数理金融学第7章连续时间金融初步：期权.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,Click to edit Master title style,McGraw-Hill/Irwin,Copyright 2001 by The McGraw-Hill Companies,Inc.All rights reserved.,21-,*,数理金融学 第,7,章,连续时间金融初步：,期权定价,7.1,期权（,Option,）,期权是一种选择权，它表示在特定的时间，以特定的价格交易某种一定金融资产的权利。期权交易就是“权钱交易”。,期权交易同任何金融交易一样，都有买方和卖方，但这种买卖的划分并不建立在商品和现金的流向基础上。它是以权利的获得和履行为划分依据的。,期权的买方就是支付期权费（,Option premium,）的一方，在他支付了期权费之后，即获得了能以确定的时间、价格、数量和品种买卖合约的权利。,4/15/2026,2,7.1.1,期权合约的概念,（,1,）定义,期权合约（,Option contracts,）是期货合约的一个发展，它与期货合约的区别在于期权合约的买方有权利而没有义务一定要履行合约，而期货合约双方的权利和义务是对等的。,（,2,）基本术语,行权价格（,Strike price,）：是买卖标的资产,(Underlying asset,）的价格。它在合约有效期内是固定不变的，而且它不一定就是资产的市价，可以高于或低于市价，当然也可能恰好相等。,4/15/2026,3,期权费（,Option premium,）：期权买方付的购买期权的费用，也就是买卖权利的价格。买入方支付期权费，既可购买买权，也可购入卖权，同理，卖出方收取期权费，既可出售看涨期权，也可出售看跌期权。,到期日（,Maturity date,）约定的实施期权日期。过期作废，一般合约有效期不超过一年，以三个月较为普遍。例外：长期股权期权（,Long-term equity securities,，,LEAPS,）,数量（,Amount,）：以股票为例，每份期权合约代表可交易,100,股股票的权利，但执行价格却是按每股标出。,4/15/2026,4,标的资产（,Underlying asset):,期权多方在支付期权费后有权购买或出售的合约中规定的资产。如股票期权的标的资产就是股票。,结算（,Settlement),。期权交易是通过经纪人在市场上竞价实现的，这经纪人就是期权清算公司，它是每笔期权交易的中间人，是所有买方的卖方和所有卖方的买方。期权清算公司采用电脑清算每一笔合约，并为其提供担保。如某个期权卖方不履行义务，公司则必须代为履约，因此，期权无信用风险。,4/15/2026,5,7.1.2,期权合约的种类,（,1,）按权利分类,买权或看涨期权（,Call option,）：看涨期权的多头方有权在某一确定时间以某一确定价格购买标的资产，但无履约义务。一旦多方决定履约，空头必须出售资产。,卖权或看跌期权（,Put option,）：多头方有权在某一确定时间以某一确定价格出售标的资产，但无履约义务。空头方只有履约义务。,注意：这里看涨和看跌是以多头的收益来命名的。,4/15/2026,6,看涨期权,看跌期权,多头：,买了,以一定价格,购买,某种资产的权利，希望标的资产价格上涨,空头：,卖了,以一定价格,购买,某种资产的权利，希望标的资产价格下跌。因为下跌多方不会履约，则空头赚取期权费。,多头：,买了,以一定价格,出售,某种资产的权利，希望标的资产价格下跌。,空头：,卖了,以一定价格,出售,某种资产的权利。希望标的资产价格上升，因为价格上升多方不会履约，则空头赚取期权费。,期,权,4/15/2026,7,（,2,）按合约是否可以提前执行（,Settlement,）,欧式期权（,European option,）：只有在到期日那天才可以实施的期权。,美式期权（,American option,）：有效期内任一交易日都可以实施的期权。,问题：若其他条件相同，那种期权的期权费更高？,（,3,）按标的资产（,Underlying asset,）分类,权益期权：股票期权、股指期权。,固定收益期权：利率期权、货币期权。,金融期货期权：股指期货期权，将期货与期权结合在一起。