近世代数之元素的阶.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,*,近世代数,第二章 群论,2,元素的阶,1/31/2026,18:13,元素的指数,在群,中，由于结合律成立，,有意义，据此,可定义群的元素的指数,:,设,为正整数,则规定,:,显然有，,，其中,为任意整数,.,1/31/2026,18:13,定义,1,设,为群,的一个元素，使,的,最小正整数,叫做元素,的,阶,，记作,；若不存在这样的,，则称,的阶,显然，群中单位元的阶为,1,，其他元的阶,为无限,.,都大于,1,，,1/31/2026,18:13,例,1,关于数的普通乘法做成,4,次单位根群,.,1/31/2026,18:13,例,2,正有理数乘群,单位元的阶是,1,，,其他元的阶均为无限,.,例,3,非零有理数乘群,1,的阶是,1,，,-1,的阶是,2,，,其余元的阶均为无限,.,1/31/2026,18:13,定理,1,有限群,中每个元素的阶均有限,.,，在,中必有相等的,.,设,则,，从而阶有限,.,证明：设,1/31/2026,18:13,注：,无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，,，其中,是,次单位根群,关于普通乘法作成无限交换群，,甚至可能都有限,.,例,4,，则,其中每个元素的阶都有限,.,1/31/2026,18:13,定理,2,若群,中,，则,证明：令,，,，则,.,证明,中,，只需证,.,（,2,）若,1/31/2026,18:13,定理,3,若群中,，则,，其中,为任意的整数,.,设,，则,证明：,1/31/2026,18:13,两个推论：,推论,1,在群中，若,则,，其中,s,，,t,均为正整数,.,推论,2,在群中，若,，则,1/31/2026,18:13,定理,4,在群中，若,，,，则当,且,时，,证明：,，,，,，于是,若,同理,，,1/31/2026,18:13,例,5|,ab,|,一定等于,|,a|b,|,吗？,是有理数域,Q,上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群,.,1/31/2026,18:13,例,5|,ab,|,一定等于,|,a|b,|,吗？,是有理数域,Q,上的全体二阶满秩,方阵关于矩阵乘法做成的群,.,1/31/2026,18:13,思考题：,设,G,是群，且,|G|1.,证明：若,G,中除,e,外其,余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无,限，就是素数,.,1/31/2026,18:13,