高三物理难点-破解连接体中速度、位移及加速度关联.doc

难点6破解连接体中速度、位移及加速度关联
在学习了运动的合成与分解后，我们经常会碰到涉及相互关联的物体的速度求解。这样的几个物体或直接接触、相互挤压，或借助其他媒介（如轻绳、细杆）等发生相互作用。在运动过程中常常具有不同的速度表现，但它们的速度却是有联系的，我们称之为“关联”速度。解决“关联”速度问题的关键有两点：一是物体的实际运动是合运动，分速度的方向要按实际运动效果分解，二是沿着相互作用的方向(如沿绳、沿杆)的分速度大小相等。下面通过三种关联媒介来破解连接体中的关联物理量的问题。

连接媒介之一：绳杆连接物体的关联
对于绳子或杆连接的两个物体，轻杆与轻绳均不可伸长，绳连或杆连物体的速度在绳或杆的方向上的投影相等。求绳连或杆连物体的速度关联问题时，首先要明确绳连或杆连物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳或杆的方向和垂直于绳或杆的方向进行分解，令两物体沿绳或杆方向的速度相等即可求出。
【调研1】【2011年高考上海卷第11题】如图，人沿平直的河岸以速度行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行。当绳与河岸的夹角为，船的速率为
A、vsinα B、
C、vcosα D、
【解析】本题考查运动的合成与分解。本题难点在于船的发动机是否在运行、河水是否有速度。依题意船沿着绳子的方向前进，即船的速度就是沿着绳子的，根据绳子连接体的两端物体的速度在绳子上的投影速度相同，即人的速度v在绳子方向的分量等于船速，故v船＝vcosα，C对。
【答案】C
【规律总结】绳端速度的分解是绳端物体（绳端连接体如本题小船）实际速度（对地）的分解，实际速度产生两个效果：一是绳的缩短或伸长；二是绳绕滑轮的转动，且转动线速度垂直于绳。绕过滑轮的轻绳力的特点是两端拉力相等，速度特点是沿绳的伸长或缩短方向速度相等。因此绳子关联的物体的分解方法有两种，①将实际速度分解为沿着绳子方向和垂直绳子方向；②绳子两端的速度在绳子上的投影速度相同，比如本题中绳子左端的速度就是拉力的速度与绳子与船连接端的小船在绳子方向上的投影速度大小相等。
v
A
B
【调研2】如图所示，开始时A、B间的细绳呈水平状态，现由计算机控制物体A的运动，使其恰好以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过定滑轮拉动物体B在水平面上运动，则下列v－t图象中，最接近物体B的运动情况的是

O
t
v
A
O
t
v
B
O
t
v
C
O
t
v
D

v
A
B

θ
v2
v1
v
【解析】与物体A相连的绳端速度v分解为沿绳伸长方向的速度v1和垂直于绳方向的速度v2，则物体B的速度vB＝v1＝vsinθ，在t＝0时刻θ＝0°，vB＝0，C错；之后随θ增大，sinθ增大，B的速度增大。在A下落相同距离时，绳子与水平方向之间的夹角逐渐增大，显然θ增大的过程中，由正弦函数图象的斜率可知sinθ的变化率越来越小，故vB的变化率越来越小，也就是vB－t图线的斜率越来越小，故A对。（也可通过数学的导数知识将vB对时间求导）
【答案】A
【方法技巧】 在进行速度分解时，要分清合速度与分速度．合速度就是物体实际运动的速度，是平行四边形的对角线．虽然分速度的方向具有任意性，但只有按图示分解时，vB才等于v1，才能找出vB与v的关系；而对于速度vB的变化趋势，则可以由开始和最终作极限情况判断，排除BD。
【调研3】如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M的速率vM。
【解析】杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，在所考察时其大小为vA＝ωR
对速度vA作如图所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M是速率vM，则vM＝vAcosφ
由正弦定理知＝
由图看出∠OAB＝＋φ
由以上各式得：vM＝ωHsinα
【误点警示】本题中与绳子连接的物体有M和OA杆，由于OA杆上各点的线速度不同，但角速度相同，且与绳子连接的位置在A处，故在处理速度关联时要用A点的线速度进行分解。分解方法依然是沿着绳子方向和垂直绳子方向分解。
连接媒介之二：接触物体间的关联
求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。
【调研5】如图所示，轻杆的下端用铰链固接在水平面上，上端固定一个质量为m的小球，轻杆处于竖直位置，同时与一个质量为M的长方体相接触。由于微小扰动使杆向右侧倒下，当小球与长方体分离时，杆与水平面的夹角为30°，且杆对小球的作用力恰好为零，求。不计一切摩擦。
M
m

