第三章_行列式B.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章 行列式,3.1,行列式的概念,3.2,行列式的性质,3.3,行列式的计算,3.4,行列式的应用,我们为什么要学习行列式？,行列式应用广泛，在数学、工程技术以及经济学中都有极其广泛的应用。,行列式为什么应用如此广泛呢？,主要是因为矩阵的广泛应用，而行列式之于矩阵，就像判别式,之于一元二次方程。当我们知道判别式的值就可以知道方程是否有根，有实根还是虚根。类似地，当我们知道矩阵的行列式的值时，我们能获取有关矩阵的关键信息，比如，矩阵是否可逆？矩阵的秩是多少？等等。,这一章的学习重点是什么呢？,行列式的计算，而运用行列式的性质可以大大地简化计算，故还必须熟练掌握行列式的基本性质。,3.1,行列式的概念,考虑一个二阶方阵,记,所确定的二阶行列式,(1),我们称,(1),为二阶方阵,记为,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,记,（,2,）,我们称,(2),为三阶方阵,A,所确定的三阶行列式,.,考虑一个三阶方阵,三阶行列式的计算,列标,行标,对角线法则,橙线上三元素的乘积冠以正号，绿线上三元素的乘积冠以负号,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,例,3.2.,解：,按对角线法则，有,下面我们利用递归方法将二阶、三阶行列式的概念推广到,n,阶行列式情形,.,为此我们给出,余子式,、,代数余子式,的定义。,定义：在,n,阶行列式中，把元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列划去后，留下来的,n,1,阶行列式叫做元素,a,ij,的,余子式,，记作,M,ij,.,把,A,ij,=(1),i,+,j,M,ij,称为,元素,a,ij,的,代数余子式,例如：,结论：因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以,行列,式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,定义,3.1.,n,阶方阵,=,所确定的,n,阶行列式,代表一个由,A,中元素根据一定的运算关系所得的数,.,=,当,n,=1,时,当,n,=2,时,=,=,=,当,n,2,时,=,也可简记为,或,我们将行列式按第,1,行元素展开的定义式推广,得到行列式按任意行,(,或列,),展开的定理,.,定理,3.1.,n,阶行列式,=,等于它的任一行,(,任一列,),的每个元素与它们所对应的代数余子式乘积之和,即,:,n,行列式可以按第,i,行元素展开,:,列展开：,阶行列式也可以按第,j,n,注意,:,由此定理,在计算行列式的值时,可以按它的,任一行,(,或列,),展开,.,为计算方便起见,我们一般选择,有较多,0,元素的行,(,或列,),展开,.,例,3.3.,计算行列式,解：,按第一行展开，得,解：,注意到第二行零元素较多，按第二行展开，得,例,3.4.,计算对角行列式,解：,例,3.5.,计算,n,阶下三角行列式,解,:,同样由,n,行列式定义,按第,1,行元素展开,:,=,=,=,例,3.6.,计算上三角行列式,解,:,我们将行列式按第,1,列元素展开,:,可以看到无论是下三角阵还是上三角阵，其行列式的结果均为为主对角线元素之积,.,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,.,例,3.7.,计算行列式,解：,3.2,行列式的性质,当,n,较大时,求,n,阶行列式值的计算量是很大的,.,一般地,我们可以利用行列式的性质来简化行列式的计算,.,行列式,D,T,称为行列式,D,的,转置行列式,记,行列式中行与列具有同等的地位，行列式的性质凡是,对行成立的对列也同样成立,性质,1,：行列式与它的转置行列式相等,根据行列式的定义，有,性质,2,：互换行列式的两行（列），行列式变号,例：,推论,1,：,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零,.,证明：互换相同的两行，有,D,=,D,，所以,D,=0,备注：交换第,i,行（列）和第,j,行（列），记作,备注：我们也将行列式的这种变换分别记为：,行变换：,列变换：,性质,3,：,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数,k,，等于用数,k,乘以此行列式,推论,2,：,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论,3.,对,n,阶行列式及数,k,有,例,3.9.,证明：奇数阶反对称矩阵的行列式的值等于零,证,:,设,A,为,n,阶反对称矩阵，即,=,n,为奇数,由性质,1,及性质,3,，有,:,所以,推论,4.,若有两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零。