chap1 9 10能量及衰减正交截止场.ppt

1.3,导波的分类及各类导波的特性,一,.,导波的分类,二,.,TEM,波的特性分析,三,.,TE,波、,TM,波的特性分析,1.3,导波的分类及各类导波的特性,一,.,导波的分类,导波的类型是指满足,无限长匀直,导波系统边界条件，能,独立,存在的导波,形,式。通常是按导波,有无纵向场分量,来分类，这样导波可以分两大类。,1.,无纵向场分量，即,E,z,=,H,z,=0,的电磁波，这种波只有横电磁场，故称为,横电磁波,(TEM,波,),，电、磁力线位于导波系统的横截面内。,横电磁波只能存在于,多导体,导波系统,中，如双线、同轴线等这类导波系统中。,一导波的分类,自由空间波,(TEM,波,),：,E,x,、,E,y,、,H,x,、,H,y,、,E,z,0,、,H,z,0,2.,有纵向场分量的电磁波，这种波又细分为以下三种类型。,1).,E,z,=,0,，,H,z,0,的波称为,横电波,(,TE,波,),或,磁,波,(,H,波,),。,其电力线全在导波系统的横截面内，磁力线为空间曲线。,2).,E,z,0,，,H,z,=0,的波称为横磁波,(,TM,波,),或电波,(,E,波,),。,其磁力线全在导波系统的横截面内，电力线为空间曲线。,3).,E,z,0,，,H,z,0,的波称为混合波,(,EH,波或,HE,波,),。,这种波可视为,TE,波和,TM,波的线性叠加。,一导波的分类,TE,10,TM,11,2.,有纵向场分量的电磁波，这种波又细分为以下三种类型。,1.,E,z,=,0,，,H,z,0,的波称为,横电波,(,TE,波,),或,磁,波,(,H,波,),。,其电力线全在导波系统的横截面内，磁力线为空间曲线。,2.,E,z,0,，,H,z,=0,的波称为横磁波,(,TM,波,),或电波,(,E,波,),。,其磁力线全在导波系统的横截面内，电力线为空间曲线。,3.,E,z,0,，,H,z,0,的波称为混合波,(,EH,波或,HE,波,),。,这种波可视为,TE,波和,TM,波的线性叠加。,前两种波，,TE,波和,TM,波可以,独立,存在于金属柱面波导、圆柱介质波导和无限宽的平板介质波导中。,后一种波,(EH,波或,HE,波,),则存在于一般,开波导和非均匀波导,(,如波导横截面尺寸变化，波导填充的介质不均匀等,),中，这是由于单独的,TE,波或,TM,波不能满足复杂的,边界条件,，必须二者线性叠加方能有合适的解之故。,一导波的分类,二,.TEM,波的特性分析,(,E,z,=0,，,H,z,=0),二,.,TEM,波的特性分析,(,一,).,场分量,(,二,).,传播特性,(,三,).TEM,波场沿横向分布的特点,若,E,z,=0,，,H,z,=0,，即,e,z,=0,，,h,z,=0,，,代入式,(1.26a),和,(1.27a),得,二,.,TEM,波的特性分析,(,E,z,=,0,，,H,z,=0),(,一,).,场分量,(1.26a),(1.27a),(1.33a),(1.33b),看出,(,1),(,2),按 成右手螺旋关系。,二,.,TEM,波的特性分析,(1.34a),(1.33b),将,(1.33b),得,(1.33c),(1.33a),由式,(1.33a),和,(1.33c),可得,TEM,波的波阻抗和波导纳,为,(1.34b),二,.,TEM,波的特性分析,(1.36a),(1.35a),(1.35b),(1.36b),场的完整表达式为,于是式,(1.33),又可写成,二,.,TEM,波的特性分析,由式,(1.31),和,(1.32),可见，当 时，要使等式左端的场不为零,(,横场若为零，则,TEM,波不存在,),，只有,k,c,等于零，即,TEM,波有,由 可得,(1.32),(1.37),(,二,).,传播特性,(1.31),(1.38),此式说明,TEM,波,无低频截止,，即双线、同轴线等传输线，理论上可以传播任意低频率的电磁波。,二,.TEM,波的特性分析,将,k,c,代入式,(1.15),可得,(1.39),或,此式表明导波中,TEM,波的传播常数与无界均匀媒质中电磁波的传播常数相同，事实上电磁波在无界空间传播时其电场和磁场也处于与传播方向相垂直的横平面内，也是一种,TEM,波。