全等三角形辅助线系列之二---中点类辅助线作法大全.doc

全等三角形辅助线系列之二
与中点有关的辅助线作法大全
一、中线类辅助线作法
1、遇到三角形的中线，可以倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，通过全等将分散的条件集中起来，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
2、遇到题中有中点，可以构造三角形的中位线，利用中位线的性质转移线段关系．
3、遇到三角形的中线或与中点有关的线段，如果有直角三角形，可以取直角三角形斜边的中点，试图构造直角三角形斜边的中线，利用斜边中线的性质转移线段关系．

典型例题精讲
【例1】 如图，已知在中，是边上的中线，是上一点，延长交于，，求证：．

【解析】延长到，使，连结
∵，，
∴，∴．
又∵，∴
∴
∴，∴．

【例2】 如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交于点，若，求证：为的角平分线．

【解析】延长到点，使，连结．
在和中

∴
∴，
∴，而
∴
又∵，∴，
∴
∴为的角平分线．

【例3】 已知为的中线，，的平分线分别交于、交于．求证：．

【解析】延长到，使，连结、．
易证≌，∴，
又∵，的平分线分别交于、交于，
∴，
利用证明≌，∴，
在中，，∴．

【例4】 如图所示，在中，是的中点，垂直于，如果，求证．

【解析】延长至，使，连接、、．
因为，，，则．
从而，．
而，，故，因此，
即，则，即．
因为，故，则．
为Rt斜边上的中线，故．
由此可得．

【例5】 在中，是斜边的中点，、分别在边、上，满足．若，，则线段的长度为_________．

【解析】如图、延长至点，使得，联结、．
由，有

．
又，
．

【例6】 如图所示，在中，，延长到，使，为的中点，连接、，求证．

【解析】解法一：如图所示，延长到，使．
容易证明，从而，而，故．
注意到，
，
故，而公用，故，
因此．
解法二：如图所示，取的中点，连接．
因为是的中点，是的中点，
故是的中位线，从而，
由可得，故，
从而，．

【例7】 已知：ABCD是凸四边形，且．E、F分别是AD、BC的中点，EF交AC于M；EF交BD于N，AC和BD交于G点． 求证：．

【解析】取AB中点H，连接EH、FH．
∵，，∴EH∥BD，，∴
∵，
∴FH∥AC，
∴
∵，∴
∴，∴

【例8】 在中，，，以为底作等腰直角，是的中点，求证：且．

【解析】过作交于

∵
∴
又∵，，
∴，
∴，∴
又∵
∴
故
∴且．

【例9】 如图所示，在中，为的中点，分别延长、到点、，使．过、分别作直线、的垂线，相交于点，设线段、的中点分别为、．求证：
（1）；
（2）．

【解析】（1）如图所示，根据题意可知且，
且，
所以．
而、分别是直角三角形、的斜边的中点，
所以，，
又已知，
从而．
（2）由（1）可知，则由可得．
而、均为等腰三角形，
所以．
【例10】 已知，如图四边形中，，、分别是和的中点，、、的延长线分别交于、两点．求证：．

【解析】连接，取中点，连接、．
∵，，∴，，同理，，
∵，∴，∴
∵，
∴，，∴
【例11】 已知：在中，，动点绕 的顶点逆时针旋转，且，连结．过、的中点、作直线，直线与直线、分别相交于点、．

（1）如图1，当点旋转到的延长线上时，点恰好与点重合，取的中点，连结、，根据三角形中位线定理和平行线的性质，可得结论(不需证明)．
（2）当点旋转到图2或图3中的位置时，与有何数量关系？请分别写出猜想，并任选一种情况证明．
【解析】图2：，图3：
证明：在图2中，取的中点，连结、
∵是的中点，是的中点
∴，，∴
同理，，，∴
∵，∴，∴，∴
证明图3的过程与证明图2过程相似．

【例12】 如图所示，是内的一点，，过作于，于，为的中点，求证．

【解析】如图所示，取、的中点、，连接、、、，
则有且，且．
因为和都是直角三角形，
故，，从而，．
又因为，，
而，且，所以，
从而，故．
【例13】 如右下图，在中，若，，为边的中点．求证：．

【解析】如右下图，则取边中点，连结、．
由中位线可得，且．为斜边上的中线，∴．
∴，又∵，即，
∴，∴，∴．

【例14】 如图，中，，，是中点，，与交于，与 交于．求证：，．

【解析】连结．
∵，
∴
∵是中点
∴且
∵
∴
∵
∴
在与中，，，
∴
∴．∴．

【例15】 在□ABCD中，，过点D作，且，连接EF、EC，
N、P分别为EC、BC的中点，连接NP.
（1）如图1，若点E在DP上，EF与DC交于点M，试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M在线段EF上，当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论．
图1
A
B
C
D
P
E
F
N
M
图2
A
B
C
D
P
E
F
N
M
1
3
2
4
P
N
A
E
F
C
D
B

【解析】（1），
（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).
证明：如图，分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AB∥DC，，
∴.
∵，∴，∴ ①
∵，∴.
∴．即．②
又③，由①②③得△BDE≌△CDF．
∴,.
∵ N、P分别为EC、BC的中点，∴NP∥EB，．
同理可得 MN∥FC，．∴．
∵ NP∥EB，∴，∴
∵MN∥FC，∴
∴
∴

【例16】 在Rt△ABC中，，．点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1． 设，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．
求证：；
（3）若，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．

【解析】（1）；
（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.
由题意，，∴ .
∵ D、E、B三点共线，∴ AE⊥DB.
∵，，∴．
∵，，∴．
∴ ，∴ ，∴.
∵ F是BD中点，∴ F是EG中点.
在中，，∴ ．
（3）情况1：如图，当时，取AB的中点M，连结MF和CM，
∵， ，且,
∴，.
∵M为AB中点，∴．∵，∴.
∵M为AB中点，F为BD中点，∴．
∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时.
情况2：如图，当时，取AB的中点M，连结MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.

课后复习
【作业1】 如图，中，，是中线．求证：．

【解析】延长到，使，连结．
在和中
∴
∴，
在中，∵，∴
∴，∴．

【作业2】 在中，，点为的中点，点、分别为、上的点，且．以线段、、为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？

【解析】延长到点，使，连结、．
在和中

∴
∴，
∵
∴
∴
在和中

∴
∴
故以线段、、为边能构成一个直角三角形．

【作业3】 是的中线，是的中点，的延长线交于．求证：．

【解析】取的中点，连接易得，
为的中点，所以，从而可证得：．

【作业4】 如图，在五边形中，，，为的中点．求证：．

【解析】取中点，中点．连结、、、，则根据直角三角形斜边中线的性质及中位线的性质有，，，，
∴，∵，∴．
∴．同理可证．
∵，∴．
∴，
即，∴，∴．

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