,4/15/2026,8,例,1,：清华同方股票期权（欧式）,2001,年,1,月,1,日，投资者,A,向,B,购买,未来,6,个月内交割的，以每股,35,元的价格,购买,清华同方股票的,权利（看涨期权）,，共,10,份合约，,100,股为标准合约单位，该期权的总价格为,500,元，即每股期权费为,0.5,元。,概念辩析：,2001,年,1,月,1,日为合约生效日，这里,35,元为行权价格，每股期权费为,0.5,元，,2001,年,6,月,30,日为到期日，也是执行日。,A,是多头，,B,是空头。,4/15/2026,9,操作步骤：,2001,年,1,月,1,日合约生效，投资者,A,必须向,B,付出,500,元。因此，不论未来的价格如何，,A,的成本是,500,元。,如果,6,月,30,日股票的价格高于,35,元，则,A,行权。那么，,A,还要再付出,35000,元购买股票，由于股票价格高于其成本，那么他马上将股票抛售就能获利。,问题,1,：若,5,月,20,日清华同方宣布它的股票以,1:10,的比例进行分割，该期权合约条款是否应该调整？,问题,2,：如果预期清华同方在合约有效期内现金分红，是否对期权价格构成影响？,4/15/2026,10,如果到期日股票价格为,45,元，则多方的利润是多少？空方损失多少？,9500,如果到期日股票价格为,30,元，则多方的损失为？空方获利多少？,500,4/15/2026,11,例,2,：投资者,A,购买清华同方股票看跌期权（欧式）,合约生效日：,2001,年,1,月,1,日,有效期：,6,个月,期权费：,0.5,元,/,股,合约数量：,10,份,标准合约单位：,100,股,执行价（行权价）：,35,元,/,股,问题：,如果,6,月,30,日清华同方股价低于,34.8,元，,A,是否行权？,假设,6,月,30,日的价格为,33.5,元，,A,将获利,1000,元，,A,如何才能获得这,1000,元？,4/15/2026,12,因为,（,1,）,A,必须持有股票,1000,股，才能在将来行权时出售给,B,，,因此，,A,原先有,1000,股。,（,2,）,假设,6,月,30,日的价格为,33.5,元，,A,行权，则以,35,元的价格向,B,出售,1000,股股票，获得,35000,元。,（,3,）,A,花,33500,元购买,1000,股股票，剩余,1500,元，扣除,500,元的期权费，,A,就获得,1000,元。,（,4,）现在，,A,拥有,1000,股股票加,1000,元现金的资产，显然,A,获利,1000,元。,4/15/2026,13,看涨期权的风险与收益关系,S,T,R,S,T,R,图中：何为多方、何为空方？,看跌期权的风险与收益关系,7,.,1,.,3,期权的风险与收益,4/15/2026,14,看涨期权多头的收益,S,T,X,C,t,，,若,S,T,X,C,t,，,若,S,T,X,其中，,S,T,是到期日,T,标的资产的价格；,X,是执行价格,C,t,和,P,t,分别是,t,时刻看涨,期权,和看跌期权的期权费。,看跌期权多头的收益,X,S,T,P,t,，若,S,T,X,P,t,，,若,S,T,X,4/15/2026,15,总结,看涨期权的损益（,Profit&Loss),（,1,）,多头方：,R,cl,max(0,S,T,-X)-C,t,（,2,）,空头方：,R,cs,C,t,-max(0,S,T,-X),看跌期权的损益,（,1,）多头方：,R,pl,max(0,X,-S,T,)-P,t,（,2,）,空头方：,R,ps,P,t,-max(0,X,-S,T,),4/15/2026,16,7,.,1,.,4,期权的投资策略,（,1,）保护性看跌期权（,Protective put,）,同等数量的标的资产,多头,与看跌期权,多头,构成的组合。,组合价值至少是,X-P,t,，最大是,S,T,-P,t,问题：保护性看跌期权的投资策略是否违反“风险与收益对等”原则？,S,T,X,S,T,X,股票多头,S,T,S,T,看跌期权多头,X-S,T,-P,t,-P,t,总计,X-P,t,S,T,-P,t,4/15/2026,17,保护性看跌期权的特征,对于该组合的多方而言，其损失是有限的，而理论收益无限,双重目的,在标的资产下跌时减少损失,不影响标的资产上升时的获利机会,所以，它对资产具有保护作用，因此，要付出保护费！,4/15/2026,18,（,2,）抛补的看涨期权（,Covered call,）,：标的资产多头看涨期权空头。