,二,.,TEM,波的特性分析,(1.15),二,.,TEM,波的特性分析,由式,(1.34),可得,TEM,波的波阻抗为,(1.34a),由式,(1.36),容易求得,TEM,波的相速,v,p,和波长，习惯上常将导波的波长称作波导波长，用,g,表示。,波的相位速度定义为波的等相位面向前移动的速度，可由相位恒定求出。例如对,TEM,波的正向波，可使式,(1.36),中,并对,t,求导得,(1.40),(1.41),(1.36),二,.,TEM,波的特性分析,波导波长,g,定义为波在一周期时间内沿导波系统传播的距离。即,以上三式的结果表明，导波中的,TEM,波的波阻抗、相速和波导波长也与无界均匀媒质空间电磁波的阻抗、速度和波长相同。因为二者的传播常数相同，这样的结果是自然的。,波的相速与频率无关,，这种特性称为无色散,(,波的速度随频率变化而变化的现象称为色散,)TEM,波为,无色散波。,(1.42),将,e,z,=,h,z,=0,代入式,(1.27b),和,(1.26b),有,(1.43a),的横向旋度为零,不仅如此。由于,TEM,波没有纵向磁通,在横平面上的环量也为零；,的横向旋度为零,(,应该说在没有体电流处是这样,),但由于传播,TEM,波的导波系统可以存在纵向电流，因此,在横平面上的环量不一定为零。这说明,TEM,波场在导波系统在,截面上的分布,与边界条件相同的二维静场完全一致。,(1.43b),(,三,).,TEM,波场沿横向分布的特点,二,.,TEM,波的特性分析,(1.26b),(1.27b),一致,仅指场在,横截面上,的分布而言，场对变量,z,和,t,的关系二者完全不同，,TEM,波为 ，而静场与,t,、,z,无关。因此，求,TEM,波的横向分布函数，可以采用求静态场完全类似方法。因 ，故 可表示为某个二维标量位的梯度,(,任何标量函数的梯度为零,),。,(,三,).,TEM,波场沿横向分布的特点,二,.,TEM,波的特性分析,二,.,TEM,波的特性分析,设标位函数为 ，可得,由式,(1.35b),得,利用麦克斯韦方程 有,对,TEM,波 有,(1.44a),(1.44b),(1.45),(1.46),将式,(1.44a),代入,(1.46),可得,二,.,TEM,波的特性分析,此式表示标位函数是,拉普拉斯方程,的解，于是求解,TEM,波的场就是求满足边界条件的拉普拉斯方程的解 。再由式,(1.44a),和,(1.44b),得出场量。,顺便指出，由,TEM,波场在横平面的分布与静态场相同这一点，可判断具体的导波系统能否传输,TEM,波。例如空心金属柱面波导，因其横截面内无法建立起静态场,(,导体表面上存在异性电荷时不可能有静止状态,),。所以空心波导中不存在,TEM,波，而同轴线则可建立起静态场，故可存在,TEM,波。由此推得,TEM,波只能存在于多导体构成的导波系统,中。,(1.47),提问,:,试定性解释为什么空心金属波导中不能传输,TEM,波？,解释一：,因为,TEM,波是指电场和磁场分量均在于传输线横截面内的一种波，即,TEM,波沿波的传播方向没有电场和磁场分量。因此，假若波导管内可存在,TEM,波，则闭合的磁力线应完全在横截面内。由麦克斯韦方程可知，沿闭合磁力线的线积分应等于回线所交链的轴向电流，在空心波导中无内导体，因而无轴向传导电流，只可能存在有位移电流，但轴向位移电流的存在表明沿轴向应有交变电场存在,(),，而这与,TEM,波的定义相矛盾。故波导管中不可能存在,TEM,波。,记一下,二,.,TEM,波的特性分析,传,TEM,播波时，,k,c,=,e,z,=,h,z,=0,，位函数,满足拉普拉斯方程。位函数,和静电场中的电位一样，适合波导横截面上坐标的二维标量拉普拉斯方程，因而，在这种特殊情形下，波导横截面上场的分布就和静电场的分布一样,常数的面代表一系列的等位面，波导内壁代表在边界上的等位面,。,如果我们研究的波导是一个空金属管，那么在波导内壁这个等位面内，电场是不能存在的这是静电场问题中一个熟知的现象，但是，如果在金属管中还有另一导体存在，那么，因为有了两个电位不等的导电面，所以在导电面之间可能存在着电位梯度或电场。