,性质,4,：,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和,行列式关于该行（列）可分解为两个行列式,例：,则,例,3.10.,计算行列式,解,:,利用性质,4,把原行列式分成,2,个行列式之和,:,性质,5,：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，行列式不变,则,验证：我们以三阶行列式为例 记,备注：以数,k,乘第,j,行（列）加到第,i,行（列）上，记作,例,3.11.,计算行列式常用方法：利用运算 把行列式化为上三角,形行列式，从而算得行列式的值,解：,作业：,P,65,3(2),4(2)(4),行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,.,互换行列式的两行（列），,行列式变号,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个倍数,k,，等于,用数,k,乘以此行列式,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个倍数然后加到另一列,(,行,),对应的元素上去，,行列式不变,推论,5.,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,关于代数余子式的重要性质,第,i,行的元素与相应第,j,行对应元素的代数余子式的乘积之和。,我们以,3,阶行列式为例,.,在上式中把,a,1,k,换成,a,2,k,(,k,=1,2,3),，则,第,i,列的元素与相应第,j,列对应元素的代数余子式的乘积之和,.,同理可得,例,3.11.,设,则有：,对,D,1,作运算 ，及 把,D,1,化为下三角形行列式,设为,对,D,2,作运算 ，及 把,D,2,化为下三角形行列式,设为,回忆：,证明：,对,D,的前,k,行作运算 ，则：,对,D,的后,n,列作运算 ，则,证明：,对,D,的前,k,行作运算 ，则：,设,n+m,阶分块方阵,其中,A,B,分别为,n,m,阶方阵,则,:,与,性质,6.,若,n,阶分块对角阵,，其中,为,阶方阵,则,:,定理,3.2,若,均为,n,阶方阵，则,3.3,行列式的计算,我们可利用上节的,性质,5,将行列式化成,上,(,下,),三角行列式,一,.,目标行列式法,来进行计算,.,性质,5.,将行列式的某一行,(,列,),的,k,倍加到另一行,(,列,),上,则行列式的值不变,.,例,3.12.,计算,4,阶行列式,解,:,例,3.13.,计算,n,阶行列式,解,:,将第,2,3,n,列元素都加到第,1,列对应元素上去,:,=,二,.,降阶法,我们也可以利用行列式的展开定理为了减少,计算量，通常先利用行列式的性质将行列式的某行,（列）化出较多的零元素，再按该行（列）展开,例,3.14.,计算行列式,解,:,为了使,D,中的零元素增多，利用行列式性质，得,:,三,.(,拆项,),分裂行列式法,行列式的性质,4,也可以用来简化行列式的运算,.,性质,4.,若行列式中某一行,(,列,),的元素都是两数之和，,则此行列式可表示为两个行列式的和即,:,=,+,例,3.15.,计算行列式,解,:,利用性质,4,把原行列式分成,2,个行列式之和，是按照某行拆开，还是按照某列拆开？,四,.,数学归纳法,下面考察应用广泛的重要行列式,:,范德蒙行列式,.,例,3.15.,证明,n,阶范德蒙,(Vandermonde),行列式,其中,为满足,的所有,的乘积,证,:,我们对,n,使用数学归纳法,.,因此原恒等式在,n,=2,时成立,.,n,=2,时,假设,原式对,n-1,阶范德蒙行列式成立,下证原式对,n,阶范德蒙行列式也成立,中,从第,n,行开始，由下往上，,下一行,减去,上一行的,倍，得,:,按第一列展开，得,:,从第,1,列提取公因子,，第,2,列提取公因子,第,n,-1,列提取公因子,，就得,:,上式右端的行列式是,n,-1,阶范德蒙行列式,由归纳假设可得,:,五,.,递推法,很多情况下,n,阶文字行列式直接计算比较困难,有时可以想办法得到,与,之间的关系式,进而利用递推的方法得到,的结果,.,例,3.16.,计算,n,阶行列式,解,:,将行列式按第一列展开,:,等式右端的第一个行列式与原行列式形式上完全一致,只是行列式的阶数低了一阶，设其为,则,:,于是得到递推公式,:,进一步得,:,=,=,六,.,加边法,计算,n,阶文字行列式往往比较困难,有时我们还可以,进行逆向思维,利用行列式按行,(,列,),展开的思想将行列,式化为阶数更高的行列式