Ch4态和力学量的表象.ppt

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,Chap.4,The representation for the states and dynamical variable,*,Ch,apter,.4,态和力学量的表象,The representation for the states and,dynamical variable,Ch,apter,.4,态和力学量的表象,The representation for the states and,dynamical variable,引言,按量子力学基本原理，,体系,的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符,表示,。前面所使用的波函数及力学量算符是以坐标这个力学量算符的本征值为变量写出它们,的,具体形式的。那么，是否还可以选择其它力学量,算符的本征值作为变量而写出波函数及力学量算符的具体形式,呢？回答是肯定的。,这就是说,量子力学中,波函数和力学量算符,的,描述方式不是唯一的,，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。,量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象,动量表象,能量表象,角动量表象,常用的表象,坐标表象,4.1,态的表象,The representation of the state,4.2,算符的矩阵表示,Matrix representation of operators,4.3,量子力学公式的矩阵表示,Matrix representation of formula for,quantum mechanism,4.4,幺正变换,Unitary transformation,4.5,狄喇克符号,Dirac symbols,4.6,线形谐振子与占有数表象,Linear oscillator and occupation number,representation,研究内容,重点掌握的内容,二个表示：,态在任意表象中的表示；,算符在任意表象中的表示。,三个公式：,在任意表象中,的表示,平均值公式,本征值方程,薛定谔方程,狄喇克符号及应用,幺正变换的基本性质,表象的定义,一个定义：,产生算符、湮灭算符、粒子数算符及它 们的物理意义,矩阵力学,主要数学工具,矩 阵,1,态的动量表象,4.1,态的表象,动量算符本征函数：,组成,完备系,展开系数,构成付里叶变换与逆变换,从数学上,讲，,知道其一,必可唯一地求出另一。,从物理角度,看,，描述粒子状态，那么 也可用于描述粒子,同一,状态。,任一状态 可按其展开：,称为坐标表象中的,状态,波函数，,称为,动量表象中的,状态,波函数。,4.1,态的表象,（续）,物理意义,？,是在 所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果,为,的几率。,是在 所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果为 的几率。,两者从不同的侧面,描写粒子的状态,给出了粒子的,不同,信息（力学量 和 的信息）。,证,（归一化条件）,命题,若,是归一化波函数，则 也归一。,4.1,态的表象,（续）,2,Q,表象,力学量算符 的正交归一的本征函数,完备,系：,任一状态 可按其展开：,展开系数：,由上述两式给出了 与 函数集之间的相互变换关系，将 写成矩阵,本征方程：,4.1,态的表象,（续）,给出在 态中测量粒子的力学量,Q,取,值的几率,对于 与 ，知道其一就可求得另一，因而 与 描述粒子同一状态。是粒子状态波函数在,Q,表象中的表示，称为,Q,表象波函数,4.1,态的表象,（续）,归一化条件,（归一化条件的矩阵,表述形式）,以上讨论可推广到,Q,有连续谱的情况,。,粒子处于一维无限深势阱的基态：,求该态在动量和能量表象中的表示形式,。,Ex.1.,4.1,态的表象,（续）,注,动量本征函数,Solve,选择动量表象:,展开系数,：,4.1,态的表象,（续）,能量表象,：,本征函数,可见能量算符的本征函数在能量自身表象中取,符号形式。,4.1,态的表象,（续）,基态的表示,一般结论:,力学量算符属于分立本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一,符号,其矩阵为单位元矩阵。,能级态的表示,第,n,行,4.1,态的表象,（续）,Ex.2:,Solve,：,自由粒子,动量,算符的,本征函数,求自由粒子动量算符 具有确定本征值 的本征函数在动量自身表象中的形式,Ch.4,The representation for the states and dynamical variable,动量算符 具有确定本征值 的本征函数:,可见，动量算符具有确定本征动量值 的本征函数在动量自身表象中是以动量 为变量的,函数。,4.1,态的表象,（续）,动量算符的本征方程,一般结论:,力学量算符属于连续本征值的本征函数在该力学量自身表象中为一,函数,。,Ch.4,The representation for the states and dynamical variable,在坐标表象中，坐标算符 的本征函数,同样,4.1,态的表象,（续）,本征值方程,:,以上讨论与三维矢量空间矢量的表示很类似,。,Hilbert,空间与态矢量,在三维矢量空间选一组,正交归一完备基,正交归一条件,4.1,态的表象,（续）,Hilbert,空间：,满足态迭加原理的状态全体构成的复,线性空间,态矢量：,Hilbert,空间中的矢量，即体系的状态波,函数视为一个矢量称为,态矢量,（简称,态矢,）,力学量,算符 的正交归一完备函数系 构成,Hilbert,空间中的一组正交,归一,完备基底。,任一态矢,4.1,态的表象,（续）,注意：,由于波函数必须归一化，因而态矢的大小一定，不同的态矢只是方向不同。,表象与,几何空间坐标系,的比较,4.1,态的表象,（续）,量子力学表象,几何空间坐标系,某,一表象,本征,态,矢量,某,一坐标系的一组,基矢,正交归一,正交归一,量子态,矢量：,矢量,:,4.1,态的表象,（续）,选定一个特定 表象，就相当于在,Hilbert,空间,中,选,定一个特定的坐标系,力学量,算符 的正交归一完备函数系 构成,Hilbert,空间中的一组正交,归一,完备基底。