因而，对应于,(,k,c,=0,),的波只能在多导线传输系统中存在，而不能在空心金属管中存在。,解释二：,记一下,二,.,TEM,波的特性分析,对于可传播,TEM,波的导波系统，为获取导波的传输特性，分析思路和具体方法是什么？,答：求解满足边界条件的拉普拉斯方程。,求出 后，,记一下,在自由空间中，没有边界条件需要满足。而,TEM,波是满足,Maxwell,方程的，也就是说，,TEM,波是,Maxwell,方程的一个解，因此,TEM,可以在自由空间中存在。,至于说怎样可以产生,TEM,波，实际上是不容易的。无限大平板电容器是可以产生,TEM,波。但“无限大”实际上无法实现，近似上说才可以。,1.3,导波的分类及各类导波的特性,三,.TE,波、,TM,波的特性分析,(,一,).,场分量,(,二,).,传播特性,1.,截止特性,2.,速度、色散,3.,波长,利用,TE,波和,TM,波是有纵向分量的导波中简单而重要的波型。它们可,独立,存在于一些导波系统中。它们的,线性组合,可得一般波型,(,混合波型,),。因此了解它们的特性是十分重要的。,TE,波的场分量,(,E,z,=0,，,H,z,0,即,e,z,=0,，,h,z,0,),代入式,(1.32),和,(1.31),得到,(1.48a),(1.48b),三,.,TE,波、,TM,波的特性分析,(,一,).,场分量,三,TE,波、,TM,波的特性分析,(1.31),(1.32),由此两式可得横场关系为,或,与,TEM,一样,(,1),(,2),按 成右手螺旋关系。,(1.50),(1.49a),(1.49b),这样,(1.49),又可写为,或,(1.51a),(1.51b),(1.48),至,(1.51),是,TE,波横场与纵场，横电场与横磁场之间的关系式。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,(1.48a),(1.48b),(1.40),三,TE,波、,TM,波的特性分析,如果我们将式,(1.48),与,TEM,波的式,(1.44),相比较可以发现，,TE,波中的 具有类似于,TEM,波中,(,u,v,),的作用，即位函数的作用。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,(1.48a),(1.48b),(1.44a),(1.44b),同时，对于一般柱坐标系,(,u,，,v,，,z,),，矢量波动方程式,(,1.8b,),(1.52),中的 分量是满足同样形式的标量波动方程的,(,见附录,),，即有,这样,求解,TE,波的场分量,便可先由式,(1.52),解出 再代入式,(1.48),求得其余场分量。这种求解方法称为,纵向场法,。,TE,波电磁场的完整表达式为,(1.53a),(1.53b),三,TE,波、,TM,波的特性分析,TM,波的场分量略。,1.,截止特性,(1.60),TE,波,h,z,0,TM,波,e,z,0,，由式,(1.31),和,(1.32),得,(,二,).,传播特性,(1.32),(1.31),三,TE,波、,TM,波的特性分析,而 ，可见,TE,波、,TM,波存在截止频率或截止波长。它们分别为,或,(1.61a),k,c,与,、,无关，,f,c,与,、,有关。,(1.61b),与介质媒质有关,截止频率,f,c,或截止波长,c,决定于截止波数,k,c,。,而截止波数,k,c,决定于导波系统的,特定边界条件,。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,例如，矩形波导,同理根据相速定义由式,(1.18),可得,TE,波和,TM,波的,相速,为,(1.62),式中,2.,速度、色散,(1.18),(1),相速,三,TE,波、,TM,波的特性分析,导波的相位常数,由此式可见，,v,p,v,，即导波系统中,TE,波和,TM,波的相速永远大于波在无界均匀媒质中的传播速度。如果导波系统中填充的是空气，则 。