后反而会柳暗花明,.,例,3.17.,计算,n,阶行列式,解,:,利用加边法：,将原行列式加一行一列元素后得到新的,n+1,阶行列式,:,显然这是一个范德蒙行列式,.,于是,:,而原行列式即,D(x),中,的余子式，因此原行列式,的值为,D(x),展开式中,的系数的相反数，即,:,计算行列式的常用方法：,(1),利用,定义、性质,算得行列式的值；,(2),利用性质把行列式化为,上三角形行列式,，从而算得行列式的值,（,3,）,降阶,法,（,4,）,(,拆项,),分裂行列式法,（,5,）数学归纳法、递推法,（,6,）加边法,3.4,行列式的应用,行列式在很多领域中都有着广泛的应用,本节仅,介绍其在矩阵理论和一类特殊线性方程组中的应用,.,一,.,方阵可逆的充要条件,行列式 的各个元素的代数余子式 所构成的如下矩阵,称为矩阵 的伴随矩阵,.,注意下标,结论：，其中,定理：若,|,A,|,0,，则方阵,A,可逆，而且,元素,a,ij,的代数余子式,A,ij,位于第,j,行第,i,列,利用第,2,节中行列式性质的推论,5:,推论：若,|,A,|,0,，则,.,推论：若,|,A,|,0,，则,.,证明：若,|,A,|,0,，则,.,证明：若,|,A,|,0,，则,推论,:,若,n,阶方阵,，其中,为,阶方阵,则,A,可逆的充要条件为,:,可逆此时,:,例,3.16,：求,3,阶方阵 的逆矩阵,.,解,：,|,A,|=1,，,则,当,n,较大时,此方法计算量较大,推荐初等变换的方法,.,作业：,P,65,4(1,7),7(2),9(2).,计算行列式的常用方法：,(1),利用性质把行列式化为,上三角形行列式,，从而算得行列式的值,（,2,）,降阶,法,二,.,矩阵秩的刻画,第,2,章我们介绍过矩阵秩的概念，这里我们通过行,列式来刻划矩阵的秩,.,先引入矩阵的,k,阶子式的概念,.,定义,.,设,A,是一个,矩阵，在,A,中任取,k,行、,k,列,位于这些行和列相交处的元素，按它们原来的相对位置,组成一个,k,阶行列式，称为,A,的一个,k,阶子式,概念辨析：,k,阶子式、余子式、代数余子式,与元素,a,12,相对应的,余子式,相应的,代数余子式,矩阵,A,的两个,2,阶子式：,矩阵,A,共有,18,个,2,阶子式。,例如,:,A,相交处的元素构成的,2,阶子式：,取,A,的第,2,，,3,行和第,1,，,3,列,取遍,A,的所有,3,阶子式：,即：,A,有一个不为,0,的,2,阶子式,即：,A,的所有,3,阶子式全为,0.,我们称,D,是,A,的一个,最高阶非零子式,，该子式的阶数是,2,.,另一方面，通过初等变换的方法可以算出,A,的秩为,2.,即：矩阵,A,的秩,等于,矩阵,A,的最高阶非零子式的阶数,事实上，这个结论对任何矩阵都是成立的,.,定理,3.4.,设矩阵,.,则,的充要条件是,A,至少有,一个,r,阶子式不等于零,且,A,的所有,r+1,阶子式,（如果存在）全为零即,:,矩阵的秩等于矩阵的最高阶非,零子式的阶数。,矩阵,A,的秩就是,A,中非零子式的最高阶数,定义：设矩阵,A,中有一个不等于零的,r,阶子式,D,，且所有,r,+1,阶子式（如果存在的话）全等于零，那么,D,称为矩阵,A,的,最高阶非零子式,例,3.17,：求矩阵,A,和,B,的秩，其中,解：在,A,中，,2,阶子式,A,的,3,阶子式只有一个，即,|,A,|,，而且,|,A,|=0,，因此,R,(,A,)=2,例,3.17,：求矩阵,A,和,B,的秩，其中,解：,注意到矩阵,B,第,4,行元素都等于零，因此其4 阶子式全为零，同时,B,是一个行阶梯形矩阵，其非零行有 3 行，,以非零行的第一个非零元为对角元的,3,阶子式,，因此,R,(,B,)=3,还存在其它,3,阶非零子式吗？,回忆：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数,例,3.17,：求矩阵,A,和,B,的秩，其中,解：,B,还有其它,3,阶非零子式，例如,三,.,克莱姆,(Cramer),法则,下面我们应用行列式来讨论,线性方程组的求解问题,(Gabriel Cramer,瑞士,1704-1752),定理,3.5.(,克莱姆法则,),如果线性方程组,:,的系数行列式,则此线性方程组有唯一解，并且其解可表示为,其中,表示把矩阵,A,中,第,j,列元素分别,换成,所得的行列式,.,目标：要证明,推论,.,如果齐次线性方程组,:,的系数行列式,，则它只有零解,如果齐次线性方程组,有非零解,则它的系数行,列式必为零,.,Cramer,法则及其推论仅能应用于未知元个数与方程个数,相等,的线性方程组。,例,3.18.,已知方程组,问,:,当,k,取什么值时,它有唯一解,?,有唯一解时，求其解,.,解：因为系数行列式,=,所以，由克莱姆法则知，当,且,时,，,方程组有唯一解此时,于是，方程组的解为,:,作业：,P,66,11.,