数字低通滤波器设计.pdf

摘要摘 要：本论文首先介绍了滤波器的滤波原理以及模拟滤波器、数字滤波器 的设计方法。重点介绍了 HR数字滤波器的设计方法。即脉冲响应不变法 和双线性变换法。在此基础上，用DSP虚拟实现任意阶HR数字滤波器。此设计扩展性好，便于调节滤波器的性能，可以根据不同的要求在DSP上 加以实现。关键字：DSP滤波、HR数字低通滤波器目录摘要.1目 录.3第1章滤波器简介.41.1滤波器的工作原理.41.1.1模拟滤波器的工作原理.41.1.2数字滤波器的工作原理.61.2 滤波器的基本特性.71.2.1 模拟滤波器与数字滤波器的基本特性.71.2.2 无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器.91.3 滤波器的主要技术指标.9第2章 模拟滤波器的设计.112.1 模拟滤波器的设计方法.112.2 模拟原型滤波器及最小阶数的选择.132.2.1 巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择.132.2.2低通原型滤波器的系统函数.192.2.3椭圆滤波器及最小阶数的选择.202.2.4贝塞尔滤波器.21第3章IIR数字滤波器的设计.233.1 IIR数字滤波器的设计方法.233.2 HR滤波器经典设计.233.3 IIR滤波器直接设计.32第4章 DSP仿真系统.344.1 对低通模拟和数字滤波器的仿真.344.1.1模拟低通滤波器的仿真.344.2.2数字低通滤波器的仿真.364.4.1模拟带通滤波器的仿真.384.4.2数字带通滤波器的设计.394.5对带阻模拟和数字滤波器的仿真.414.5.1模拟带阻滤波器的设计.414.5.2数字带阻滤波器的仿真.42第5章总结与展望.465.1 总结.465.2展望.46参考文献.48第1章滤波器简介从广义上讲，任何对某些频率（相对于其他频率来说）进行修正的系 统称为滤波器。严格地讲，对输入信号通过一定的处理得到输出信号，这 个处理通常是提取信号中某频率范围内的信号成分，把这种处理的过程称 为滤波。实现滤波处理的运算电路或设备称为滤波器。在许多科学技术领域中，广泛应用线性滤波和频谱分析对信号进行加 工处理，模拟滤波是处理连续信号，数字滤波则是处理离散信号，而后者 是在前者的基础上发展起来的。我们知道，无源或有源模拟滤波器是分立 元件构成的线性网络，他们的性能可以用线性微分方程来描述，而数字滤 波器是个离散线性系统，要用差分方程来描述，并以离散变换方法来分析。这些方程组可以用专用的或通用的数字计算机进行数字运算来实现。因此,数字滤波器的滤波过程是一个计算过程，它将输入信号的序列数字按照预 定的要求转换成输出数列。1.1 滤波器的工作原理1.1.1 模拟滤波器的工作原理我们知道，模拟滤波器是对模拟信号实行线性滤波的一种线性时不变 系统，如图1.1所示。在时域内，它的动态特性可以用系统的单位冲激函 数的响应幻来描述，也就是该滤波系统在任何时刻对输入单位冲激信 号乙。）=5（。的输出响应兀（。=4（。这个函数从时域上反映了该滤 波系统的传输特性。对于任意输入信号五”），系统的输出”（。可以卷积 表示:兀（=f 儿（）（?/dr上式表明在对线性滤波器系统进行时域分析时，采用了叠加原理，先 将任意输入信号波形分成不同时间的窄脉冲之和，再分别求出各个脉冲通 过滤波器之后的响应，并进行线性叠加从而得到总的输出信号。模拟滤波器儿,H（s）图L1模拟滤波器原理在频域分析时，线性滤波器的转移函数H,（S）等于系统的单位冲激函数的响应儿的拉普拉斯变换：很明显，当S=j3,上式就是傅立叶变换的表达式，它反映了滤波器的传输 特性对各种频率的响应，也就是滤波器的频率响应函数Hq（jG）,它决定 着滤波特性。当滤波器输入信号X。（。与输出信号九（0的拉普拉斯变换，得匕(s)=/(s).X,(s)这表明两信号卷积的变换等于各自变换的乘积。在频谱关系上，一个输入 信号的频谱XjjG）,经过滤波器的作用后，被变换成的 频谱。因此，根据不同的滤波要求来选定就可以得到不同类型 的模拟滤波器。还可以看出，滤波器的滤波过程就是完成信号与它的 单位冲激函数响应幻)之间的数学卷积运算过程。1.1.2数字滤波器的工作原理在数字滤波中，我们主要讨论离散时间序列。如图1.2所示。设输入 序列为MM，离散或数字滤波器对单位抽样序列)的响应为M)。因在时域离散信号和系统中所起的作用相当于单位冲激函数在时域连 续信号和系统中所起的作用。数字滤波器 4吊京)m),h 正)图1.2 数字滤波器原理数字滤波器的序列y()将是这两个序列的离散卷积，即00yn=1Mk)x(n-k)(1.4)k=g同样，两个序列卷积的Z变换等于个自Z变换的乘积，即 y(z)=(z)x(z)(1.5)用2=代入上式，其中T为抽样周期，则得到(1.6)式中x()和丫()分别为数字滤波器输入序列和输出序列的频谱,而为单位抽样序列响应M4的频谱。