高中数学全程复习方略2.2.2.1 双曲线的简单几何性质(共49张PPT).ppt

第,1,课时 双曲线的简单几何性质,1.,通过双曲线的方程和几何图形,了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质,.,2.,了解双曲线的渐近性,并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题,.,1.,本节的重点是对双曲线几何性质的理解和简单应用,.,2.,本节的难点是对双曲线渐近线的理解和运用,.,1.,双曲线的几何性质,标准方程,性,质,图形,标准方程,性,质,焦点,_,_,焦距,_,范围,_,或,_,，,y_,_,或,_,，,x_,对称性,对称轴：,_,；对称中心：,_,顶点,_,_,F,1,(0,，,-c),F,2,(0,，,c),F,1,(-c,，,0),F,2,(c,0),|F,1,F,2,|=2c,x-a,xa,y-a,ya,R,R,坐标轴,原点,A,1,(-a,0),，,A,2,(a,0),A,1,(0,-a),，,A,2,(0,a),标准方程,性,质,轴,实轴：线段,_,，长：,_,；虚轴：线段,_,，长：,_,；半实轴长：,_,，半虚轴长：,_,离心率,e=_,_,渐近线,_,_,A,1,A,2,2a,B,1,B,2,2b,a,b,(1,+),2.,等轴双曲线是指,_,的双曲线,.,实轴和虚轴等长,1.,双曲线的焦点在实轴上还是在虚轴上？,提示：,双曲线的焦点必定在双曲线的实轴上,.,2.,等轴双曲线的离心率是多少？,提示：,等轴双曲线中,a=b,，其离心率,3.,已知双曲线 和 它们的渐近线相同吗？,提示：,它们有相同的渐近线方程,4.,双曲线 的离心率是,_.,【,解析,】,由题知,a=2,b,2,=2.,c,2,=a,2,+b,2,=4+2=6,，,答案：,对双曲线的简单几何性质的四点认识,(1),双曲线的焦点决定双曲线的位置；,(2),双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双,曲线的方程 得,x,2,a,2,x,a,即,x-a,或,xa,；,(3),双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心,率越大，双曲线的开口越大，反之亦然；,(4),对称性：由双曲线的方程 若,P(x,y),是,双曲线上任意一点,则,P,1,(-x,y),P,2,(x,-y),均在双曲线上,故,P,与,P,1,P,2,分别关于,y,轴、,x,轴对称，因此双曲线分别关于,y,轴、,x,轴,对称,.,只不过双曲线的顶点只有两个,而椭圆有四个,.,利用标准方程研究几何性质,【,技法点拨,】,用双曲线标准方程研究几何性质的步骤,【,典例训练,】,1.(2012,福建高考,),已知双曲线 的右焦点为（,3,，,0,），则该双曲线的离心率等于,(),（,A,）（,B,）（,C,）（,D,）,2.,双曲线 的左、右焦点分别是,F,1,F,2,过,F,1,作倾斜角为,30,的直线交双曲线右支于,M,点，若,MF,2,垂直于,x,轴，,则双曲线的离心率为,(),（,A,）（,B,）（,C,）（,D,）,3.,求双曲线,16x,2,9y,2,144,的实轴长、虚轴长、焦点坐标、,离心率、顶点坐标,.,【,解析,】,1.,选,C.,由题意，知,a,2,+5=9,，,解得,2.,选,B.,如图，在,RtMF,1,F,2,中，,MF,1,F,2,=30,F,1,F,2,=2c,故选,B.,3.,把方程,16x,2,9y,2,144,化为标准方程得,由此可知，实轴长,2a,8,，,虚轴长,焦点坐标为,(0,，,5),，,(0,5),；,离心率,顶点坐标为,(0,，,4),，,(0,4).,【,想一想,】,双曲线与椭圆的几何性质有哪些不同点？