2025-2026学年开封市重点中学初三下学期4月联考数学试题试卷含解析.doc

2025-2026学年开封市重点中学初三下学期4月联考数学试题试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若AC=4，CE=6，BD=3，则DF的值是（　　）

A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
2．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）

A．圆锥 B．圆柱 C．三棱柱 D．三棱锥
3．第 24 届冬奥会将于 2022 年在北京和张家口举行，冬奥会的项目有滑雪（如跳台滑雪、高山滑雪、单板滑雪等）、滑冰（如短道速滑、速度滑冰、花样滑冰等）、冰球、冰壶等．如图，有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有高山滑雪、速度滑冰、冰球、单板滑雪、冰壶五种不同的图案，背面完全相同．现将这 5 张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是（ ）

A． B． C． D．
4．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）

A．x＞1 B．x≥1 C．x＞3 D．x≥3
5．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A． B． C． D．
6．一次数学测试后，随机抽取九年级某班5名学生的成绩如下：91，78，1，85，1．关于这组数据说法错误的是（　　）
A．极差是20 B．中位数是91 C．众数是1 D．平均数是91
7． “车辆随机到达一个路口，遇到红灯”这个事件是( )
A．不可能事件 B．不确定事件 C．确定事件 D．必然事件
8．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．等边三角形 C．正方形 D．平行四边形
9．如果关于x的分式方程有负分数解，且关于x的不等式组的解集为x<-2，那么符合条件的所有整数a的积是 （ ）
A．-3 B．0 C．3 D．9
10．已知实数a、b满足，则　　
A． B． C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．的算术平方根为______．
12．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB．若AD=2BD，则的值等于_____

13．从﹣2，﹣1，2，0这四个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点不在第三象限的概率是_____．
14．已知扇形AOB的半径OA=4，圆心角为90°，则扇形AOB的面积为_________.
15．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，∠A＝30°，点E，F分别是线段BC，AC的中点，连结EF．
（1）线段BE与AF的位置关系是　 　，＝　 　．
（2）如图2，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），连结AF，BE，（1）中的结论是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，当△CEF绕点C顺时针旋转a时（0°＜a＜180°），延长FC交AB于点D，如果AD＝6﹣2，求旋转角a的度数．

16．两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点P在的图象上，PC⊥x轴于点C，交的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交的图象于点B，当点P在的图象上运动时，以下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．其中一定正确的是__ ．

17． “五一”期间，一批九年级同学包租一辆面包车前去竹海游览，面包车的租金为300元，出发时，又增加了4名同学，且租金不变，这样每个同学比原来少分摊了20元车费．若设参加游览的同学一共有x人，为求x，可列方程_____．
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP＝FP＝4，EF＝4，∠BAD＝60°，且AB＞4．
（1）求∠EPF的大小；
（2）若AP=6，求AE＋AF的值.

19．（5分）如图，AD是△ABC的中线，CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：AF+AE=2AD．

20．（8分）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？
小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究．
下面是小林的探究过程，请补充完整：
（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，D是线段AB上一动点，射线DE⊥BC于点E，∠EDF=60°，射线DF与射线AC交于点F．设B，E两点间的距离为xcm，E，F两点间的距离为ycm．
（2）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y/cm
6.9
5.3
4.0
3.3

4.5
6
（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为 cm．

21．（10分）某市为了解市民对已闭幕的某一博览会的总体印象，利用最新引进的“计算机辅助电话访问系统”（简称CATI系统），采取电脑随机抽样的方式，对本市年龄在16～65岁之间的居民，进行了400个电话抽样调查．并根据每个年龄段的抽查人数和该年龄段对博览会总体印象感到满意的人数绘制了下面的图（1）和图（1）（部分）

根据上图提供的信息回答下列问题：
（1）被抽查的居民中，人数最多的年龄段是　 　岁；
（1）已知被抽查的400人中有83%的人对博览会总体印象感到满意，请你求出31～40岁年龄段的满意人数，并补全图1．
注：某年龄段的满意率=该年龄段满意人数÷该年龄段被抽查人数×100%．
22．（10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AE=1，，求⊙O的半径．

23．（12分）如图 1，在等腰△ABC 中，AB=AC，点 D，E 分别为 BC，AB 的中点，连接 AD．在线段 AD 上任取一点 P，连接 PB，PE．若 BC=4，AD=6，设 PD=x（当点 P 与点 D 重合时，x 的值为 0），PB+PE=y．
小明根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、计算，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
x
0
1
2
3
4
5
6
y
5.2

4.2
4.6
5.9
7.6
9.5
说明：补全表格时，相关数值保留一位小数．（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）
（2）建立平面直角坐标系（图 2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）求函数 y 的最小值（保留一位小数），此时点 P 在图 1 中的什么位置．

24．（14分）进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥官的一段对话:

通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天加固的米数．
参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、B
【解析】
试题分析：根据平行线分线段成比例可得，然后根据AC=1，CE=6，BD=3，可代入求解DF=1．2．
故选B
考点：平行线分线段成比例
2、C
【解析】
分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．
详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，
故该几何体是一个柱体，
又∵俯视图是一个三角形，
故该几何体是一个三棱柱，
故选C．
点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．
3、B
【解析】
先找出滑雪项目图案的张数，结合5 张形状、大小、质地均相同的卡片，再根据概率公式即可求解．
【详解】
∵有 5 张形状、大小、质地均相同的卡片，滑雪项目图案的有高山滑雪和单板滑雪2张，
∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑雪项目图案的概率是.
故选B．
本题考查了简单事件的概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4、C
【解析】
试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是x＞1．
故选C．
考点：在数轴上表示不等式的解集．
5、B
【解析】
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
【详解】
综合主视图和俯视图，底层最少有个小立方体，第二层最少有个小立方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是个．
故选：B．
此题考查由三视图判断几何体，解题关键在于识别图形
6、D
【解析】
试题分析：因为极差为：1﹣78=20,所以A选项正确;
从小到大排列为：78,85,91,1,1，中位数为91，所以B选项正确；
因为1出现了两次,最多,所以众数是1，所以C选项正确；
因为，所以D选项错误.
故选D．
考点：①众数②中位数③平均数④极差.
7、B
【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.
【详解】
“车辆随机到达一个路口，遇到红灯”是随机事件.
故选：.
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的实际；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
8、B
【解析】
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、线段，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、等边三角形，是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、正方形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
9、D
【解析】
解：，由①得：x≤2a+4，由②得：x＜﹣2，由不等式组的解集为x＜﹣2，得到2a+4≥﹣2，即a≥﹣3，分式方程去分母得：a﹣3x﹣3=1﹣x，把a=﹣3代入整式方程得：﹣3x﹣6=1﹣x，即，符合题意；
把a=﹣2代入整式方程得：﹣3x﹣5=1﹣x，即x=﹣3，不合题意；
把a=﹣1代入整式方程得：﹣3x﹣4=1﹣x，即，符合题意；
把a=0代入整式方程得：﹣3x﹣3=1﹣x，即x=﹣2，不合题意；
把a=1代入整式方程得：﹣3x﹣2=1﹣x，即，符合题意；
把a=2代入整式方程得：﹣3x﹣1=1﹣x，即x=1，不合题意；
把a=3代入整式方程得：﹣3x=1﹣x，即，符合题意；
把a=4代入整式方程得：﹣3x+1=1﹣x，即x=0，不合题意，∴符合条件的整数a取值为﹣3；﹣1；1；3，之积为1．故选D．
10、C
【解析】
根据不等式的性质进行判断．
【详解】
解：A、，但不一定成立，例如：，故本选项错误；
B、，但不一定成立，例如：，，故本选项错误；
C、时，成立，故本选项正确；
D、时，成立，则不一定成立，故本选项错误；
故选C．
考查了不等式的性质要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以或除以同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、
【解析】
首先根据算术平方根的定义计算先=2，再求2的算术平方根即可．
【详解】
∵=2，
∴的算术平方根为．
本题考查了算术平方根,属于简单题,熟悉算数平方根的概念是解题关键.
12、
【解析】
根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】
解：∵DE∥BC，AD=2BD，
∴，
∵EF∥AB，
∴，
故答案为.
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
13、
【解析】
列举出所有情况，看在第四象限的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
如图：

共有12种情况，在第三象限的情况数有2种，
故不再第三象限的共10种，
不在第三象限的概率为，
故答案为．
本题考查了树状图法的知识，解题的关键是列出树状图求出概率．
14、4π
【解析】
根据扇形的面积公式可得：扇形AOB的面积为，故答案为4π.
15、（1）互相垂直；；（2）结论仍然成立，证明见解析；（3）135°．
【解析】
（1）结合已知角度以及利用锐角三角函数关系求出AB的长，进而得出答案；
（2）利用已知得出△BEC∽△AFC，进而得出∠1=∠2，即可得出答案；
（3）过点D作DH⊥BC于H，则DB=4-（6-2）=2-2，进而得出BH=-1，DH=3-，求出CH=BH，得出∠DCA=45°，进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图1，线段BE与AF的位置关系是互相垂直；
∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°，
∴AC=2，
∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，
∴=；
（2））如图2，∵点E，F分别是线段BC，AC的中点，

∴EC=BC，FC=AC，
∴，
∵∠BCE=∠ACF=α，
∴△BEC∽△AFC，
∴，
∴∠1=∠2，
延长BE交AC于点O，交AF于点M
∵∠BOC=∠AOM，∠1=∠2
∴∠BCO=∠AMO=90°
∴BE⊥AF；
（3）如图3，

