应用多元统计分析课后习题答案高惠璇(第三章部分习题解答).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,应用多元统计分析,第三章习题解答,1,第三章 多元正态总体参数的假设检验,3-1,设,X,N,n,(,2,I,n,),A,为对称幂等阵,且rk(,A,)=,r,(,rn,),证明,证明,因,A,为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非,0,即,1,且只有,r,个非,0,特征值，即存在正交阵,(,其列向量,r,i,为相应特征向量,),，使,2,第三章 多元正态总体参数的检验,3,其中非中心参数为,第三章 多元正态总体参数的检验,4,3-2,设,X,N,n,(,2,I,n,),A，B,为,n,阶对称阵,.,若,AB,0,证明,XAX,与,XBX,相互独立,.,证明的思路：,记rk(,A,)=,r,.,因,A,为,n,阶对称阵,存在正交阵,使得,A,=diag(,1,r,0,.,0),令,Y,X,，则,Y,N,n,(,2,I,n,),第三章 多元正态总体参数的检验,且,5,又因为,X,BX,=,Y,B,Y,=,Y,HY,其中,H,=,B,。如果能够证明,X,BX,可表示为,Y,r,+1,，,Y,n,的函数，即,H,只是右下子块为非0的矩阵。,则,X,AX,与,X,BX,相互独立。,第三章 多元正态总体参数的检验,6,证明,记rk(,A,)=,r,.,若,r=n,由,AB,O,知,B,O,nn,于是,XAX,与,XBX,独立；,若,r,=0时,则,A,0,则两个二次型也是独立的.,以下设0,r,n.,因,A,为,n,阶对称阵,存在正交阵,使得,第三章 多元正态总体参数的检验,7,其中,i,0为,A,的特征值,(,i,=1,r,).于是,令,r,第三章 多元正态总体参数的检验,由,AB,O,可得,D,r,H,11,O,，,D,r,H,12,O,.,因,D,r,为满秩阵,故有,H,11,O,rr,，,H,12,O,r(n-r),.,由于,H,为对称阵，所以,H,21,O,(n-r)r,.于是,8,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,9,由于,Y,1,，,Y,r,Y,r+1,Y,n,相互独立，故,XAX,与,XBX,相互独立,.,第三章 多元正态总体参数的检验,令,Y,X,，则,Y,N,n,(,2,I,n,),且,10,设,X,N,p,(,),0,A,和,B,为,p,阶对称阵,试证明,(,X,-,),A,(,X,-,),与,(,X,-,),B,(,X,-)相互,独立,A,B,0,pp,.,第三章 多元正态总体参数的检验,3-3,11,由,“,1.,结论,6,”,知,与,相互独立,第三章 多元正态总体参数的检验,12,性质,4,分块,Wishart,矩阵的分布,:,设,X,(,),N,p,(0,)(,1,n,),相互独立，其中,又已知随机矩阵,则,第三章 多元正态总体参数的检验,试证明,Wishart,分布的性质,(4),和,T,2,分布的性质,(5).,3-4,13,第三章 多元正态总体参数的检验,证明,:,设,记,则,即,14,第三章 多元正态总体参数的检验,当,12,=,O,时,对,1,2,n,相互 独立,.,故有,W,11,与,W,22,相互独立,.,由定义,3.1.4,可知,15,性质,5,在非退化的线性变换下,T,2,统计量保持不变,.,证明,:,设,X,(,),(,1,n,),是来自,p,元总体,N,p,(,),的随机样本,X,和,A,x,分别表示正态总体,X,的样本均值向量和离差阵,则由性质,1,有,第三章 多元正态总体参数的检验,令,其中,C,是,p,p,非退化常数矩阵，,d,是,p,1,常向量。则,16,第三章 多元正态总体参数的检验,所以,17,第三章 多元正态总体参数的检验,3-5,对单个,p,维正态总体,N,p,(,),均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验,H,0,:=,0,(=,0,已知,),的似然比统计量及分布,.,解,:,总体,X,N,p,(,0,)(,0,0),设,X,(,),(=1,n,)(,n,p,),为来自,p,维正态总体,X,的样本,.,似然比统计量为,P66,当,=,0,已知,的检验,18,第三章 多元正态总体参数的检验,19,第三章 多元正态总体参数的检验,20,第三章 多元正态总体参数的检验,因,所以由3“一2.