由此可见，输入序列的频谱 x()经过滤波后，变为，按照x()的特点和我 们处理信号的目的，选取适当的H(e)使的滤波后的H(ej0)T)X(ejojT)符合我们的要求。1.2滤波器的基本特性1.2.1模拟滤波器与数字滤波器的基本特性如利用模拟电路直接对模拟信号进行处理则构成模拟滤波器，它是一 个连续时间系统。如果利用离散时间系统对数字信号(时间离散、幅度量 化的信号)进行滤波则构成数字滤波器。数字滤波器的差分方程表示为：N Mb k y-0+S a kX(n-k)i=l k=0系统函数表示：i=数字滤波器的特性通常用其频率响应函数”(g)来描述，包括幅度特性和相位特性arg(H(4g)O按信号通过系统时的特性(主要是幅频特性)来分类：可以有低通、高通、带通和带阻四种基本类型。(1)低通数字滤波器：图1.3所示图1.3低通数字滤波器的频谱(2)高通数字滤波器：图1.4所示1 1 0 c图1.4高通数字滤波器的频谱(3)带通数字滤波器：图1.5所示|田/。)|四/J*|*电 O ttcd co1co2 ltyl0图L5带通数字滤波器的频谱(4)带阻数字滤波器：图1.6所示“(e)二支 1-1 1 0 a)1 a)a)2图1.6带阻数字滤波器的频谱其他较复杂的特性可以由基本滤波器组合。1.2.2无限冲击响应IIR和有限冲击响应FIR滤波器按系统冲击响应（或差分方程）可以分成无限冲击响应IIR和有限冲 击响应FIR滤波器两类。这两种滤波器都可以现实各种频率特性要求，但 它们在计算流程、具体特性逼近等方面是有差别的。（1）FIR滤波器（非递归型）：N1y（n）=Z-m）m=QN-la（z）=Z5）zn=0（2）IIR滤波器（递归型）N My（）=Z 4uS左）+Z bkX（n-k）k=l k=0M”（z）=幺2=-.x（z）1 ClkZk=l还有一些其他的分类方法，例如在特定场合使用的滤波器。1.3滤波器的主要技术指标滤波器的主要技术指标取决于具体的应用或相互间的相互关系。具体 的有最大通带增益（即通带允许起伏。）；最大阻带增益/；通带截止频 率G,；阻带截止频率。S。如图1.7所示第2章 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已经发展的相当成熟，且有若干典型的 模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯(Butterworth滤波器.切比雪夫(Chebyshev)滤波器等。这些工作的理论分析和设计方法在20世纪30 年代就完成，然而烦琐.冗长的数字计算使它难以付诸实用。直到50年代,由于计算机技术的逐步成熟，求出大量设计参数和图表，这种方法才得到 广泛应用。这些典型的滤波器各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的 幅频特性；切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者阻带有波动发，可以提 高选择性。这样根据具体要求可以选择不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特征可以分成低通、高通、带通和带阻滤波器。它 们的理想幅度特性如图2.1所示，但我们设计滤波器时，总是先设计低通 滤波器，再通过频率变换将低通滤波器转换成希望类型的滤波器图2.1模拟滤波器理想幅度特性2.1模拟滤波器的设计方法利用频率变换设计模拟滤波器的步骤为:（1）给定模拟滤波器的性能指标，如截止频率g或上、下边界频率CD,CO?。（2）确定滤波器阶数（3）设计模拟低通原型滤波器。（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。模拟低通滤波器的设计指标有p,。和。其中?和J分别称 为通带截止频率和阻带截止频率。a。是通带Q（=0Q.）中的最大衰 减系数，4是阻带的最小衰减系数，和%一般用dB表示。对于单调下降的幅度特性，可表示成：inl Koo)|2许=1叫|,2|/(即)|(2.1)inl K(;o)|2许=1叫,2(2.2)如果Q=0处幅度已归一化为一,即四（阅=1,%和表示为P%=-10尼氏(JQp)(2.3)%=_10叫兄(通1:(2.4)以上技术指标用图2.2表示，图中。,称为3dB截止频率，因也（4/=,-20包（01=3滤波器的技术指标给定以后，需要设计一个传输函数H,(s),希 望其幅度平方函数满足给定的指标和鬼，一般滤波器的单位冲激响 应为实数，因此=(2.5)如果能由Op,Qp,4,求出附那么就可以求出所需的 H,(s),对于上面介绍的典型滤波器，其幅度平方函数有自己的表达式，可以直接引用。