,抛补,期权空头方将来交割标的资产的义务正好被手中的资产抵消。,S,T,X,S,T,X,股票多头,S,T,S,T,看涨期权空头,C,t,-(S,T,-X),C,t,总计,S,T,C,t,X,C,t,组合的最大价值是,X,C,t,，最小为,C,t,。,4/15/2026,19,抛补看涨期权的收益特征,在获得期权费的同时，放弃了标的资产价格上涨可能带来的获利机会。,问题：投资者希望到期日标的资产市价超过,X,，还是低于,X,？（基于“机会（沉没）成本”的分析）,若投资者手中拥有股票,100,元，则他可以设置一个执行价格为,110,元的看涨期权空头，期权费,3,元。若价格为到期日资产价格为,105,元，则投资者获利,8,元。反之，若股票价格低于,100,元呢？,投资策略：尽可能设置高的执行价格,X,。,4/15/2026,20,（,3,）对敲（,Straddle,），又称骑墙或者跨坐组合：,对敲多头组合：同时,买进,具有相同执行价格与到期时间的同一种股票的看涨期权与看跌期权。（期权费可能不等？）,S,T,X,S,T,X,看涨期权多头,-C,t,S,T,-X-C,t,看跌期权多头,X-S,T,P,t,P,t,总计,X-S,T,-C,t,-P,t,S,T,-,X-C,t,-P,t,4/15/2026,21,R,S,T,R,X,S,T,0,0,R,X,S,T,0,4/15/2026,22,4/15/2026,23,对敲组合多头的收益特征,损失有限：若标的资产价格,=,执行价格，则损失最大,（理论）收益无限：收益随标的资产价格的上升或下降而增加。,问题：对敲组合多头适用于什么样的市场条件？,当投资者预期标的资产的价格会有较大的波动，且无法判断其方向时。,例如一家企业成为兼并收购的目标时。,4/15/2026,24,7.1.5,期权与金融工程,金融工程（,Financial engineering,）,包括,创新,型金融工具与金融手段的设计、开发与实施，以及对金融问题给予,创造,性的解决。,运用期权与标的股票以及无风险债券构造资产组合（,Portfolio,），,可以得到与某些金融工具有完全相同的损益特征（即,模仿金融工具,），也可以,合成金融工具,，例如：可转换债券。,4/15/2026,25,实例：模仿股票（,the mimicking stock),模仿股票是一个买权多头和一个卖权空头的组合。,假设,t,时刻，股票买权和卖权的价格分别是,c,t,和,p,t,，,两个期权的执行价格都是,X,S,t,（,t,时刻股票的价格），到期日股票价格为,S,T,。,则到期日的收益为,R=max(0,S,T,-X)-max(0,X,-S,T,)-(c,t,-p,t,）,=S,T,-X-c,t,p,t,=S,T,-S,t,-c,t,p,t,4/15/2026,26,股票,模仿股票,模仿股票与实际股票还是有所区别！,4/15/2026,27,7.1.6,期权的作用与本质,（,1,）套期保值（,Hedge,）,利用期权损益的不对称性可以对资产进行保值。期权的多头方相当于购买了一个保险，期权费相当于保险费。,例：假设,A,公司的股票当前价格为每股,60,元，投资者,B,估计股票,A,将上涨。投资者要购买,10000,股的股票（,10,份期权合约）。那么，他有两个策略可以选择。,4/15/2026,28,策略,1,：,B,直接购买,10,000,股股票，总投资,600,000,元；,策略,2,：,B,买入执行价格为,60,元的看涨期权，假设期权费为,3,元,/,股，总投资,30000,元。,两种策略比较：,若,A,公司的股票大幅上涨，上涨越多二者的获利越趋向于相同（虽然策略要付出期权费，但策略,1,的投资额大大多于策略,2,，要付出利息）。,若股票大幅下跌，策略,2,的损失锁定为,30000,元，策略,1,的损失却是无法预期的。,4/15/2026,29,（,2,）高杠杆,(Leverage),的投资,例,4,：公司股票现价为,60,元,/,股，其未来,3,个到期的看涨期权的期权费为,2,元,/,股，若预期到期日的股票价格为,63,元，投资者持有,6000,元，则两种投资策略下的损益为：,购买股票获利,300,元，利润率：,5,；购买,30,份期权合约（,100,股,/,份）获利,3000,元，利润率：,50%,。,若股票价格下跌到,61,元，期权投资亏损,6000,元，股票亏损,100,元。