高二数学异面直线练习题.doc

高二数学异面直线练习题
一、 选择题：
1. 已知是异面直线，直线∥直线，那么与
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
2. 空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形的各边中点，所成的四边 形是
A.梯形 B.矩形 C.平行四边形 D.正方形
3. 在棱长为2的正方体中，是底面的中心， 分别是的中点．那么异面直线和所成角的余弦值为
A. B. C. D.
4．直三棱柱中，，分别是的中点，，则与所成的角的余弦值为（ ）.
A. B. C. D.
5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )

A．8 B．6 C．10 D．8
6．若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为（ ）.
A．18 B.36 C.9 D.
7．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.5
8．用斜二测画法画出长为6，宽为4的矩形水平放置的直观图，则该直观图面积为 ( )
A. B. C. D.
9.空间四边形中，分别是和的中点，,
则和所成的角是 A. B. C. D.
10.已知正三棱柱中，若，则异面直线与所成的角为
A. B. C. D.
二、 填空题：

11．如图，一个球形广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为米的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是___________.

12．设一个扇形的半径为，圆心角为，用它做成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的体积是_________.
13.在正方体中，是中点，是的中点，则直线与所成角的大小为___________.
A
B
C
D
E

14.如图，四面体中，为中点，若，
，则与所成角的余弦值为_________.
15.在空间四边形,分别是的中点,
,则与所成的角的大小是___________.
16.已知是直三棱柱，，点分别是，的中点，
若，则与所成角的余弦值是___________.
三、 解答题：
17.如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点，求异面直
线和所成的角的余弦值.

18.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，分别
B
M
A
C
N
C1
A1
B1
是和的中点求与所成角的余弦值.

B
M
A
N
C
S
19.是正三角形所在平面外的一点，如图，且，分别是和的中点.
求异面直线与所成的角的余弦值.

17.如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积 为，，.（1）求三棱锥（第17题）
的体积；（2）求异面直线与所成角的余弦值.

参考答案
1．A
【解析】解：因为直线与平面所成的角为30°，为空间一定点，过作与、所成的角都是45°的直线，则这样的直线可作2条，选A
2．C
【解析】解：
取AC中点G，连接EG，GF，FC，设棱长为2，则CF= 3 ，而CE=1，∴EF= 2 ，GE=1，GF=1
而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，∵EF= 2 ，GE=1，GF=1
∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°，故选C
3．B
【解析】解：连接BF，可证AC⊥平面VBF。DE∥AC，所以DE与PF所成的角的大小为90°
4．B
【解析】解：取BC的中点G．连接GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角．
在△OEH中，OE= ，HE= ，OH=
由余弦定理，可得cos∠OEH=．
故选B．
5．B
【解析】解：如图所示：取BD的中点G，连接GM，GN．空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E、F分别是AB、CD的中点，
故MG是三角形ABD的中位线，GN是三角形CBD的中位线，故∠EGF（或其补角）即为AD与BC所成的角．△MGN中，MN=，由余弦定理可得 18=32+32-2cos∠MGN，∴cos∠MGN=0，
∴∠MGN=90°，故AD与BC所成的角为90°，故答案为选B．
6．C
【解析】解：
取AC中点G，连接EG，GF，FC
设棱长为2，则CF= ，而CE=1
∴EF= ，GE=1，GF=1
而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角
∵EF= ，GE=1，GF=1
∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°
故选C
7．D
【解析】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；
并设三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|= ，|A1D|=，|A1B|= ，
由余弦定理，得cosθ= =．
故选D．
8．A
【解析】解：连接D1F1，取BC中点M，四边形BMF1D1平行四边形，
所以：MF1∥BD1，
故F1A与F1M成锐角或直角是异面直线BD1和AF1成角．
设BC=CA=C1C=1，则AM= ，MF1= ，AF1=5/ 4 ，
所以：cos∠MF1A=AF 1 2+MF 1 2-AM 2 /2•AF 1•MF 1 = ．
即BD1和AF1成角余弦值为 ．
9．C
【解析】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B1A1到E，使A1E=A1B1，连结AE，EC1，则AE∥A1B，∠EAC1或其补角即为所求，由已知条件可得△AEC1为正三角形，∴∠EC1B为600，故选C．
10．B
【解析】
11．
【解析】解：因为直线在平面ABB1A1内的射影与直线垂直，因此利用三垂线定理以及逆定理可知所求的角为
【答案】90º
【解析】方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M,
所以，DN⊥平面A1MD1，
又A1M平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90º

方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）
故，
所以，cos< = 0,故DN⊥D1M，所以夹角为90º
[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.
13．
【解析】略
14．（1） ； （2） 。
【解析】正方体易建立空间直角坐标系，写出点的坐标.（1）求出向量，，把异面直线和所成的角的余弦值转化为向量，夹角的余弦值的绝对值；（2）求出平面BDD1的与平面BFC1的一个法向量，把平面与平面所成的锐二面角的余弦值转化为两法向量的夹角的余弦值的绝对值.
（1）以D为坐标原点，以为正交基底建立空间直角坐标系如图，则
，，，
，
……………………………………6分
异面直线和所成的角的余弦值；……………………………………7分
（2）平面BDD1的一个法向量为
设平面BFC1的法向量为
∴
取得平面BFC1的一个法向量
， ……………………………………14分∴所求的余弦值为 ……………………………………16分
15．（1）（2）
【解析】略
16．（1）证明： CE∥面PAB. （6分）
(2) （12分
【解析】（1）证明：取PA中点F,连结EF,BF,
∵E为PD中点，∴EF∥AD,且EF=AD,
又BC∥AD,BC=AD,∴EF∥BC,EF=BC,
∴四边形BCEF为平行四边形，∴CE∥BF,
∵CE面PAB, BF面PAB,∴CE∥面PAB. （6分）

(2)由（1）CE∥BF,
∴∠FBA（或其补角）即为CE与AB所成角，
设PA=AB=，则在RtBAF中，AF=，BF=，∴cosFBA=,∴CE与AB所成角的余弦值为（12分
17．（1） ；（2）.
【解析】本试题主要是考查了棱锥的体积和异面直线的所成角的余弦值的求解的综合运用。
（1）因为根据已知条件中圆柱的表面积和长度和角度问题可知得到锥体的底面的面积的求解以及最终的体积的表示。
（2）因为异面直线的所成的角一般通过平移得到，那么平移后的夹角为所求的异面直线的角。
解：
（1）由题意，解得. -------------------2分
在中，，所以 -------------------3分
在中，，所以 -------------------4分
-------------------5分
-------------------6分
（2）取中点，连接，，则，
得或它的补角为异面直线 与所成的角. -------------------8分
又，，得，， -------------------10分
由余弦定理得，
所以异面直线与所成角的余弦值是.-------------------12分