可见，在空气填充的导波系统中,TE,波、,TM,波的相速,v,p,大于光速,c,。这个结论似乎违背了相对论原理,(,根据相对论，能量或信号的传播速度不可能超过光速,),。但实际上并非如此，因为,TE,波、,TM,波的相速不代表能量传播，它是,波前或波的形状,沿导波系统的纵向所表现的速度。而代表能量或信号的传播速度是下面讨论的波的群速度。,(1.62),三,TE,波、,TM,波的特性分析,相速：是没有受到任何调制的,单频,稳态正弦波的波前,(,等相位面,),在传播方向上推进的速度,/,。,相对论：宇宙间任何物体的运动速度，任何信号或能量的传播速度不可能超过光速。,这种“早就开始振荡和传播，并且持续不断的”波，不载有任何信息。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,群速：波包中心行进的速度,d,/d,，代表能量或信号的传播速度。,相速是波包中某个单频的,相位移动,速度,。,光在真空中，群速和相速相等，都等于,c,。,记一下,(1.63a),(1.63b),(2),群速,群速即信号传播速度，用,v,g,表示。它是指,略有不同的两个或,两个以上的正弦平面波,，在传播中叠加所产生的拍频传播速度，即波群的传播速度。之所以这样定义它，是因为电磁波要传送信号，必须对它进行调制。信号的传播速度应当是调制波中能反映信号的成分，例如调幅波,波群,(,或波包,),的传播速度。为了得出群速的表达式，我们研究最简单的情形，即由两个频率相差甚微，从而相位常数也相差甚微的等幅波叠加而成的波。设,三,TE,波、,TM,波的特性分析,式中 ，。合成波为,(1.64),可见合成场为一调幅波，振幅函数是一个慢变化的波，它叠加在高频载波上形成合成波的幅度包络线,(,或称为合成波的波包,),。合成波的变化规律如图,1.4,所示。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,图,1.4,(1.65),(1.66),在 的极限情况下，上式变为,调幅波的信号是由波包内的波群作为一个整体在传播方向上运动来传递的，因此波包的传播速度就代表了信号传递的速度。波包的传播速度很容易用相位恒定条件求出，即,对,t,求导数可得群速表示式,(1.67),三,TE,波、,TM,波的特性分析,由式,(1.67),可得,TE,波、,TM,波的群速度,从,TE,波、,TM,波相速和群速的表示式可以看出以下两点,:,(1.68),(1.62),I.,II.,v,p,、,v,g,都是,f,的函数，波速随,f,而变化。故,TE,波、,TM,波,为,色散波,。,TEM,波因,c,可以求得 ，波速,v,与,f,无关，再次说明,TEM,波,为,非色散波,。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,(1.72),该式含有三个不同的波长，应注意它们的区别。其中,称为,工作波长,。它与速度和频率的关系为,3.,波长,由于,TE,波、,TM,波存在截止频率和截止波长，因此，它们的,波导波长,由定义可得,(1.73),此是导波系统工作频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中传播的波长。它决定于,工作频率和媒质参数,。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,波导波长,g,定义为波在一周期时间内沿导波系统传播的距离。,c,为截止波长,，由式,(1.14),可知,，,它与速度、频率的关系为,此式表明，截止波长是截止频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中传播的波长。,(1.74),(1.61b),由式,(1.61b),可知，截止波长决定于,k,c,，,k,c,是导波场横向分布矢量函数的本征值，它决定于,工作模式和导波系统的结构尺寸,，因此在这里，,截止波长是一个和媒质无关的量,。式,(1.61a),表明,截止频率是一个与媒质参数有关的量,，这是根据确定的,k,c,求,c,和,f,c,所得的结果。