高代--行列式代数余子式展开.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等代数（,I,）,Advanced Linear Algebra,助教,:,沈非 亓延峰,主讲教师,:,高 峡,理科楼,1478S,gao_m_xia,大课 周二,3,4,节 理教,109,周五,1,2,节 理教,109,习题课 周二,10,11,节,二教,107,一教,207,教材,:,高等代数,(,第二版,),上册,，丘维声著,参考材料：,线性代数讲稿,施光燕著,高等代数学习指导书 上册,丘维声著,Linear Algebra,，,by Prof G,Strang,（麻省理工开放式课程教学影片）,课件下载,:,linalg11,linalg11,进入后点击,讲义资料,下载。,行列式的基本性质,1.,对方阵求转置,行列式的值不变,2.,两行,(,两列,),互换,行列式反号,3.,关于一行,(,一列,),呈线性性质,:,一行,(,列,),的公因子可以提到外面去,;,沿一行,(,列,),可以拆成两个行列式的和,.,推论,:,一行,(,列,),加上另一行,(,列,),的倍数,行列式值不变,.,作业：,2.3 1(2)(3),2(2),3(2),4(2),2.4 1(2)(4),2,4,6,9,补充题,:,求,B=2,4,1,5;3,2,6,9;3,7,1,8,B=,2 4 1 5,3 2 6 9,3 7 1 8,%,求,简化阶梯型,row reduced echelon form,rref(B),ans=,1.0000 0 0 -0.6000,0 1.0000 0 1.2000,0 0 1.0000 1.4000,Matlab,求简化阶梯矩阵,Ex1.,随机产生大矩阵,计算其简化阶梯矩阵,观察解的情况,%,随机产生一个,20,21,矩阵,元素在,0,到,100,之间分布,A =100*rand(20,21);,%A,减去一个元素都是,50,的,20,21,矩阵,B=A 50*ones(20,21);,r,ref(B),Ex2.,将图像转换成矩阵形式,作矩阵运算后还原成图像,%,将照片,image.jpg,(,jpeg,bmp,格式,),拖入,workspace,点击,%,改名为,f1,%,unit8,格式改成,double,才能做算术,X1=im2double(f1);,%,或直接输入,X1=,double(imread,(,images.jpg,);,%,对,矩阵作转置,Y1=X1,;,%,显示转置后的矩阵,imshow(,Y1,),例,:,F35,.jpg,将图像转换成矩阵形式,%,将照片,F35,.jpg,(jpeg,bmp,格式,.),拖入,Matlab,的,%,Workspace,区域,直接点击,Workspace,区域的,%,F35,.jpg,文件名,按弹出窗口提示输入,%,或在,Command Window,输入,F35=,imread,(F35,.jpg,);,%,将,unit8,格式改成,double,才好做算术运算,X=im2double(,F35,);,%,注意命令结尾加分号,将图像转换成矩阵形式,whos,Name Size Bytes Class,F35 444x640 x3 852480 uint8 array,X 444x640 x3 6819840 double array,%,选红色灰度矩阵做运算,X1=X(:,:,1);,imshow(X1),裁取第,111,至,222,行,第,320,至,480,列的子阵,XX=X1(111:222,320:480);,imshow(XX),对,矩阵作转置,观察图像的变化,imshow(,X1,),对,矩阵加白噪音,E=rand(444,640)-0.5*ones(444,640);,imshow,(X1+0.3*E),第二章 方阵的行列式,1,排列的奇偶性,2,行列式的定义,3,行列式的性质,4,行列式按一行,(,一列,),展开,5,克莱姆,(Cramer),法则,6,行列式按,k,行,(,k,列,),展开,参考材料：课本 第二章,余子式,代数余子式的概念,(i,j),元的余子式,M,i j,(2,3),元,的余子式,M,23,(2,3),元,的代数余子式,A,23,在,n,阶行列式中,划去第,i,行,第,j,列,余下的元素按原次序排成的,n-1,阶,行列式称为,(i,j),元的余子式,记为,M,i j,.,(i,j),元的,代数,余子式定义为,代数余子式添加的符号：,注,:,行列式、余子式、代数余子式是数或公式,不要与矩阵的子阵搞混了,;,在有多个行列式的情况下，使用,M,i j,A,i j,符号时要特别指明是针对哪一个行列式；,(i,j),元余子式、代数余子式只与第,i,行,第,j,列以外的元素有关,与第,i,行,第,j,列,元素的取值、变化无关,.,(1,1),元的代数余子式相同：,行列式按一行,(,列,),展开,定理,:,行列式等于其第,i,行诸元素与各自,代数余子式的乘积之和,即,证明,:,先考察一种特殊情况,证明,:,证明,:,证明,:,第,i,行,其中,i 1,次,j 1,次,其中,利用,A,=,A,T,不难得到,按一行,(,列,),展开计算行列式,例,:,计算行列式,最佳方法,例,:,计算行列式,1,-1,例,:,计算,n,阶行列式,(n 1),例,:,计算,n,阶行列式,(n 1),D,n,=,a,D,n-1,+,D,n,=,a,D,n-1,b c,D,n-2,范德蒙,(,Vandermonde,),行列式,n=2,时,n=3,时,-,a,1,-,a,1,n=2,时,n=3,时,范德蒙,(,Vandermonde,),行列式,定理,:,对,n 1,有,证明,:,对,n,应用数学归纳法,.,当,n=2,3,时,上述公式成立,;,假设以上公式对,n-1,阶成立,我们来证明,n,阶的情况,-,a,1,-,a,1,-,a,1,由归纳假设,公式对,n,1,阶行列式成立,由归纳假设,公式对,n-1,阶行列式成立,由数学归纳法,对一切正整数,n,有,例：求,定理,:,行列式等于它第,i,行元素与各自,代数余子式的乘积之和,即,一行,元素与,另一行,元素,代数余子式的乘积之和,See you next time,