,提示：,椭圆有,4,个顶点，双曲线只有两个顶点；椭圆有长轴、短轴，双曲线有实轴、虚轴；椭圆的离心率,e,（,0,，,1,），而双曲线的离心率,e(1,+).,【,变式训练,】,求双曲线,nx,2,my,2,mn(m0,，,n0),的半实轴长，,半虚轴长，焦点坐标，离心率，顶点坐标,【,解析,】,把方程,nx,2,my,2,mn(m0,，,n0),化为标准方程为,由此可知，半实轴长 半虚轴长,焦点坐标,离心率,顶点坐标为,利用几何性质求标准方程,【,技法点拨,】,求双曲线标准方程的常用方法及一般步骤,(1),常用方法：一是设法确定基本量,a,b,c,，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法首先依据焦点的位置设出标准方程的形式，再由题目条件确定参数的值,(2),根据已知条件求双曲线的标准方程的思路是“选标准，定参数”,一般步骤是,:,【,典例训练,】,1.,（,2011,山东高考,),已知双曲线 和椭,圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的,两倍，则双曲线的方程为,_.,2.,求适合下列条件的双曲线的标准方程：,(1),实轴长为,8,，离心率为,（,2,）已知双曲线的中心在原点，焦点,F,1,，,F,2,在坐标轴上，实轴,长和虚轴长相等，且过点,【,解析,】,1.,由题意知双曲线的焦点为 即,又因为双曲线的离心率为 所以,a=2,故,b,2,=3,双曲线的方程,为,答案：,2.(1),设双曲线的标准方程为 或,2a=8.,由题意知 且,c,2,a,2,b,2,，,a=4,c=5,b=3,，,标准方程为 或,(2),由,2a=2b,得,a=b,所以可设双曲线方程为,x,2,y,2,(0).,双曲线过点 ,16,10,，即,6.,双曲线方程为,x,2,y,2,6.,双曲线的标准方程为,【,互动探究,】,将,1,题中的条件“有相同的焦点”改为“有相同,的顶点”，其他条件不变，再求双曲线的标准方程,.,【,解析,】,由双曲线的方程知双曲线的焦点在,x,轴上，因此双曲,线的顶点与椭圆在,x,轴上的顶点相同，即双曲线的顶点为,（,4,，,0,），,即,a=4,又双曲线的离心率,b,2,=c,2,-a,2,=12,双曲线方程为,【,思考,】,（,1,）,2,题中（,1,）能确定双曲线的焦点位置吗？,（,2,）根据,2,（,2,）题总结一下等轴双曲线标准方程的设法,.,提示：,（,1,）不能确定，所以要分两种情况写出标准方程；,（,2,）因为等轴双曲线中的,“,a,”,和,“,b,”,相等，所以等轴双曲线的方程可设为,x,2,-y,2,=(0),的形式,.,【,变式训练,】,双曲线与椭圆,4x,2,y,2,64,有公共的焦点，它们,的离心率互为倒数，求双曲线方程,.,【,解析,】,椭圆方程可化为 焦点为 离心率,为 所以双曲线的焦点在,y,轴上且 所以,a,6,，,b,2,12,，所以双曲线方程为,与渐近线有关的问题,【,技法点拨,】,1.,双曲线渐近线方程的两种求法,（,1,）图示法：画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线斜率的确定；,（,2,）取零法：将双曲线标准方程等号右边的,1,改为,0,，化简即可得双曲线的渐近线方程，这也是常用的方法,2.,根据渐近线方程求双曲线方程,(1),若双曲线的渐近线方程为 则双曲线方程可表示,为,(2),与双曲线 共渐近线的双曲线方程可表,示为 与双曲线,共渐近线的双曲线方程可表示为,【,典例训练,】,1.(2012,广州高二检测,),双曲线 的一条渐,近线方程为 则该双曲线的离心率的值为,(),（,A,）,(B)(C)(D)2,2.,已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点,P(3,，,1),，一条渐近线与直线,3x,y,10,平行，求双曲线的标准方,程,.,【,解析,】,1.,选,C,由已知得 所以，故,即 所以,2.,由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一,条渐近线与直线,l,：,3x,y,10,平行，,所以，双曲线的一条渐近线方程为,3x,y,0,，即,y,3x.,可设双曲线方程为,9x,2,y,2,(0),由于双曲线过点,P(3,，,1),，所以,9,3,2,(,1),2,，即,80.,所求双曲线的标准方程为,【,想一想,】,所有双曲线的渐近线方程都是 吗？