离散数学--关系的性质.ppt
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1、14.3 关系的性质l关系的性质及特点关系的性质及特点l关系性质的充要条件关系性质的充要条件l关系性质的证明关系性质的证明l运算和性质的关系运算和性质的关系.121.自反的二元关系自反的二元关系(1).定定 义义:R是是 上上 的的 二二 元元 关关 系系,若若 x(xA R),则称则称R在在A上是上是自反自反的二元关系。的二元关系。例如例如 a,b,c,R=(a,a),(b,b),(c,c),(a,b),则是自反的。则是自反的。又如又如1,2,3,R是上的整除关系,是上的整除关系,显然,是自反的,因为(显然,是自反的,因为(1,1),(2,2),(3,3)都属于都属于R。即即如如果果对对于于
2、中中的的每每一一个个元元素素a,都都有有(a,a)R,则则称称为自反的二元关系。为自反的二元关系。一、关系的性质及特点一、关系的性质及特点.23注意,在关系的自反性定义中,要求对于注意,在关系的自反性定义中,要求对于A中中的每一个元素的每一个元素a都有都有(a,a)R。所以当。所以当A=a,b,c,而,而R=(a,a),(b,b)时,时,R并不是自反的,因为并不是自反的,因为(c,c)R。又如又如A=1,2,3,R是是A上的二元关系,当上的二元关系,当a,bA,且且a和和b都是素数时,都是素数时,(a,b)R。可见可见(2,2),(3,3),(2,3),(3,2),也不是自反关,也不是自反关系
3、,因为系,因为(1,1)R。.34(2).关系矩阵的特点:关系矩阵的特点:关系矩阵中主对角线上的元素全为关系矩阵中主对角线上的元素全为1。(3).关系图的特点:关系图的特点:关系图中每个顶点都有环。关系图中每个顶点都有环。实例:实例:A上的全域关系上的全域关系EA,恒等关系恒等关系IA,小于等于关系,小于等于关系LA,整除关系整除关系DA都是自都是自反关系:反关系:.452反自反的二元关系反自反的二元关系(1).定义:定义:R是上的二元关系,若是上的二元关系,若 x(xA R),则称则称R在在A上是上是反自反反自反的二元关系的二元关系.例如例如a,b,c,R=(a,b),(b,c),(b,a)
4、,则是反自反的。,则是反自反的。又如又如1,2,3,R是上的小于关系,即当是上的小于关系,即当ab时,时,(a,b)R。显然,是反自反的。显然,是反自反的。注意,非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系,注意,非自反的二元关系不一定是反自反的二元关系,因为存在着这样的二元关系,它既不是自反的又不是反自因为存在着这样的二元关系,它既不是自反的又不是反自反的,如反的,如=a,b,c,R=(a,a),(a,b),那么不是自反的,那么不是自反的(因因为为(b,b),(c,c)都不属于都不属于),也不是反自反的,也不是反自反的(因为因为(a,a)R)。即对于中的每一个元素即对于中的每一个元素a,都有都有
5、(a,a)R,则称为,则称为反自反的二元关系。反自反的二元关系。.56实例:实例:实数集上的小于关系,空关系实数集上的小于关系,空关系,幂集上的,幂集上的真包含关系都是反自反关系。真包含关系都是反自反关系。(2).关系矩阵的特点:关系矩阵的特点:关系矩阵中主对角线上的元素全为关系矩阵中主对角线上的元素全为0。(3).关系图的特点:关系图的特点:关系图中每个顶点都没有环。关系图中每个顶点都没有环。.67例例1 A=1,2,3,R1,R2,R3是是A上的关系上的关系,其中其中R1,R2,R3R1既不是自反也不是反自反的既不是自反也不是反自反的R2为自反关系为自反关系,R3为反自反关系。为反自反关系
6、。.783.对称的二元关系对称的二元关系(1).定义定义:R是上的二元关系,是上的二元关系,若若 x,y(x,yARR),则称则称R为为A上上对称对称的二元关系的二元关系.例如例如=a,b,c,d,R=(a,a),(a,b),(b,a),(b,d),(d,b)则是对称的二元关系。则是对称的二元关系。又如又如=1,2,3,4,5,对于中元素对于中元素a和和b,如果如果a,b是模是模3同余关系,则同余关系,则(a,b),易见是对称关系。易见是对称关系。即如果即如果(a,b)R,就一定有就一定有(b,a)R,则称为对称的二元关系。则称为对称的二元关系。.89实例:实例:A上的全域关系上的全域关系EA