,期权投资是赌博？,4/15/2026,30,（,3,）期权的本质,时间价值,期权的购买者买到的是：降低未来不确定性的保险。,期权空头方给予多头方一段时间，使其能够进一步利用所获得的新的信息，降低对未来预期中的不确定程度，从而做出更加合理的决策。,投资：时间价值的交易,风险的交易。,引申：由于时间的单向性，时间是最宝贵的资源：义务,=,献出时间，权利,=,得到时间。,4/15/2026,31,练习题,假设有两个标的资产和到期日相同的看涨期权,1,和,2,，期权,1,的执行价格和期权费分别是,95,元和,7,元，期权,2,的执行价格和期权费分别是,105,元和,3,元。,若某投资者买入两个期权,1,，同时卖出,1,个期权,2,，形成一个期权投资组合，请计算该组合的损益,?,（分别用分段函数和图来表示）。,4/15/2026,32,练习题,假设某股票当前的市场价格为,100,元，以该价格作为执行价格买权和卖权分别为,7,元和,3,元。投资者选择以下两种投资策略,通过股票市场以,100,元价格买入该股票；,通过期权市场构造模仿股票。,如何模仿？请列出二者的损益，并分析其投资效率（投入产出比）？,4/15/2026,33,7.2 Black-,Scholes,期权定价模型概述,Black,、,Scholes,和,Merton,发现了看涨期权定价公式，,Scholes,和,Merton,也因此获得,1997,年的诺贝尔经济学奖,模型基本假设,8,个,无风险利率已知，且为一个常数，不随时间变化。,标的股票不支付红利,期权为欧式期权,4/15/2026,34,无交易费用：股票市场、期权市场、资金借贷市场,投资者可以自由借贷资金，且二者利率相等，均为无风险利率,股票交易无限细分，投资者可以购买任意数量的标的股票,对卖空没有任何限制,标的资产为股票，其价格,S,的变化为几何布朗运动,4/15/2026,35,B-S,模型证明思路,ITO,引理,ITO,过程,B-S,微分方程,B-S,买权定价公式,4/15/2026,36,7.3,维纳过程,根据有效市场理论，股价、利率和汇率具有随机游走性，这种特性可以采用,Wiener process,，它是,Markov stochastic process,的一种。,对于随机变量,w,是,Wiener process,，必须具有两个条件：,在某一小段时间,t,内，它的变动,w,与时段满足,t,4/15/2026,37,（,7.1,）,2.,在两个不重叠的时段,t,和,s,w,t,和,w,s,是独立的，这个条件也是,Markov,过程的条件，即增量独立！,（,7.2,）,有效市场,4/15/2026,38,满足上述两个条件的随机过程，称为维纳过程，其性质有,当时段的长度放大到,T,时（从现在的,0,时刻到未来的,T,时刻）随机变量,w,t,的满足,4/15/2026,39,证明：,4/15/2026,40,在连续时间下，由（,7.1,）和（,7.2,）得到,（,7.3,）,（,7.4,）,所以，概率分布的性质,以上得到的随机过程，称为维纳过程。,4/15/2026,41,7.4 ITO,定理,一般维纳过程,(Generalized Wiener process),可表示为,（,7.5,）,显然，一般维纳过程的性质为,4/15/2026,42,一般维纳过程仍不足以代表随机变量复杂的变动特征。,漂移率和方差率为常数不恰当,若把变量,x,t,的漂移率,a,和方差率,b,当作变量,x,和时间,t,的函数，,扩展后得到的即为,ITO,过程,4/15/2026,43,B-S,期权定价模型是根据,ITO,过程的特例几何布朗运动来代表股价的波动,省略下标,t,，变换后得到几何布朗运动方程,（,7.6,）,证券的预期回报与其价格无关。,4/15/2026,44,ITO,定理：假设某随机变量,x,的变动过程可由,ITO,过程表示为（省略下标,t,）,令,f(x,t,),为随机变量,x,以及时间,t,的函数，即,f(x,t,),可以代表以标的资产,x,的衍生证券的价格，则,f(x,t,),的价格变动过程可以表示为,（,7.7,）,4/15/2026,45,证明：将（,7.7,）离散化,由（,13.1,）知,利用泰勒展开，忽略高阶段项，,f(x,t,),可以展开为,（,7.8,）,4/15/2026,46,在连续时间下，即,因此，（,7.8,）可以改写为,（,7.9,）,从而,4/15/2026,47,即,x,2,不呈现随机波动！