这里要说明的是H,(s)必须是稳定的。因此极点必须落在 s平面的左半平面，相应的(-s)的极点落在右半平面。2.2模拟原型滤波器及最小阶数的选择2.2.1 巴特沃斯滤波器及最小阶数的选择巴特沃斯滤波器是最基本的逼近方法形式之一。它的幅频特性模平方为(2.6)式中N是滤波器的阶数。当。=0时，=当Q=。，时,瓦(刈=亚。是3dB截止频率。不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性如图2.3所示，这一幅频特性具有 下列特点：(1)最大平坦性：可以证明：在Q=0点，它的前(2N-1)阶导数都 等于0,这表明巴特沃斯滤波器在。=0附近一段范围内是非常平直的，它 以原点的最大平坦性来逼近理想低通滤波器。“最平响应”即由此而来。(2)通带，阻带下降的单调性。这种滤波器具有良好的相频特性。(3)3dB的不变性：随着N的增加，频带边缘下降越陡峭，越接近理想特性，但不管N是多少，幅频特性都通过-3dB点。当时，特性以20NdB/dec速度下降。图2.3不同阶数N的巴特沃斯滤波器特性现根据式(2.6)求巴特沃斯滤波器的系统函数Ha(s)0令Q=s小 带入式(2.6)四(网=%(s)s)=(4c)2N产+(凡产1对应的极点：s2N+(joJ2N=o2 J (2左一1)乃+-sk=JQ(T)而=Qce 2N(2.7)“即为Ha(S)H,(-s)的极点，此极点分布有下列特点:(1)a(s)Hq(-s)的2N个极点以兀/N为间隔均匀分布在半径为Q,的 圆周上，这个圆称为巴特沃斯圆。(2)所有极点以jQ轴为对称轴成对称分布，jQ轴上没有极点。(3)当N为奇数时，有两个极点分布在s=。,的实轴上；N为偶函数 时，实轴上没有极点。所有复数极点两两呈共辄对称分布。图2.4画出了 N=3时的极点分布。全部零点位于s=oo处。图2.4 N=3时Ha(s)Ha(-s)极点分布为得到稳定的a(S),取全部左半平面的极点。N/3=不-n(s-%)k=l(2.8)当N为偶数时C)N(2.9)n(s-sj(s-s；)nk=lk=l52-2Qc cos2N 2 JQ：N当N为奇数时”人)=亘k=lQN(2.10)2k-l 7ln Hs 2N 2 J+Q；(s+Qj2-2Q“cos为使用方便把式（2.9）和式（2.10）对。c进行归一化处理，为止匕,分子分母各除以。：，并令s=,s称为归一化复频率:(21 万、-71 HI 2N 2)%(s)二一r-a N 口(，)2-2cos 左=1 _（N为偶数）（2.11）s+l1w 小)k=l _(N为奇数)(2.12)F-2 cos2k 1 71-71 2N 2I/+1(/-l)用归一化频率Q=Q/。,表示的频率特性称为原型滤波特性（Q即归一化复频率s的虚部）。对式（2.6）所示的低通巴特沃斯特性用Q表示得到：(2.13)称(/O)为巴特沃斯低通原型滤波器幅频特性。在低通原型滤波频率 特性上，截止频率若给出模拟低通滤波器的设计性能指标要求：通带边界频率阻带 边界频率o)s，通带波纹Rp(dB),阻带衰减Rs(,要确定butterworth,低通滤波器最小阶数N及截止频率Gc(-3d5)。3p,g,Rs,H尸的意义如图所示。当 刃=%时，|(加)|=10 20即凡=-101g|H(jo)广，以截至频率2(幅值下降3dB)为1,化口为相对口为相对口 的相对频率上由上式CDc可写为Rp-ioigloC1同理,1+(&产CDc-Rs当口=牡时，I(加)|=10 2。，七=_10%1+(可产COc由此可见 n=10 21og10()N应向上取整%I-g2版0辱J)/3s 再用MATLAB编程计算滤1)波器最小阶数N和截止频率g o“就是切比雪夫滤波器s）的极点，给定N,。/e即可 求的2N个极点分布。由式（2.22）实部与虚部的正弦和余弦函数平方约束 关系可以看出，此极点分布满足椭圆方程，其短轴和长轴分别为f c /1 3a-smh-arcsm/z 0.5,1+建可以求的-3dB处的角频率为(1=Q”cosh-flrcosh(2.28)将式(2.27)表示的H,(s)对Q,归一化，得到切比雪夫I型2.2.2低通原型滤波器的系统函数1(s)N+n 一 l(s)N 1-415，+0(2.29)对不同的N,式(2.29)的分母多项式已制成表格，供设计参考。和butterworth低通模拟滤波器设计一样，若给定性能指标要求：CD。，q，Rp,凡确定Chebyshev低通模拟滤波器最小阶数N和截止频率4（-3dB 频率）。2.2.2.1 ChbbyshevI 型由式风（画画）=可”而亡14=103。