7、,恒等关系恒等关系IA和空关系和空关系都是都是对称关系。对称关系。(2).关系矩阵的特点:关系矩阵的特点:关系矩阵为对称矩阵。关系矩阵为对称矩阵。(3).关系图的特点:关系图的特点:关系图中如果两个顶点之间有边一定是一对关系图中如果两个顶点之间有边一定是一对方向相反的边。方向相反的边。.9104反对称的二元关系反对称的二元关系即即R是上的二元关系,每当有是上的二元关系,每当有(a,b)和有和有(b,a)时,必有时,必有a=b,则称是反对称的二元关系。则称是反对称的二元关系。反对称的定义也可写为:是上的二元关系,反对称的定义也可写为:是上的二元关系,当当ab时,如果时,如果(a,b),则必有则必
8、有(b,a)R,称为反对称的二元关系。称为反对称的二元关系。例如例如=1,2,3,R是上的小于关系,即是上的小于关系,即ab,(,(a,b)。易见易见=(1,2),(1,3),(2,3),所以是反对称的。所以是反对称的。又如是一些整数组成的集合,如果又如是一些整数组成的集合,如果a整除整除b,则,则(a,b),R也是反对称的。也是反对称的。(1).定义:若定义:若 x,y(x,yARRx=y),则称则称R为为A上的上的反对称反对称关系关系.1011注意,注意,“对称的对称的”和和“反对称的反对称的”这两个概念并非相互对立,这两个概念并非相互对立,相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元
9、相互排斥的。存在着既不是对称的又不是反对称的二元关系,也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。关系,也存在着既是对称的又是反对称的二元关系。又如又如A=a,b,c,R=(a,a),可知是对称的,又是反对称的。可知是对称的,又是反对称的。因为虽有因为虽有(a,b)R,(b,a)R,但,但(c,d)R时时(d,c)R,因此因此R不是对称的,不是对称的,例如例如A=a,b,c,d R=(a,b),(b,a),(c,d)这里这里R既不是对称的,也不是反对称的。既不是对称的,也不是反对称的。因为有因为有(a,b)R和和(b,a)R,因此,因此R不是反对称的。不是反对称的。.1112实例:实例:恒等关系恒
10、等关系IA,空关系空关系都是都是A上的反对称关系。上的反对称关系。(2).关系矩阵的特点:关系矩阵的特点:关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为关系矩阵中以主对角线对称的元素不能同时为1。(3).关系图的特点:关系图的特点:关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。关系图中如果两个顶点之间有边一定是一条有向边。.1213例例2 设设A1,2,3,R1,R2,R3和和R4都是都是A上的关系上的关系,其中其中 R1,,R2,R3,,R4,R1 对称、反对称对称、反对称.R2 对称,不反对称对称,不反对称.R3 反对称,不对称反对称,不对称.R4 不对称、也不反对称不对称、也不反对称.1314
11、 5.可传递的二元关系可传递的二元关系(1).定义:定义:R是是A上的二元关系,上的二元关系,x y z(x,y,zARRR),则称则称R是是A上的上的传递传递关系关系.例如整除关系是可传递的,因为每当(例如整除关系是可传递的,因为每当(a,b)R时,时,即即 a 能整除能整除 b,b能整除能整除c时,显然时,显然 a 能整除能整除 c,所以必有(所以必有(a,c)R。又如又如A=a,b,c,d,e,其中,其中a、b、c、d、e分别是表示分别是表示5个人,且个人,且a、b、c同住一个房间;同住一个房间;d和和e同住另一个房间。同住另一个房间。如果同住一房间的人认为是相关的,显然这种同房间关系如
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