,（,7.10,）,4/15/2026,48,由（,7.10,）可得,（,7.11,）,由（,13.11,）得到,（,7.12,）,4/15/2026,49,由于,x,2,不呈现随机波动，所以，其期望值就收敛为真实值，即,当,t,0,时，,由（,7.9,）可得,4/15/2026,50,7.5 B-S,微分方程,假设标的资产价格变动过程满足,这里,S,为标的资产当前的价格，令,f(s,t,),代表衍生证券的价格，则,f(x,t,),的价格变动过程可由,ITO,引理近似为,4/15/2026,51,假设某投资者以,份的标的资产多头和,1,个单位的衍生证券空头来构造一个组合，且,满足,则该组合的收益为,4/15/2026,52,下面将证明该组合为无风险组合，在,t,时间区间内收益为,4/15/2026,53,注意到此时,不含有随机项,w,，这意味着该组合是无风险的，设无风险收益率为,r,，且由于,t,较小（不采用连续复利），则,整理得到,4/15/2026,54,B-S,微分方程的意义,衍生证券的价格,f,，只与当前的市价,S,，时间,t,，证券价格波动率,和无风险利率,r,有关，它们全都是客观变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会对,f,的值产生影响。,在对衍生证券定价时，可以采用,风险中性定价,，即所有证券的预期收益率都等于无风险利率,r,。,只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用,B-S,微分方程求出价格,f,。,4/15/2026,55,若股票价格服从几何布朗运动,设当前时刻为,t,，则,T,时刻股票价格满足对数正态分布，即,7.6,几何布朗运动与对数正态分布,4/15/2026,56,令,则,这样由伊藤引理得到,即,4/15/2026,57,由（,13.1,）,4/15/2026,58,则称,S,T,服从对数正态分布，其期望值为,所以,4/15/2026,59,7.7 B-S,买权定价公式,对于欧式不支付红利的股票期权，其看涨期权（买权）的在定价日,t,的定价公式为,4/15/2026,60,（,1,）设当前时刻为,t,，到期时刻,T,，若股票价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻,t,的股票价格为,S,t,则,T,时刻的股票价格的期望值为,B-S,买权定价公式推导,（,7.13,）,4/15/2026,61,（,7.14,）,由（,13.13,）和（,13.14,）得到,（,7.15,）,根据,B-S,微分方程可知，定价是在风险中性条件下，则资产的期望回报为无风险回报，则,这表明：在风险中性的世界中，任何可交易的金融资产的回报率均为无风险利率。,4/15/2026,62,（,2,）在,风险中性的条件下,，任何资产的贴现率为无风险利率,r,，故买权期望值的现值为,（,7.16,）,4/15/2026,63,由于,S,T,服从对数正态分布，其,pdf,为,（,7.17,）,第,1,项,第,2,项,将,由,(7.16),得到,4/15/2026,64,（,3,）化简（,7.17,）中的第,1,、,2,项，先化简第,1,项,（,7.18,）,当前时刻价格，不是变量,4/15/2026,65,（,7.19,）,4/15/2026,66,将（,7.19,）与（,7.18,）内的第,2,个指数项合并，即,（,7.20,）,4/15/2026,67,将（,7.20,）代入（,7.18,）,下面，将利用变量代换来简化,（,7.21,），不妨令,（,7.21,）,4/15/2026,68,4/15/2026,69,y,的积分下限为,y,的积分上限为,4/15/2026,70,将,dy,与,y,代入（,7.21,），即有,这样就完成了第,1,项的证明。,（,7.22,）,4/15/2026,71,下面证明,B-S,公式中的第,2,项，,首先进行变量代换，令,4/15/2026,72,则,z,的积分下限,z,的积分上限,4/15/2026,73,将,z,和,dz,代入,（,7.23,）,4/15/2026,74,则由（,7.22,）和（,7.23,）得到,其中,4/15/2026,75,p,r,0,d,N(d,),例如,:,当,d,1.96,时,N(d),913.5%,4/15/2026,76,B-S,买权公式的意义,N(d,2,),是在风险中性世界中,S,T,大于,X,的概率，或者说式欧式看涨期权被执行的概率。