故阶数N可由下式求得N=loglO(g+7g2+1)式中，g=7（A2-l）/2,截至频率以=%由上面两式用Matlab编程计算滤波器最小阶数N和截止频率3c2.222 Chbbyshev II 型ChbbyshevII型通带内是平滑的，而阻带具有等波纹起伏特性。因此,在阶数N的计算公式上是相同的，而-3dB截止频率牝则不同。2.2.3椭圆滤波器及最小阶数的选择椭圆的模拟低通滤波器圆形的平方幅值响应函数为”(/刃)2=_1_ i+d(式中，为小于1的正书，表示波纹情况；?为截止频率；Q 为椭圆函数，定义为m Q2-Q2当 N 为偶数(N=2m)时,&(0)=Ui-OOkm Q2-Q2当N为奇数（N=2m+1）时，/（Q）=n K 其中加-OOkO=col c椭圆模拟滤波器特点是：在通带和阻带内均具有等波纹起伏特性。何 以上滤波器相比，相同的性能指标所需要的阶数最小。但频率响应应具有 明显的非线性。由式I 1+2/(0/g)滤波器的阶数可由下式确定二川0辱/1。_，A=1O/20N 二 K(QK(J1-K；K(%)K(J1-腔)4o)n=CD 式中左=3s乃/2K(x)=f od 0/由上式计算滤波器的最小阶数N和截止频率vl-x2 sin2 02.2.4贝塞尔滤波器贝塞尔模拟低通滤波器原型的特点是在零频时具有最平坦的群延迟，/、1/N并在整个通带内延迟几乎不变。在零频时的群延迟为J O由于这一特点，贝塞尔模拟滤波器通带内保持信号形状不变。滤波器传递汉书具有下面形式x(S)=-(s-P(l)(s-P(2)(s ()第3章 HR数字滤波器的设计3.1 IIR数字滤波器的设计方法IIR滤波器是一种数字滤波器，滤波器的系统函数如式H=V h(n)zn=X(z)士M 办厂 r=0Nk=i(3.1)由于它的脉冲响应序列力5）是无限长的，故称无限冲激响应滤波器。IIR滤波器的设计就是根据滤波器某些性能指标要求，设计滤波器的分子 和分母多项式。它和FIR滤波器相比优点是在满足相同性能指标要求条件 下，IIR滤波器的阶数要明显低于FIR滤波器。但IIR滤波器的相位是非线 性的。IIR滤波器设计方法可分为三种：模拟滤波器变换（经典设计法）、直 接设计法、参数模型设计法、最大平滑滤波器设计。3.2 IIR滤波器经典设计基于模拟滤波器变换原理，首先是根据滤波器的技术指标设计出相应的 模拟滤波器，然后再将设计好的模拟滤波器变换成满足给定技术指标的数 字滤波器。这就是IIR滤波器设计的经典法。经典法可设计出低通、高通、带通、带阻等各种IIR滤波器。在MATLAB中，经典法设计IIR数字滤波器 采用下面的主要步骤：由上可见，经典设计法是利用模拟滤波器的设计成果。第二步完成后,一个达到期望性能指标的模拟滤波器(低通、高通、带通和带阻)已经设 计出来。第三步离散化主要任务就是把模拟滤波器变换成数字滤波器，即 把模拟滤波器的系数8(S)映射成数字滤波器的系统函数H(z)。数字滤 波器的设计工作就全部完成。实现系统传递函数s域至z域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两 种方法。脉冲响应不变法利用模拟滤波器成熟的理论和设计方法来设计IIR数字低通滤波器是 经常用的方法。设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得 到模拟低通滤波器的传输函数转换成数字低通滤波器的系统函数H。这样设计的关键问题就是找这种转换关系，将s平面上的转 换成z平面上的H。为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转 换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。我们 知道，模拟滤波器因果稳定要求其传输函数”,(s)的极点全部位于s平面 的左半平面；数字滤波器因果则要求H的极点全部在单位圆内。因此，转换关系应是s平面的左半平面映射z平面的单位圆内部。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射 z平面的单位圆，相应的频率至间成线性关系。将传输函数“a(s)从s平面传换到z平面的方法有多种，但工程上常 用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。我们先研究脉冲响应不变法。设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(0,%(s)=LT 也(5LT口代表拉氏变换，对儿(。