定积分元素法.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一节 定积分的元素法,第二节 平面图形的面积,内容提要：,重点：,难点：,定积分的元素法,平面图形的面积的求法.,定积分的元素法,平面图形的面积的求法.,定积分的元素法,第六章 定积分的应用,1,和,我们知道求由,所围成的曲边梯形,的面积,A,须经过以下四个步骤：,（2）近似计算：,（4）取极限：,（3）求和：,分成,n,个小区间，,（1）分割:把,设第,i,个小曲边梯形的面积为,则：,第一节 定积分的元素法,2,（2）,A,对于区间,a,b,具有可加性，即整个曲边梯形的面积等于,所有小曲边梯形面积的和。,在上面的问题中，所求的量面积,A,有如下性质：,（1）,A,是一个与变量,x,的区间,a,b,有关的量；,即：,A,的精确值，,近似代替部分量,时，它们只相差一比,高阶的无穷小，因此和式,的极限就是,（3）以,3,（3）写出,A,的积分表达式，即：,求,A,的积分表达式的步骤可简化如下：,（1）确定积分变量,x,及积分区间,a，b；,以,作为,的近似值。,（2）,在,a,b,上任取小区间,即：,叫做面积元素,记为,4,具体步骤是,：,那么这个量就可以用积分来表示。,（,叫做,积分元素,）,（3）写出,U,的积分表达式，即：,（1）根据具体问题，选取一个变量例如,x,为积分变量，并确定 它的变化区间,a,b；,（2）,在,a,b,上任取小区间,x,x+,dx,，,求出,U,在这个小区间上的近似表达式,这种方法叫做,定积分的元素法。,一般地，如果某一实际问题中的所求量,U,符合下列条件：,（1）,U,是与一个变量,x,的变化区间,a，b,有关的量；,（2）,U,对于区间,a，b,具有可加性；,的近似值可表示为,（3）部分量,5,一、直角坐标情形,例,计算由,所围成的图形的面积。,这两条抛物线所围成的图形如图所示,和,得抛物线的两个交点,取,x,为积分变量，积分区间为,在,上任取小区间,面积元素为,故所求面积为,1,1,第二节平面图形的面积,解,解方程组,，,6,注：,当然所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即,1,1,7,例计算抛物线,与直线,所围成的图形的面积。,注,：当然这个题也可以用元素法来解。,这个图形如右图所示，,以,y,为积分变量，所求的面积为,解,得交点,解方程组,8,例3 求椭圆,所围成的图形的面积,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法，令,则：,当,x,由 0 变到,a,时，,t,由,变到0，所以：,设椭圆在第一象限部分的面积为,解,则椭圆的面积为,9,一般地，当曲边梯形的曲边:,由参数方程,给出时，,则由曲边梯形的面积公式及定积分的换元公式可知，,曲边梯形的面积为,在,（或,）上具有连续导数，,适合：,如果,连续,10,二、极坐标情形,下面我们求,这个曲边扇形的面积。,所以曲边扇形的面积为：,设由曲线,及射线,围成一图形（称为,曲边扇形）。,面积元素为：,为,取极角,积分变量，积分区间为,任取小区间,，,。,在,上连续，且,假设,。,圆扇形面积公式为,11,例4 计算阿基米德螺线,上相应于 从0 变到2,的一段弧与极轴所围成的图形的面积。,在此区间上任取小区间 ，,于是所求面积为,面积元素为,解,积分变量为,积分区间为,12,例5 计算心形线,所围成的图形面积。,因此所求图形的面积,A,是极轴以上部分图形面积 的两倍，,注：当然这个题可以用定积分的元素法来解。,解,如图所示，这个图形关于极轴对称,即,13,