【解析】在杆从竖直位置开始倒下到小球与长方体恰好分离的过程中，小球和长方体组成的系统机械能守恒，设杆长为L，小球和长方体的速度分别为v、u，则
mgL(1－sin30°)＝mv2＋Mu2
分离时刻，小球只受到重力，由向心力公式及牛顿第二定律：mgsin30°＝
此时小球与长方体的水平速度相同，即：vsin30°＝u
联立解得 ＝4
【拓展提升】本题中分离的瞬间小球与长方体的速度是不相同的。小球的运动参与了两个运动，两个速度分别是绕着转动点转动的线速度和与长方体一起想右运动的速度。实际上本题多给了一个条件：分离时杆对小球的作用力为零。这个条件可以这么理解：分离时长方体水平方向不受力作用，故加速度为零，则小球的水平加速度也必定为零，小球没有水平加速度，就不可能有水平的合力，此时若存在杆的弹力，则杆的弹力必定产生水平分力，出现矛盾，只有杆的弹力为零才能符合。故分离时杆的弹力为零是多余的条件。
【调研6】一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，靠在一个质量为m0，高为h的物块上，如图所示。若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球A的线速度vA。（此时杆与水平方向夹角为θ）
【解析】选取物体与棒的接触点B为连结点。（不直接选A点的原因是因为A点与物块速度v的关系不明显）。因为B点在物块上，该点运动与物块运动一致，故B点的合速度（实际速度）就是物块速度v；B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度v1和绕O点转动的线速度v2。因此，将这个合速度（实际速度）沿棒方向及垂直于棒方向进行分解，如图所示，由速度矢量分解图及几何关系可得：v2＝vsinθ。
设此时OB长度为a，则a＝，令棒绕O点转动角速度为ω，则ω＝＝，故A的线速度vA＝ωL＝。
【误点警示】本题到底是将物块的速度分解还是将B点的速度分解是同学们的最大困惑。掌握的方法有两种，一种就是看效果：物体实际的速度分解为连接媒介的两个效果，本题中B点一边沿着杆向上运动速度v1，一边绕O点转动的速度v2；另一种就是看投影：媒介所连接的对象在媒介上的投影速度相同。
R
θ
O
P
v0
v1
【调研7】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度v0匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。
【解析】设竖直杆运动的速度为v1，方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以v0、v1在OP方向的投影相等，即有
v0sinθ＝v1cosθ，解得v1＝v0tanθ 。
【学法指导】本题中对于杆我们能够看到的就是杆向上运动，这就是实际的运动速度方向，而半圆柱体的实际运动方向是水平向右，两个速度关联必须明确两个接触物体的弹力方向，即关联这两个速度的方法就是OP方向的投影速度相同。
【调研8】如图所示，薄板形斜面体竖直固定在水平地面上，其倾角为θ＝37°。一个“Π”的物体B靠在斜面体的前后两侧，并可在水平面上自由滑动而不会倾斜，B的质量为M＝2kg。一根质量为m=1kg的光滑细圆柱体A搁在B的竖直面和斜面之间。现推动B以水平加速度a＝4m/s2向右运动，并带动A沿斜面方向斜向上运动。所有摩擦都不计，且不考虑圆柱体的滚动，g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求：
（1）圆柱体A的加速度大小；
（2）B物体对A的推力F的大小；
（3）当A被缓慢推至离地高为h＝1m的P处时停止运动，放手后A下滑时带动B一起运动，当到达斜面底端时B的速度为多大？
【解析】（1）A的合加速度方向沿斜面向上，其水平向右的分加速度和B的加速度相同，如图所示。则aA=，代入数据解得：aA=5m/s2