进行等间隔采样，采样间隔为T,得到 儿(“)，将h(n尸 4(U)作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤 波器的系统函数H便是h(n)的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域 上的转换方法，它是h(n)在采样点上等于儿”)。设模拟滤波器(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多 项式的阶次，将”,(s)用部分分式表示：N 4=(3.2)，=1 S-5.式中心为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)逆拉氏变换得到ha(0：N儿(3.3)Z=1式中u(t)是单位阶跃函数。对儿(。进行等间隔采样，采样间隔为T,得到:Nh(n)=ha(nT)=AteSinTu(nT)(3.4)Z=1对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H：N 4=(3.5)对比3.2、3.5式，)的极点心映射到z平面，其极点变成涉,，系数4不变化。下面我们分析从模拟滤波器转换到数字滤波器，s平面和Z平面之间的映射关系，从而找到这种转换方法的优缺点。这里我们以采 样信号儿(。作为桥梁，推导其映射关系。设ha(t)的采样信号用ha(。表示，CC加(。=(3.6)九二一00对儿(。进行拉氏变换，得到：比9=r碗i力J-00=0儿。2(一盯)1 流(3.7)nn式中儿(7)是儿”)在采样点t=n T时的幅度值，它与序列h(n)的幅 度值相等，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n尸儿伽丁)，因此得到：方 a(s)=ZS)*=2M=(Z)Len n z=esT上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系 可用下式表示：Z=esT(3.8)我们知道模拟信号儿”)的傅立叶变换Ha(JQ)和其采样信号ha(0的傅 立叶变换Ha(JQ)和其采样信号ha(0的傅立叶变换Ha(；Q)之间的关系 满足式：1 00百 a(jQ)=7Ha(jQ_jkQs)(3.9)k=-x)将5=代入上式，得用(JQ)=Z/(s JZQs)3.10)/k由(3.8)、(3.10)式得到：“匚=ZHa(s jkQ)(3.11)上式表明将模拟信号儿（。的拉氏变换在S平面上沿虚轴按照周期。5=2万/7延迟后，再按照（3.8）式映射关系，映射到z平面上，就得到H（z）o（3.8）式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设s=b+jO z=rejw按照（3.8）式，得到：r*=U因此得到：CT=0/=1那么 cr 0,r 0,r 1上式关系式说明，S平面的虚轴（b=0）映射Z平面的单位圆（厂=1）,S平面左平面（。1）。这说明如果Hq（s）因果稳定，转换后得到H（Z）仍是因果稳定的。另外，注意到z=e是一个周期函数，可写成j=e隈皿=为任意整数当。不变，模拟频率。变化2/T的整数倍时，映射值不变。或者说，将s平面沿着j。轴分割 成一条条宽为2/T的水平带，每条水平面都按照前面分析的映射关系对 应着整个z平面。此时Ha（Z）所在的s平面与Ha（Z）所在的z平面的映 射关系如图所示。当模拟频率。从-万/T变化到万/T时，数字频率。则 从-%变化到万，且按照（3.12）式，=DT，即。与Q之间成线性关 系。但是，从模拟信号灯到采样信号4。），其拉氏变换要按照 式。其2万/T为周期，沿虚轴方向进行周期化。如果原模拟信号 得频带不 是限于乃/7之间，则会在土万/T得奇数倍附近产生频率混叠，从而映 射到z平面上，在。=附近产生频率混叠。脉冲相应不变法的频率混 叠现象如图所示。这种会使设计出的滤波器在万=7附近的频率特性，程 度不同地偏离模拟滤波在 附近的频率特性，严重时使滤波器不满足给定的技术指标。因此，希望设计的滤波器使带限滤波器，如果不是带 限的，例如高通滤波器，带阻滤波器，需要在高通带阻滤波器之前加保护 滤波器，滤除高于折叠频率万/T以上的频带，以避免产生频率混叠现象。但这样会增加系统的成本和复杂性，因此，高通与带阻滤波器不适合用这 种方法设计。假设力/J。）没有频率混叠现象，即满足方0（/。）=0,|。|2/7将关系式3=/。,0=。7代入，得到：说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波 器的频响。上式中，(/)的幅度特性与采样间隔成反比，这样当T较 小时，就会有太高的增益。为避免这一现象，令九5)=757)那N么“=I，此时(T)=Ha兀，=i 1 e z一般”,(s)的极点S,是一个复数，且以共辄成对的形式出现，在式 中讲一对复数共轲极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为一干一豆，极点为-巧01可以推导出相(S+bJ+。