,e,-r(T-t),XN(d,2,),是,X,的风险中性期望值的现值。,SN(d,1,)=,e,-r(T-t),S,T,N(d,1,),是,S,T,的风险中性期望值的现值。,4/15/2026,77,其次，是复制交易策略中股票的数量，,SN,（,d,1,),就是股票的市值,-e,-r(T-t),XN(d,2,),则是复制交易策略中负债的价值。,假设两个,N,(,d,),均为,1,，看涨期权价值为,S,t,-,X,e,-rT,，则没有不确定性。如果确实执行了，我们就获得了以,S,t,为现价的股票的所有权，而承担了现值,X,e,-rT,的债务。,期权的价值关于标的资产的价格及其方差，以及到期时间等,5,个变量的非线性函数,C,t,=,f(S,t,X,r),的函数,，具有如下性质,4/15/2026,78,Factor,Effect on value,Stock price increases,Exercise price decreases,Volatility of stock price increases,Time to expirationincreases,Interest rate increases,Dividend Ratedecreases,Factors Influencing Option Values:Calls,S,o,=100X =95,r =0.10,T,=0.25(quarter),=0.50,d,1,=ln(100/95)+(0.10+(0,5,2,/2)/(0,5,0,.25,1/2,),=0.43,d,2,=0.43+(0,5,0,.25,1/2,),=0.18,N(0.43)=0.6664,，,N(0.18)=0.5714,Call Option Example,4/15/2026,80,C,o,=S,o,N(d,1,)-Xe,-rT,N(d,2,),C,o,=100*0.6664-95 e,-0.10*0.25,*0.5714,C,o,=13.70,P=,Xe,-rT,1-N(d,2,)-S,0,1-N(d,1,),Call Option Value,4/15/2026,81,7.8,看跌期权的定价,利用金融工程的原理来看待期权平价关系,考虑如下两个组合：,组合,A,：一份欧式看涨期权加上金额为,的现金,组合,B,：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产,4/15/2026,82,组合,A,到期时刻,T,的收益,组合,B,到期时刻,T,的收益,两个组合具有相同的价格，且由于欧式期权不能提前执行，则在,t,时刻两个组合价值相等，否则就有套利，即,此为看涨看跌期权平价公式。,4/15/2026,83,从几何图性上看，二者对影响期权的关键指标都进行了负向变换，是关于纵向对称的。,4/15/2026,84,标的资产价格,期权价值,4/15/2026,85,7.9,有收益资产的欧式期权定价,当标的证券已知收益的现值为,I,时，我们只要用（,S,t,I,）代替,B-S,公式中的,S,t,当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率,q,（单位为年）时，我们只要将,4/15/2026,86,对于欧式期货期权，其定价公式为,其中：,F,为到期日期货的价格，即付出,X,，得到一个价值为,F,的期货,4/15/2026,87,根据泰勒公式对期权价格进行二阶展开，忽略高阶项,Delta,Theta,Vega,Rho,Gamma,7.10 B-S,公式的边际分析,4/15/2026,88,命题：欧式看涨期权的,Delta=N(d,1,),4/15/2026,89,4/15/2026,90,利用,Delta,进行套期保值,某人出售,10,份看涨期权并且持有,6,股股票，根据,0.6,的套期比率，股票价格每升高,1,美元，股票的收益增加,6,美元，同时看涨期权则损失,100.6,美元，即,6,美元。可见股票价格的变动没有引起总财富的变动，这就使头寸得到了套期保值。,Delta,对冲,=,对冲比。,4/15/2026,91,