（2）对A，由牛顿第二定律：Fcos37°－mgsin37°＝maA，解得：F=13.75N
（3）mgh＝mvA2＋MvB2，又vB＝vAcos37°，解得：vB＝m/s≈2.4m/s
【方法点拨】A球的速度沿着斜面向上，这是实际速度，也称为合速度，从实际效果来看A球一边向右运动，一边向上运动，当然加速度也可以这么分解。看来理解什么是实际速度是关联体中的关键环节。
连接媒介之三：皮带或齿轮的关联
凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
a
b
c
d
【调研9】如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
【解析】a与c轮属于皮带轮，则线速度相同va＝vc
b、c、d三个轮子属于同轴轮，则角速度相同，ωb＝ωc＝ωd
由v＝ωR，故vb∶vc∶vd ＝1∶2∶4，
联立可得va∶ vb∶vc∶vd ＝2∶1∶2∶4，且ωa∶ωb=2∶1，
故ωa∶ωb∶ωc∶ωd ＝2∶1∶1∶1；
根据a＝vω，可得aa∶ab∶ac∶ad＝4∶1∶2∶4
D
B
C
手压杠杆　
复位弹簧　
A
【规律总结】要弄清楚什么叫皮带或链条连接的轮子，什么叫具有同轴的轮子。知道皮带轮边缘的线速度相同，而同轴轮的角速度相同，再根据线速度、角速度及加速度的公式关系，这类问题即可迎刃而解。
【调研10】一种手压式自发电充电手电筒，传动装置由手压杠杆和四个齿轮组成，如图所示，其中齿轮A与手压杠杆共轴，齿轮B、C共轴，齿轮D与微型发电机共轴。每秒钟下压杠杆两次，带动发电机转动发电即可使发光组件正常发光。已知齿轮半径rA＝9rB、rC＝10rB、rB＝rD，每下压一次杠杆转动的角度为30°，设杠杆下压和复位时间相等，手压杠杆复位时发电机由于惯性继续转动，则发电机转动时的转速最接近（ ）
A、60r/min B、90r/min C、120r/min D、180r/min
【解析】手压杠杆每秒下压两次，每次杠杆转过30°角，故与杠杆共轴的齿轮A在每次下压时转过r，用时s，因此杠杆及齿轮A的转速为nA＝r/s＝r/s，A、B两轮由齿轮传动，齿轮边缘线速度相等，由v＝rω，且ω＝2πn，得＝，即转速与半径成反比，解得nB＝3r/s，B、C两齿轮共轴，转速相等，同理可得C、D两齿轮转速关系为nD＝30r/s＝180r/min，D正确。
答案：D
易错警示：本题设计贴近生活，试题将齿轮传动是接触传动与同轴传动相结合，“手压杠杆每次转过30°角”的时间是关注的焦点之一，若将每秒下压两次，认为每次时间为0.5s，则易错选C项。
【误点警示】本题中齿轮传动是接触传动（链轮）与同轴传动，“手压杠杆每次转过30°角”的时间是理解的关键点。
【拓展训练】
1、a
b
左
右
θ
（2011届武汉市11月调考）如图所示，水平地面上有一楔形物块a，其斜面上有一小物块b，b与平行于斜面的细绳的一端相连，细绳的另一端固定在斜面上。a与b之间光滑，a和b以共同速度在地面轨道的光滑段向左匀速运动。当它们刚运行至轨道的粗糙段时
A、绳的张力减小，地面对a的支持力不变
B、绳的张力减小，地面对a的支持力增加
C、绳的张力增加，斜面对b的支持力不变
D、绳的张力增加，斜面对b的支持力增加
1、A B【解析】若a、b能一起在粗糙段匀减速运动，则竖直方向整体平衡，地面对a的支持力依然等于两者的重力之和，A对；若在粗糙段a向左匀减速运动，而b沿着斜面相对a向上运动，则b具有竖直向上的分加速度，属于超重状态，则整体在竖直方向超重，故地面对a的支持力比两者重力之和大，B对；不管是上述的a、b一起匀减速运动还是b相对a沿着斜面向上运动，对b受力分析可知，b的水平方向原来处于平衡状态，则绳子张力T的水平分力Tx1＝Nx1，且Ty1＋Ny1＝mbg，而运行至粗糙段上时b具有向右的加速度，故Tx2＜Nx2，且Ty1＋Ny1≥mbg，显然b受到的绳子拉力T一定减小，受到的支持力N一定增大。综上可得绳子张力一定减小，地面对a的支持力可能不变也可能增加，而斜面对b的支持力一定增加，C、D均错。
2、水平面上有一带圆弧形凸起的长方形木块A，木块A上的物体B用绕过凸起的轻绳与物体C相连， B与凸起之间的绳是水平的。用一水平向左的拉力F作用在物体B上，恰使物体A、B、C保持相对静止，如图。已知物体A、B、C、的质量均为m，重力加速度为g，不计所有的摩擦，则拉力F应为多大？