；,应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为-1-T如果模拟滤波器二阶基本节的形式为 1 2z*cosQT+z-2e-2-15，极点为-6，。1，则对应的数字滤波器二阶基本节的(s+bj2+Q；1 1具体形式为_方产sinQXl-2z-1 LcosQJ+z-z/利用以上这些变换关系，可以简化设计。双线性变换法这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范 围压缩到土兀/T之间，再用z=e转换到z平面上。设Ha(s),s=j。，经 过非线性频率压缩后用Ha(si),=jQl表示，这里用正切变换实现频率压缩:O=n（0.5OZ）（3.13）式中T仍是采样间隔，当。1从-兀/T经过0变化到几/T时，。则由-8经过0变化到+8,实现了 S平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴 的士五/T之间的转换。这样便有8=孰(0.5。7)=2 l-zSlT T l+zSlt(3.14)再通过Z=转换到z平面上，得至U：2 1-S=-TTl+z-1 z=2F S T_ 2-s T(3.15)(3.16)式（3.15）或式（3.16）称为双线性变换。从s平面映射到邑平面，再从平面映射到z平面,其映射情况如图3.1所示。由于从s平面到平 面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象。另外，从 平面转换到z平面仍然采用标准转换关系Z=-/，平面的土几/T之间 水平带的左半部分映射z平面单位圆内部，虚轴映射单位圆。这样，Ha（s）因果稳定，转换成的H（z）也是因果稳定的。下面分析模拟频率Q和数字 频率3之间的关系。令=jQ,z=*,并代入（3.15）式中，有4 2上T+e-(o-2 1Q=-tan coT 2(3.17)s平面 Si平面 z平面图3.1双线性变换法的映射关系上式说明，s平面上。与平面上的。成非线性正切关系，如图3.2所示。在3=0附近接近线性关系；当3增加是，。增加得愈来愈快；当3趋近兀时,。趋近于8。正是因为这种非线性关系，消除了频率混叠现象。图3.2双线性变换法的频率变换。与。之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，直接影响数字滤波 器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响，幅度特性和相位特性失真的情况如 图3.3所示。这种非线性影响的实质问题是：如果。的刻度是均匀的，则 影射到Z平面3的刻度不是均匀的，而是随3增加愈来愈密。图3.3 双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射双线性变换法可由简单的代数公式（3.15）将Ha（s）直接转换成 H（z）,这是该变换法的优点。但当阶数稍高时，将H（z）整理成需要的形式，也不是一件简单的工作。3.3 IIR滤波器直接设计HR数字滤波器的经典设计法只限于几种标准的低通、高通、带通、带阻滤波器，而对于具有形状或多频带滤波器的设计是无能为力的。如果所设计IIR滤波器幅频特性比较复杂,可采用最小二乘法拟合给 定的幅频响应，使设计的滤波器幅频特性逼近期望的频率特性，这种方法 称为IIR滤波器的直接设计法。MATLAB信号处理工具箱函数YULEWALK采用直接设计IIR数字滤波 器。函数YULEWALK采取下面步骤计算分子多项式：（1）计算与分子多项式相应的幅值平方响应的辅助式；（2）由辅助分子式和分母多项式计算完全的频率响应；（3）计算滤波器的脉冲响应；（4）采用最小二乘法拟合脉冲响应最终求得滤波器的分子多项式系数。函数YULEWALK允许我们自由定义滤波器的频率向量f和幅值向 量m,因此该函数可设计具有任意形状的幅频响应的滤波器，包括多频带 滤器。第4章 DSP仿真系统4.1 对低通模拟和数字滤波器的仿真4.1.1 模拟低通滤波器的仿真第三章所讨论的设计思想，在DSP对模拟滤波器进行仿真的过程中依 然适用，其具体步骤总结如下：（1）确定模拟滤波器的性能指标，如截止频率G。（对于低通和高通）或上、下边界频率口一刃2；波纹特性；带阻衰减等。（2）确定滤波器阶数。（3）计模拟低通滤波原型滤波器。MATLAB信号处理工具箱的滤波器原型函数buttap,cheblapo（4）按频率变换设计模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻）。