,提示：,焦点在,x,轴上的双曲线的渐近线方程是 而焦点,在,y,轴上的双曲线的渐近线方程是,【,规范解答,】,利用焦点三角形求双曲线的离心率,【,典例,】,（,12,分）点,P,是双曲线,C,1,：和圆,C,2,：,x,2,+y,2,=a,2,+b,2,的一个交点，且有,2PF,1,F,2,=PF,2,F,1,，其中,F,1,，,F,2,是,双曲线,C,1,的左右两个焦点，求双曲线,C,1,的离心率,.,【,解题指导,】,【,规范解答,】,圆的半径,2,分,圆过双曲线,C,1,的焦点，即,F,1,F,2,为圆的直径,.,F,1,PF,2,=90,.,4,分,2PF,1,F,2,=PF,2,F,1,PF,1,F,2,=30,PF,2,F,1,=60,.,6,分,在,RtF,1,PF,2,中，,F,1,F,2,=2c,故,8,分,又点,P,在双曲线上，且在双曲线右支上,.,10,分,12,分,【,阅卷人点拨,】,通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的见规范解答过程）,失,分,警,示,求解过程中若对题目中条件分析不透彻,分析题意不,细致,就会得不到处的,F,1,PF,2,=90,的关系，影响,整个解题过程，只能得到开头的,2,分,.,假如只考虑到,P,点所在的焦点三角形而盲目地运用正,余弦定理或代入,P,点的坐标运算，忽略双曲线的定,义，就得不到处 的关系，,解答中出现这种情况只能得到,6,7,分,.,解,题,启,示,(1),解决解析几何问题要善于利用数形结合分析问题，通过对图形的分析可以直观地得到一些利于解决问题的结论,.,(2),求双曲线的离心率时,一般先列出,a,b,c,的关系,再利用,b,2,=c,2,-a,2,消去,b,将,a,与,c,的关系式变形后得到关于,a,，,c,的方程求解,.,【,规范训练,】,（,12,分）设双曲线 的半焦距,为,c,，直线,l,过,A(a,0),、,B(0,，,b),两点，且原点到直线,l,的距离为,求双曲线的离心率,【,解题设问,】,本题中已知,a,b,0,那么,a,、,b,的大小关系对离心,率范围有影响吗？,_,.,有,【,规范答题,】,由直线,l,过（,a,0,），（,0,b,）两点，得直线,l,的方,程为 即,bx+ay-ab=0,2,分,原点,O,到直线,l,的距离为,4,分,将 代入并整理得：,则,16t,2,-16t+3=0,，得,或,8,分,即,10,分,双曲线的离心率,12,分,1.,双曲线,x,2,+ky,2,=1,的离心率为,2,，则实数,k,的值为,(),(A)-3 (B)(C)3 (D),【,解析,】,选,B.,双曲线方程可化为 则,a,2,=1,又离心率,2.,双曲线 的一个焦点到一条渐近线的距离等于,(),(A)4 (B)3 (C)2 (D),【,解析,】,选,A.,由双曲线方程可知双曲线渐近线方程为,y=,即,4x,3y=0.,而焦点为,(,5,0),，,故所求的距离为,3.,已知双曲线 的实轴的一个端点为,A,1,，虚轴的,一个端点为,B,1,，且,|A,1,B,1,|,5,，则双曲线的方程是,(),(A)(B),(C)(D),【,解析,】,选,C.,由题意知,a,4.,又,|A,1,B,1,|,5,，,c,5,，,双曲线方程为,4.,焦点为（,3,，,0,），且与双曲线 有相同的渐近线的,双曲线方程的顶点坐标是,_.,【,解析,】,因为焦点为（,3,，,0,），所以实轴在,x,轴上，,c=3,又与,双曲线 有相同的渐近线，设所求双曲线为,y,2,=k(k0),利用,c=3,得,k=3,所以所求双曲线方程为,故其顶点坐标为,答案,:,5.,求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线,方程：,(1),双曲线,C,的右焦点为,(2,0),，右顶点为,(2),双曲线过点 离心率,【,解析,】,(1),设双曲线方程为,由已知得 再由,a,2,b,2,c,2,，得,b,2,1.,故双曲线,C,的方程为,(2),设,a,2,9k(k0),，,则,c,2,10k,，,b,2,c,2,a,2,k.,于是，设所求双曲线方程为,把 代入，得,k,161,与,k0,矛盾，无解；,把 代入，得,k,9,，,故所求双曲线方程为,