2、【解析】设绳中张力为T，A、B、C共同的加速度为a，与C相连部分的绳与竖直线夹角为α，由牛顿运动定律，对A、B、C 组成的整体有F=3ma
对B有 F-T=ma
对C有 Tcosα=mg Tsinα=ma
联立得：T=2ma T2=m2(g2+a2)
故，
大齿轮
小齿轮
车轮
小发电机
摩擦小轮
链条
3、如图所示，一种向自行车车灯供电的小发电机的上端有一半径r0＝1.0cm的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘接触。当车轮转动时，因摩擦而带动小轮转动，从而为发电机提供动力。自行车车轮的半径R1＝35cm，小齿轮的半径R2＝4.0cm，大齿轮的半径R3＝10.0cm。求大齿轮的转速n1和摩擦小轮的转速n2之比。（假定摩擦小轮与自行车轮之间无相对滑动）
3、【解析】大小齿轮间、摩擦小轮和车轮之间和皮带传动原理相同，两轮边缘各点的线速度大小相等，由v=2πnr可知转速n和半径r成反比；小齿轮和车轮同轴转动，两轮上各点的转速相同。由这三次传动可以找出大齿轮和摩擦小轮间的转速之比n1∶n2=2∶175。
A
A′
B
B′
37°
37°
C
h1
h2
4、某机械打桩机原理可简化为如图所示，直角固定杆光滑，杆上套有mA＝55kg和mB＝80kg两滑块，两滑块用无弹性的轻绳相连，绳长为5m，开始在外力作用下将A滑块向右拉到与水平夹角为37°时静止释放，B滑块随即向下运动带动A滑块向左运动，当运动到绳与竖直方向夹角为37°时，B滑块（重锤）撞击正下方的桩头C，桩头C的质量mC＝200kg。碰撞时间极短，碰后A滑块由缓冲减速装置让其立即静止，B滑块反弹上升h1＝0.05m，C桩头朝下运动h2＝0.2m静止。取g＝10m/s2。求：
（1）滑块B碰前的速度；
（2）泥土对桩头C的平均阻力。
4、【解析】
设碰前A的速度为vA，B的速度为vB，由系统机械能守恒定律：
mBg（Lsin53°－Lsin37°）=mAvA2＋mBvB2
物体A和物体B沿绳的分速度相等：vAcos53°＝vBcos37°
联立以上两式得：vB＝3m/s
B与C碰撞动量守恒：mBvB＝mCvC—mBvB1
B碰后竖直上抛：vB12－0＝2gh1
联立以上两式得：vC＝1.6m/s
对C用动能定理：mgs－fs＝0－mCvC2
所以f＝3280N