,.任意态矢量 在 表象中的表示,是,一,列矩阵，矩阵元,是态矢量,在,算符的本征矢 上的投影。,3选取不同力学量,表象,，就是选取不同完备正交基底，态矢,的,表述具有不同矩阵形式，这就是态的不同表象波函数。,结论,4.1,态的表象,（续）,4.2,算符的矩阵表示,力学量算符在坐标表象与动,量表象中的表示,坐标表象,动量表象,问题,力学量算符,在,表象中如何表示？,在,坐标,表象中，力学量,F,用算符 表示，设 作用于 得到 。,（,1,）,即,选定力学量 表象，算符的,正交归一的本征函数,完备,系记为,将 和 分别按函数系 展开,代入坐标表象表达式（,1,）,以 乘该式，对,全部范围积分,4.2,算符的矩阵表示,（续）,记为,记为,矩阵 和 分别是波函数 和,在,Q,表象中的形式。,Q,表象的表,达方式,4.2,算符的矩阵表示,（续2）,讨论,1,是厄米矩阵,Prove,：,显而易见，对角矩阵元为实数,可见，算符,在,Q,表象中是一个矩阵 ，其矩阵元为,即 是厄米矩阵。,4.2,算符的矩阵表示,（续3）,2,力学量算符在自身表象中的矩阵是一个对角矩阵。,3,当 具有连续本征值谱 时，力学量算符的表示矩阵元,4.2,算符的矩阵表示,（续4）,1,归一化条件,4.3,量子力学公式的矩阵表示,2,、平均值公式,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续1）,其中,为算符 的矩阵元,在 表象中：,（续7）,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续,2),4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续3）,3,、本征值方程,在,Q,表象中，其矩阵形式为,：,（,1,）,移项得,：,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续4）,（,m=1,，,2,，,3,）,（,2,）,此式即为线性齐次方程组：,非零解的条件是系数行列式等于,0,，即久期方程：,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续5）,求出本征值,将每个 值分别代入矩阵方程（,1,）或（,2,），求出,即得本征函数,这样变解微分方程为解代数方程。,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续6）,Ex.,已知在 和 的共同表象中，算符 和,的矩阵分别为,求它们的本征值和归一化的本征函数，最后将矩阵,和 对角化。,本征方程为,Solve:,设 的本征值为,本征波函数为,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续7）,要使本征波函数不为零，亦即要求,a,b,c,不全为零，其条件是（1）中的系数矩阵的行列式为零。,（1）,久期方程,本征值,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续8）,当 时，,由（,2,）有,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续9）,由归一化条件,:,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续10）,归一化常数,归一化的波函数,当 时,由（,2,）有,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续11）,归一化条件,归一化的波函数：,当,由（,2,）有：,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续12）,归一化条件,归一化的波函数：,构成一个正交归一本征函数完备系,的对角矩阵,正交归一化条件：,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续13）,类似地,可求出 的本征值、归一化的本征函数系和对角阵。,本征值,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（14）,本征波函数：,正交归一化条件：,4,、薛定谔方程,在,Q,表象中，其矩阵形式为：,的对角矩阵,：,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续1,5,）,简写为：,其中,4.3,量子力学公式的矩阵表示,（续1,6,）,4.4,幺正变换,为了找到 和 的联系，将 按 展开,：,1,、幺正变换,设算符 的正交归一本征函数系为,算符 的正交归一本征函数系为,（1）,（2）,讨论波函数和力学量从一个表象变换到另一个表象的一般情况,其展开系数为：,（3）,（4）,由 为矩阵元所构成的矩阵称为变换矩阵。通过（1）和（2）就把 表象的基矢 变换为,表象的基矢,。,由 和 的正交归一性有：,4.4,幺正变换,（续1）,同理,4.4,幺正变换,（续 2）,将按展开:,4.4,幺正变换,（续 3）,即 是幺正矩阵，由幺正矩阵表示的变换称为幺正变换,结论,:,一个表象到另一个表象的变换是幺正变换。,2,力学量的表象变换,力学量 在表象,A,中的表示矩阵：,在表象,B,中的表示矩阵,：,4.4,幺正变换,（续 4）,此为力学量 从表象,A,变换到表象,B,的变换公式,4.4,幺正变换,（续 5）,3.,态的表象变换,任意态矢量,4.4,幺正变换,（续 6）,在,A,表象中：,在,B,表象中：,?,如何变换,4.4,幺正变换,（续 8）,两边左乘,并对 积分,写成,矩阵形式:,简写为,从,B,表象变换到,A,表象,从,A,表象变换到,B,表象,反之，,4.4,幺正变换,（续 9）,4.,幺正变换的两个重要性质,（,1,）幺正变换不改变算符的本征值,在 表象中的矩阵为,本征矢为,算符 在 表象中的矩阵为,本征矢为,4.4,幺正变换,（续 10）,本征方程,本征方程,（1）,（2）,本征值不变,比较,(1),、,(2),式,可知,由此定义有,:,故迹不变，的迹等于 的迹,4.4,幺正变换,（续 12）,（,2,）幺正变换不改变矩阵的迹,矩阵,A,的对角元素之和称为矩阵,A,的迹，以 表示，则,