常微分方程Ch2.1-2.ppt

*,/12,常微分方程,求下列方程的解,课前练习,1.,人口预测模型,马尔萨斯（,Malthus,1766-1834,）是英国的一名神父，也是著名的人口学家，他在调查英国一百多年以来的人口统计数据的基础上，假设人口增长率是常数，并由此建立了著名的人口指数增长模型。,再论人口模型,解得,N,0,N,(,t,),0,t,注：,当人口总数不大时，生存空间、资源等极其充裕，人口总数指数地增长是可能。但随着时间的推移人口可是无限增长显然是不合理的。,这称为,Logistic,模型。,荷兰生物学家,Verhulst,引入人口常数,N,m,(,即环境最大容纳量,),表示自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为,r,(1-,N,(,t,)/,N,m,),，即净相对增长率随着,N,(,t,),的增大而减少，当,N,(,t,),N,m,时，净增长率,0,对应初值,N,(,t,0,)=,N,0,的解为,N,m,N,(,t,),0,t,t,0,再论人口模型,在研究江河水质变化情况的过程中，降解系数是一个重要的指标。通常认为，水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等，可使水中污染物的浓度逐渐降低。而反映江河自然净化能力的指标就称为降解系数。,2.,污染物降解模型,降解模型,以长江为例，,长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的,，据检测，主要污染物氨氮的降解系数通常介于,0.1-0.5(,单位,:1/,天,),之间。根据,长江年鉴,，,2005,年,9,月长江中游两个观测点氨氮浓度的测量数据如下：,湖南岳阳城陵矶,0.41,，江西九江河西水厂,0.06,已知从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂的长江河段全长,500 km,，该河段长江水的平均流速为,0.6,m/s,。,试求：,(1),氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程；,(2),研究该河段氨氮浓度随时间变化的规律，并确定该河段氨氮的降解系数；,(3),如果氨氮降解系数的自然值是,0.3,，则你计算的降解系数值是高了还是低了？这说明了什么问题？,降解模型,解,:,(1),设,t,时刻氨氮的浓度为,N,(,t,),，日降解系数为,k,，则氨氮浓度随时间变化所满足的微分方程如下：,其中,N,0,表示,0,时刻的氨氮浓度,(2),该河段氨氮浓度随时间变化的规律：,降解模型,解得,，带入边界条件,得,k,=0.1993,从而该河段氨氮浓度随时间的变化规律为：,(3),从,(2),中计算出的降解系数可以看出，其值,0.1993,比自然值,0.3,低了，说明在该河段,(,从湖南岳阳城陵矶到江西九江河西水厂,),还有其它的排污点。,降解模型,(1),齐次方程,/Homogeneous Equation/,(2),可化为齐次方程的方程类型,/Classifications of Homogenous/,2,可化为变量分离方程的类型,/Classifications of Variable Separated Equation/,(1),齐次方程,/Homogeneous Equation/,形式,：,g(,u,),为,u,的连续函数,一般方程的右端函数,f,(,x,y,),是,x,，,y,的零次齐次式。,即,或,f(x,y,),可表示成以,特点,：,解法,(1),作变量变换,即,y=,ux,（,2,）对两边关于,x,求导,（,3,）将上式代入原方程，得,整理,.(2.3),变量可分离方程,（,4,）求解方程,(,2.3,),若其解为,:,(5),原方程的通解为,:,.(2.4),(,为任意常数,),例,3,求解方程,解,令,(,为任意常数,),令,得,:,sin u=,cx,（,c,为非零任意数）,另当,tanu,=,0,时，,u,=0,即,u,=0,也是方程,(2.4),的解,故 （,2.4,）的通解为,sinu,=,cx,（,c,为任意常数）,代回原来的变量，原方程的通解为,:,