直角坐标系下平面图形的面积和旋转体的体积.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,平面图形的面积,旋转体的体积,定积分的元素法,复习曲边梯形的面积计算方法（演示）,定积分的元素法分析（,演示,）,定积分的元素法（,演示,）,应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素,f(x)dx,和积分区间,a,b,。,一般地：若所量,U,与变量的变化取间,a,b,有关，且关于,a,b,具有可加性，在,a,b,中的任意一个小区间,x,x+dx,上,找出部分量的近似值,dU,=,f(x)dx,得所求量的定积分表达式,这种方法叫做定积分的元素法。,dU,=,f(x)dx,称,为所求量,U,的元素。,直角坐标系下的平面图形的面积（演示）,1,、由,x=a,，,x=b,y=0,及,y=f(x),所围成的平面图形的面积为,2,、由,x=a,，,x=b,y=f(x),及,y=g(x),所围平面图形的面积为,3,、由,y=c,，,y=d,x=0,及,x=(y),所围平面图形的面积为,平面图形的面积例题选举,例,1,计算由 及 所围成的图形的面积。,例,2,计算由曲线 和 所围成的图形的面积。,例,3,计算由 和 所围成的图形的面积。,例,4,求椭圆 的面积。,解,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（,1,）,（,2,）,轴,（,3,）,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（,4,）,（,5,）,一般地：如右图中的阴影部分的面积为,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,（,6,）,或,1,2,法一：以,y,作积分变量,法二：以,x,作积分变量,（,7,）,练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,例,5,求由下列给定曲线所围成的图形面积。,星形线,解由图形的对称性可得,偶次方化倍角,即,如果平面曲线由极坐标给出，如右图：,由,所围成的图形称为曲边扇形。,其中部分量可由阴影部分（扇形）面积近似计算，即：,由定积分的元素法，得曲边扇形面积的定积分表达式为,极坐标系下的平面图形的面积（演示）,（扇形面积近似替换）,例,6,求双纽线 所围平面图形的面积。,例,7,求心形线 所围平面图形的面积。,极坐标系下的平面图形的面积计算例题,解,解,例,9,求由下列给定曲线所围成的图形公共部分的面积。,解,例,8,求由曲线 所围成的图形面积。,解,旋转体的概念,平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）,旋转一周所得的立体（,演示,）。,可选取适当坐标系，使旋转轴为,轴或,轴。,最基本的情形是曲边梯形绕,轴或,轴旋转的情形。,旋转体的体积,示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（,演示,）。,a,b,y=f(x),d,c,x=g(y),旋转体的体积计算公式,1,、旋转轴为,x,轴（,演示,）,由,x=a,x=b,，,y=0,y=f(x),（,a0),所围成的曲边,梯形绕,x,轴旋转一周而成的旋转体的体积为,由,y=c,y=d,x=0,x=g(y),（,c0),所围成的曲边,梯形绕,y,轴旋转一周而成的旋转体的体积为,2,、旋转轴为,y,轴（,演示,）,o,x,y,P(h,r,),旋转体的体积计算公式,例,1,连接坐标原点,O,及点,P(h,r),的直线，直线,x=h,及,x,轴围成一个直角三角形，将它绕,x,轴旋转构成一个底半径为,r,，高为,h,的圆锥体，计算圆锥体的体积。,x,x+dx,解 如图所示,任取,，形成区间,体积元素为,直线,OP,的方程为,所求体积为,旋转体的体积例题选举,例,2,求星形线 绕 轴旋转构成旋转,体的体积。,返回,例,3,计算由曲线,y=x,2,与,x=y,2,所围成的平面图形绕,y,轴旋转,一周而成的立体的体积。,解 如图所示,V,2,V,1,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,x,1,y=x,3,1,x,y=x,3,1,绕,x,轴旋转一周,绕,x,轴旋转一周,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕,x,轴旋转一周,1,y=x,3,1,y,轴,轴,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕,y,轴旋转一周,绕,y,轴旋转一周,1,y=x,3,y,2,1,练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式,绕,y,轴旋转一周,例,4,求由曲线 及 所围成的图形绕直线,旋转一周而构成的旋转体的体积。,y,o,-2,2,3,x,4,再见！,2,问题的提出,返回,定积分元素法分析,返回,定积分元素法,返回,平面图形的面积（直角坐标）,返回,求面积例题,1,返回,面积例题,2,返回,求面积例题,3,返回,例,4,求椭圆面积,返回,平面图形的面积（极坐标）,返回,旋转体概念,返回,旋转体实例圆锥,返回,旋转体实例圆柱,返回,旋转体体积推导,返回,体积例题,3,返回,体积例题,2,返回,体积例题,5,返回,