∵∠ACB=90°，BC=2，∠A=30°∴AB=4，∠B=60°
过点D作DH⊥BC于H∴DB=4-（6-2）=2-2，
∴BH=-1，DH=3-，又∵CH=2-（-1）=3-，
∴CH=BH，∴∠HCD=45°，
∴∠DCA=45°，α=180°-45°=135°．
16、①②④．
【解析】
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为．
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化．
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB．
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．正确，当点A是PC的中点时，k=2，则此时点B也一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④
17、 ﹣=1．
【解析】
原有的同学每人分担的车费应该为，而实际每人分担的车费为，方程应该表示为：﹣=1．
故答案是：﹣=1．

三、解答题（共7小题，满分69分）
18、（1）∠EPF＝120°；（2）AE＋AF＝6.
【解析】
试题分析: （1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，Rt△PME≌Rt△PNF，问题即可得证.
试题解析:
（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，
∵PE=PF，
∴FG=EG=EF=2，∠FPG=∠EPG＝∠EPF，
在△FPG中，sin∠FPG= ，
∴∠FPG=60°，
∴∠EPF=2∠FPG=120°；

（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，DC=BC，
∴∠DAC=∠BAC，
∴PM=PN，
在Rt△PME于Rt△PNF中，
，
∴Rt△PME≌Rt△PNF，
∴FN=EM，在Rt△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM= ∠DAB=30°，
∴AM=AP•cos30°=3 ，同理AN=3 ，
∴AE+AF=（AM-EM）+（AN+NF）=6.
【点睛】运用了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
19、证明见解析.
【解析】
由题意易用角角边证明△BDE≌△CDF，得到DF=DE，再用等量代换的思想用含有AE和AF的等式表示AD的长．
【详解】
证明：∵CF⊥AD于，BE⊥AD，
∴BE∥CF，∠EBD=∠FCD，
又∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴在△BED与△CFD中，
，
∴△△BED≌△CFD（AAS）
∴ED=FD，
又∵AD=AF+DF①，
     AD=AE-DE②，
由①+②得：AF+AE=2AD.
该题考察了三角形全等的证明，利用全等三角形的性质进行对应边的转化．
20、（1）见解析；（1）3.5；（3）见解析； （4）3.1
【解析】
根据题意作图测量即可．
【详解】
（1）取点、画图、测量，得到数据为3.5
故答案为：3.5
（3）由数据得

（4）当△DEF为等边三角形是，EF=DE，由∠B=45°，射线DE⊥BC于点E，则BE=EF．即y=x
所以，当（1）中图象与直线y=x相交时，交点横坐标即为BE的长，由作图、测量可知x约为3.1．
本题为动点问题的函数图象探究题，解得关键是按照题意画图测量，并将条件转化成函数图象研究．
21、（1）11～30；（1）31～40岁年龄段的满意人数为66人，图见解析；
【解析】
（1）取扇形统计图中所占百分比最大的年龄段即可；
（1）先求出总体感到满意的总人数，然后减去其它年龄段的人数即可，再补全条形图.
【详解】
（1）由扇形统计图可得11～30岁的人数所占百分比最大为39%，
所以，人数最多的年龄段是11～30岁；
（1）根据题意，被调查的人中，总体印象感到满意的有：400×83%=331人，
31～40岁年龄段的满意人数为：331﹣54﹣116﹣53﹣14﹣9=331﹣116=66人，
补全统计图如图．

本题考点：条形统计图与扇形统计图.
22、 (1)见解析;(2).
【解析】
（1）连接OD，由DH⊥AC，DH是⊙O的切线，然后由平行线的判定与性质可证∠C=∠ODB，由圆周角定理可得∠OBD=∠DEC，进而∠C=∠DEC，可证结论成立；
（2）证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形的性质即可求出圆的半径.
【详解】
（1）证明：连接OD，
由题意得：DH⊥AC，由且DH是⊙O的切线，∠ODH=∠DHA=90°，
∴∠ODH=∠DHA=90°，
∴OD∥CA，
∴∠C=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD=∠C，
∵∠OBD=∠DEC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE；
（2）解：由（1）可知：OD∥AC，
∴∠ODF=∠AEF，
∵∠OFD=∠AFE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∵AE=1，
∴OD=，
∴⊙O的半径为．

本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，难度中等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
23、（1）4.5（2）根据数据画图见解析；（3）函数 y 的最小值为4.2，线段AD上靠近D点三等分点处.
【解析】
（1）取点后测量即可解答；（2）建立坐标系后，描点、连线画出图形即可；（3）根据所画的图象可知函数y的最小值为4.2，此时点 P 在图 1 中的位置为．线段 AD 上靠近 D 点三等分点处.
【详解】
（1）根据题意，作图得，y=4.5故答案为：4.5
（2）根据数据画图得

（3）根据图象，函数 y 的最小值为 4.2，此时点 P 在图 1 中的位置为．线段 AD 上靠近 D 点三等分点处.
本题为动点问题的函数图象问题，正确作出图象，利用数形结合思想是解决本题的关键.
24、300米
【解析】
解：设原来每天加固x米，根据题意，得
．
去分母，得 1200+4200=18x（或18x=5400）
解得．
检验：当时，（或分母不等于0）．
∴是原方程的解．
答：该地驻军原来每天加固300米．