DSP信号处理工具箱的频率变换函数Ip21p,lp2hp,lp2bp,lp2bso但是，按照这种设计思想的编程较为麻烦。MATLAB信号处理工具箱还提供模拟 滤波器的完全设计函数：butter,chebyl等。用户只需调用一次设计函数就 可自动完成全部设计过程，编程十分简单。下面将以模拟低通Butterworth 滤波器的设计为例，解释这种设计方法。设计指标：通带截止频率外,=200兀，阻带截止频率以=300兀，通带衰减此=ldB,阻带衰减凡=16dB。仿真结果见图4.1%Matlab program2.1%Design a buttworth analog lowpass filterws=300*pi;wp=200*pi;Rp=l;Rs=16;%compute oder and cuttoff frequencyN,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s,)Fc=Wn/(2*pi)b,a=butter(N,Wn/s,);%outputw=linspace(l,3000,1000)*2*pi;H=freqs(b,a,w);magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H);plot(w/(2*pi),20*log 10(magH);xlabel(Frequency(Hz);ylabel(，Magnidute(dBy);grid onN=7Wn=725.7292Fc=115.5034mp2npc6ezFrequency（Hz）图4.1模拟低通滤波器4.2.2数字低通滤波器的仿真IIR数字滤波器经典设计法的一般步骤是：（1）根据给定的性能指标和方法不同，首先对设计性能指标中的频率 指标进行转换，转换后的频率指标作为模拟滤波器原型设计性能指标。（2）估计模拟低通滤波器最小阶数和边界频率，利用MATLAB工具 函数 buttord、cheb 1 ord 等。（3）设计模拟低通滤波器原型，利用MATLAB工具函数buttap.cheblap 等。（4）由模拟低通原型经频率变换获得模拟滤波器（低通、高通、带通、带阻），利用 MATLAB 工具函数 lp21p、lp2hp、lp2bp、lp2bs0（5）将模拟滤波器离散化获得HR数字滤波器，利用MATLAB工具函数 bilinear o设计IIR滤波器时，给出的性能指标通常分为数字指标和模拟指标两 种。数字性能指标给出通带截止频率阻带截止频率通带衰减Rp,阻带衰减凡等。数字频率。和处的取值范围为0兀，单位：弧度,而MATLAB工具函数常采用标准化频率，和处的取值范围为01。模拟性能指标给出通带截止频率。i 阻带起始频率。S，通带衰减Rp，阻带衰减凡等。模拟频率。,和的单位均为弧度/秒。下面是一个 利用双线性变换设计一个Butterworth低通滤波器的示例:技术指标：通带截止频率=2兀义2左 rad Is,阻带截止频率二 2兀xAk rad/s,通带衰减勺小于3dB,阻带衰减4大于15dB,采样频率=20000殳。仿真结果见图4.2Wp=2000*2*pi;Ws=3000*2*pi;Rp=3;Rs=15;Fs=10000;Ts=l/Fs;Nn=128;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs；s,)b,a=butter(N,Wn,s);z,p,k=buttap(N);Bap,Aap=zp2tf(z,p,k);b,a=lp21p(Bap,Aap,Wn);bz,az=bilinear(b,a,Fs)freqz(bz,az,Nn,Fs)N=5Wn=1.3387e+004bz=0.0171 0.0854 0.1708 0.1708 0.0854 0.0171az 二1.0000-1.22711.1622-0.5176 0.1450-0.0159mp)-SWU6BW2000-200WOO 2000 3000 4000 5000Frequency(Hz)-400 00-200-400-600 0 1000 2000 3000 4000 5000Freauencv(S88-68P)8sBlla4.4.1 模拟带通滤波器的仿真函数BUTTER用于Butterworth滤波器设计，调用格式：b,a=butter(n,3rl,s)b,a=butter(n,con,ftype,s,)其中，n为滤波器阶数；以为滤波器截止频率，9为模拟滤波器,确省时为数字滤波器。仕ype滤波器类型：high为高通滤波器，截止频率口”；stop为带阻滤波器，con=cox g(q g)；ftype缺省时为低通或带通滤波器。