的结论1”可知,21,第三章 多元正态总体参数的检验,3-6,(,均值向量各分量间结构关系的检验,),设总体,X,N,p,(,)(,0),X,(,),(,1,n,)(,n,p,),为来自,p,维正态总体,X,的样本，记,(,1,p,).,C,为,k,p,常数,(,k,p,),rank(,C,)=,k,r,为已知,k,维向量,.,试给出检验,H,0,:C,r,的检验统计量及分布,.,解：令,则,Y,(,),(,1,n,),为来自,k,维正态总体,Y,的样本，且,22,第三章 多元正态总体参数的检验,检验,这是单个,k,维正态总体均值向量的检验问题,.,利用,3.2,当,y,=,CC,未知时均值向量的检验给出的结论,取检验统计量,:,23,第三章 多元正态总体参数的检验,3-7,设总体,X,Np(,，,)(,0),X,(,),(,1,n,)(,n,p,),为来自,p,维正态总体,X,的样本，样本均值为,X,，样本离差阵为,A.,记,(,1,p,).,为检验,H,0,:,1,=,2,=,p,H,1,:,1,2,p,至少有一对不相等,.,令,则上面的假设等价于,H,0,：,C=0,p,-1,H,1,：,C 0,p,-1,试求检验,H,0,的似然比统计量和分布,.,解：,至少有一对不相等,.,24,第三章 多元正态总体参数的检验,利用,3-6,的结果知，检验,H,0,的似然比统计量及分布为：,其中,(,注意,:3-6,中的,k,在这里为,p,-1),25,第三章 多元正态总体参数的检验,3-8,假定人体尺寸有这样的一般规律,:,身高,(,X,1,),胸围,(,X,2,),和上半臂围,(,X,3,),的平均尺寸比例是,641.,假设,X,(),(,1,n,),为来自总体,X,=(,X,1,X,2,X,3,),的随机样本,.,并设,X,N,3,(,),，试利用表,3.5,中男婴这一组数据检验三个尺寸,(,变量,),是否符合这一规律,(,写出假设,H,0,并导出检验统计量,).,解：,检验三个尺寸,(,变量,),是否符合这一规律的问题可提成假设检验问题,.,因为,其中,注意,:,26,第三章 多元正态总体参数的检验,检验的假设,H,0,为,利用,3-6,的结论，取检验统计量为：,由男婴测量数据,(,p,=3,n,=6),计算可得,T,2,=47.1434,F,=18.8574,p,值,=0.0091950,未知,.,检验,H,0,似然比统计量为,记,其中,31,第三章 多元正态总体参数的检验,其中,A=A,1,+A,2,称为组内离差阵,.,B,称为组间离差阵,.,32,第三章 多元正态总体参数的检验,因为,似然比统计量,33,第三章 多元正态总体参数的检验,所以,34,第三章 多元正态总体参数的检验,由定义,3.1.5,可知,由,或,由于,35,第三章 多元正态总体参数的检验,可取检验统计量为,检验假设,H,0,的否定域为,36,第三章 多元正态总体参数的检验,3-11,表,3.5,给出,15,名,2,周岁婴儿的身高,(,X,1,),，胸围,(,X,2,),和上半臂围,(,X,3,),的测量数据,.,假设男婴的测量数据,X,(),(,1,6),为来自总体,N,3,(,(1),，,),的随机样本,.,女婴的测量数据,Y,(),(,1,9),为来自总体,N,3,(,(2),，,),的随机样本,.,试利用表,3.5,中的数据检验,H,0,:,(1),=,(2),(=0.05).,解,:,这是两总体均值向量的检验问题,.,检验统计量取为,(,p,=3,n,=6,m,=9):,37,第三章 多元正态总体参数的检验,其中,故检验统计量为,用观测数据代入计算可得,:,故,H,0,相容,.,显著性概率值,38,第三章 多元正态总体参数的检验,3-12,在地质勘探中，在,A,、,B,、,C,三个地区采集了一些岩石，测其部分化学成分见表,3.6.,假定这三个地区岩石的成分遵从,N,3,(,(,i,),，,i,)(,i,1,，,2,，,3)(=0.05).,(1),检验,H0,：,1,2,3,；,H1,：,1,2,3,不全等,;,(2),检验,H0,：,(1),(2),H1,：,(1),(2),;,(3),检验,H0:,(1),(2),(3),H1:,存在,ij,使,(i),(j),;,(4),检验三种化学成分相互独立,.,解,:(4),设来自三个总体的样本为,(,p,=3,k,=3),检验,H,0,的似然比统计量为,39,第三章 多元正态总体参数的检验,似然比统计量的分子为,40,第三章 多元正态总体参数的检验,称为合并组内离差阵,.,41,第三章 多元正态总体参数的检验,42,第三章 多元正态总体参数的检验,似然比统计量的分母为,43,第三章 多元正态总体参数的检验,检验,H,0,的似然比统计量可化为,:,44,第三章 多元正态总体参数的检验,Box,证明了，在,H,0,成立下当,n,时，,=,-,b,ln,V,2,(,f,),，,其中,V,=0.7253,=-,b,ln,V=,3.2650,因,p=,0.35250.05.,故,H,0,相容，即随机向量的三个分量,(,三种化学成分,),相互独立,.,45,第三章 多元正态总体参数的检验,或者利用定理,3.2.1,当,n,充分大时，,=,-2ln,2,(,f,),，,其中,f,=,p+p,(,p+1),/2-(,p+p,)=3,V,=0.7253,=0.1240,=-2ln,=-,n,ln,V=,4.1750,因,p=,0.24320.05.,故,H,0,相容，即随机向量的三个分量,(,三种化学成分,),相互独立,.,46,第三章 多元正态总体参数的检验,3-13,对表,3.3,给出的三组观测数据分别检验是否来自,4,维正态分布,.,(1),对每个分量检验是否一维正态,?,(2),利用,2,图检验法对三组观测数据分别检验是否来自,4,维正态分布,.,47,