研究生数值分析(6).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,牛顿迭代法的收敛速度快，但是每一次迭代，,除需计算 的值外，还要计算,的值。,如果 比较复杂，,计算,的工作量就,可能很大，尤其当,7,割线法,很小时，会产生很大的舍入误差。,为避免计算导数值，我们用插商来,代替导数。,设经过,k,次迭代后，欲求 。,两点,的差商,用,f,(,x,),在,来代替牛顿迭代公式中的导数 ，,得到如下迭代公式：,称为割线法，又称弦割法。,计算时可用,的接近程度控制迭代终止，,也可用,结束迭代，,是允许误差。,公式的几何意义是：,引一直线，则该直线与,x,轴交点的横坐标为,因此迭代公式可看成,割线,与,x,轴交点的横坐标作为 的新的近似值 ，,设已知方程,经过点 和,故,迭代公式又称为弦割法。,不如,牛顿法，且需提供两个较好的初始近似根 。,弦割法的优点是避免了求,导数。不足是收敛速度,割线法收敛性见,p,81-83,。,（如图）,例,8,用弦割法求方程,解：取初始近似根,，割线公式为,在区间,1,，,1.5,内的一个根,误差不超过 。,计算结果列于下表,k,x,k,f,(,x,k,),0,1,2,3,4,5,6,1,1.5,1.266667,1.315962,1.325214,1.324714,1.324718,-1,0.875,-0.234369,-0.0370369,0.00211642,-0.000016876,0.000000182,因为,所求近似根为,8,单点割线法,在割线法,中用固定点,(,x,0,f,(,x,0,),代替,就得到新的迭代公式,称为单点割线法。,单点割线法的收敛定理,定理,9,设函数,f,(,x,),在区间,a,，,b,上存在二阶,连续导数，且满足条件：,则单点割线法产生的序列,单调收敛于方程,F,(,x,)=0,在,a,b,内唯一的根,s,并且收敛速度是一阶的。,证明见书,p,84-85,例,9,用单点割线法求方程,在区间,(2,，,),内的根，要求,解：设,满足,所以，选,由单点割线法,产生的序列,必收敛于方程,在,2,，,4,内的根,s,。,迭代结果见下表,k,x,k,f,(,x,k,),0,1,2,3,4,5,6,7,8,4.000000000,2.000000000,3.060788439,3.141738781,3.145965936,3.146181637,3.146192630,3.146193191,3.146193219,0.613705638,-0.693147180,-0.057884103,-0.003037617,-0.000155040,-0.000007902,-0.000000402,-0.000000020,-0.000000001,已满足精度要求，故方程的根为,练习：,分别用双点弦割法和单点弦割法迭代,5,次,在,x,=1.5,附近的根，比较计算精度。,求解方程,