以下设计一个Butterworth模拟带通滤波器，设计指标为：逼近频率 10002000Hz,两侧过渡带宽500Hz,通带衰减IdB,阻带衰减大于lOOdBo 结果见图4.5。%Matlab program4.1%Design a butterworth analog bandpass filterWp=1000 2000*2*pi;Ws=500 2500*2*pi;Rp=l;Rs=100;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Rp,Rss)b,a=butter(N,Wn,s,);N=23Wn=1.0e+004*0.6220 1.26955000-500-1000-1500-20000 500 1000 1500 2000 2500 3000Frequency(Hz)图4.5模拟带通滤波器仿真4.4.2 数字带通滤波器的设计gPJSnpcDew设计一个带通chebyshev I型数字滤波器，通带为100Hz200Hz,过 渡带宽均为50Hz,通带共减小于IdB,阻带技减30Hz,米样频率lOOOHzo仿真结果见图4.6%Matlab program4.2%Design a chebyshev I digital bandpass filterFs=1000;ws=100 200*2/Fs;wp=50 250*2/Fs;Rp=l;Rs=30;Nn=128;%compute oder and cuttoff frequencyN,Wn=cheb 1 ord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=cheby 1(N,Rp,Wn);%outputfreqz(b,a,Nn,Fs);N=5Wn=0.1600 0.5000m p)8 P E U 6 B Z ft s-f0 100 200 300 400 500500 0-500-10000 100 200 300 400 500Freauencv fHz)4.5对带阻模拟和数字滤波器的仿真4.5.1 模拟带阻滤波器的设计这里设计一个Chebyshev I型模拟带阻滤波器，设计指标为：阻带频 率1000Hz2000Hz,两侧过渡带宽500Hz,通带衰减IdB,阻带衰减大于 50dBo仿真结果见图4.7。%Matlab program5.1%Design a chebyshev I analog bandstop filterws=1000 2000*2*pi;wp=500 2500*2*pi;Rp=l;Rs=50;%compute oder and cuttoff frequencyN,Wn=cheb 1 ord(wp,ws,Rp,Rs,s)b,a=chebyl(N,Rp,Wn,stop7s,)；%outputw=linspace(1,3000,1000)*2*pi;H=freqs(b,a,w);magH=abs(H);phaH=unwrap(angle(H);plot(w/(2*pi),20*logl0(magH);xlabel(Frequency(Hz);(mp)菖 PC6PZylabel(Magmdute(dBy);grid on0-100-200-300-4000 500 1000 1500 2000 2500 3000Frequency(Hz)图4.7模拟带阻滤波器仿真4.5.2 数字带阻滤波器的仿真设计一个Butterworth数字带阻滤波器,设计指标为：阻带频率为100Hz 200Hz,两侧过渡带宽500Hz,通带衰减IdB,阻带衰减大于30dBo仿真结 果见图4.8Fs=1000;ws=100 200*2/Fs;wp=50 250*2/Fs;Rp=l;Rs=30;Nn=128;N,Wn=buttord(wp,ws,Rp,Rs)b,a=butter(N,WnJstop);freqz(b,a,Nn,Fs);N=7Wn=0.1606mp)c0.47202000-200-400I0-5001000-1500100 200 300 400 500Frequency(Hz)100 200 300 400 500Frequency(Hz)(S88.I68P)BSEd图4.8 Butterworth数字带阻滤波器仿真同样的技术指标，设计一个Chebyshev I型带阻滤波器，仿真结果见图4.9o o O 5 0 5-J/mp)spmceBW100 200 300 400 500o o o o o o o o o 2 4 6 8 (sd868p)8scl图4.9 Chebshev I数字带阻滤波器仿真%Matlab program5.2.1%Design a chebyshev I digital bandstop filterFs=1000;ws=100 200