）,4,（,B,）,16,（,C,）,8,（,D,）,2,【,解析,】,选,C.,方法一：根据导数的几何意义知曲线在点,A,处的切线的斜率就是函数,y=2x,2,在,x=2,处的导数值,.,k=f(2)=,方法二：,f(x)=,=(4x+2x)=4x,，,则,f(2)=8.,3.,下列点中，在曲线,y=x,2,上，且在该点处的切线倾斜角为 的是,(),（,A,）,(0,0),（,B,）,(2,4),（,C,）,(,，,),（,D,）,(,，,),【,解析,】,选,D.k=f(x)=,=2x.,倾斜角为 ，斜率为,1.2x=1,，即,x=.,4.,已知曲线,y=3x,2,，则在点,A(1,3),处的曲线的切线方程为,_.,【,解析,】,=6x+3x,y|,x=1,=(6+3x)=6.,通过验证得点,A,（,1,，,3,）在曲线,y=3x,2,上,.,曲线在点,A(1,3),处的切线斜率为,6.,所求的切线方程为,y-3=6(x-1),，,即,6x-y-3=0.,答案：,6x-y-3=0,5.,在曲线,y=x,2,上哪一点的切线，,（,1,）平行于直线,y=4x-5,；,（,2,）垂直于直线,2x-6y+5=0,；,（,3,）与,x,轴成,135,的倾斜角,.,【,解析,】,f(x)=,（,1,）设切点为,(x,0,x,0,2,),，直线的斜率,k=4,，,2x,0,=4,，解得,x,0,=2,，所求切点为,(2,4).,（,2,）设切点为,(x,0,x,0,2,),，,切线垂直于直线,2x-6y+5=0,切线的斜率,k=-3,，,2x,0,=-3,，解得,x,0,=-,，,所求切点为,(-,).,（,3,）设切点为,(x,0,x,0,2,),，直线的斜率,k=-1,，,2x,0,=-1,，解得,x,0,=-,，,所求切点为,(-,).,