但应注意，有时为了方便，也将截止波长取为 。,(1.61a),三,TE,波、,TM,波的特性分析,采用这种取法时，由式,(1.61a),，,截止频率与截止波长的关系便由下式计算,(1.61b),但应注意，有时为了方便，也将截止波长取为,(1.61a),截止波长,是截止频率所对应的平面电磁波在无界均匀媒质中传播的波长。,(1.75),三,TE,波、,TM,波的特性分析,g,为波导波长，它与速度和频率的关系为,(1.76),它是工作频率所对应的导波沿导波系统,纵向,传播的波长。它与,、,c,有关，其关系式就是式,(1.72),，也可表为,(1.72),波导波长,(1.77),三,TE,波、,TM,波的特性分析,三,TE,波、,TM,波的特性分析,对于可传播,TE,或,TM,波的金属柱面波导，为获取导波的传输特性，分析思路和具体方法是什么？,答：采用纵向场法。首先,(,利用分离变量法,),求解,h,z,(TE,波,),或,e,z,(TM,波,),所满足的标量波动方程：,利用边界条件，求出,k,c,，,利用橫场和纵场之间的关系式，进而可求出导波的其他所有参量。,三,TE,波、,TM,波的特性分析,记一下,三,TE,波、,TM,波的特性分析,1.5,模式正交性,1.6,导波系统中截止状态下的场,二,导波的能量,三,导波的衰减,1.4,导波的传输功率、能量及衰减,一 传输功率,1.4,导波的传输功率、能量及衰减,一,.,传输功率,(1.78),此式表明，导波的,传输功率取决于它的横向场,。这是导波传输功率的一般表达式，对各类导波均适用。,导波的传输功率属于有功功率，它等于复数功率的实部。设导波系统的横截面为,S,，则导波的传输功率为,一传输功率,一,.,传输功率,(1.78),对,TEM,波，由,(1.78),式并考虑式,(1.35),的关系可得,利用矢量代数公式,同时，考虑传播波的阻抗为实数，式,(1.79),变为,(1.35),(1.80),一传输功率,(1.79),(1.81),(1.82),对于,TE,波、,TM,波，作类似上面的推导可得,存在纵向场的,TE,波和,TM,波，由于它们的横向场可由纵向场表出，因此传输功率也可由纵向场来表示。,TE,波、,TM,波能够独立存在的导波系统主要是空心金属波导。在空心金属波导的边界条件下，传输功率有更简单的形式。它给计算带来很大的方便。,一传输功率,(1.85),(1.86),一传输功率,二,.,导波的能量,单位长导波系统中传播波的电能和磁能可由,能量密度时均值,积分求得。,导波的能量具有下述重要特性：在,无耗,导波系统中，传播波的电能时均值与磁能时均值彼此相等，即,(1.87),(1.88),(1.97),二导波的能量,详细的证明见课本。,二,.,导波的能量,W,eTEM,W,mTEM,W,eTE,W,mTE,W,eTM,W,mTM,的表达式,二导波的能量,三,.,导波的衰减,前面的分析都是假定导波系统没有损耗，即没有导体损耗,(,=,),，没有介质损耗,(,、,为实数,),，所以导波在传播过程中幅度没有衰减，,=,0,，,=,j,。这是理想化的情况。实际上，导体的导电率不可能是无限大,(,为有限值,),，导体总存在,欧姆损耗,；介质对电磁波也总会有一定的损耗,(,、,为复数,),。这样，导波的幅度便会发生衰减,(,0,),。,三导波的衰减,将此式对,z,求导得,计算导波衰减就在于计算导波传播常数中的衰减常数,值。求,的一种常用方法是根据导波在单位长导波系统中的损耗功率来计算。当导波系统有损耗时，正向波的振幅随,z,按 的规律变化，传输功率则按 的规律变化。设在处的传输功率为 ，则在处的传输功率为,因为传输功率沿,z,的,减少率,(,变化率的负值,),就等于导波系统单位长度上的损耗功率 。,(1.98),(1.99),(1.100),三导波的衰减,于是可得,二者的关系是,由于衰减量,(A),有两种单位：奈培,(,Np,),和分贝,(dB),。它们的定义是,(1.101),三导波的衰减,(1.98),因此，从式,(1.98),不难看出,的单位是奈培,/,米,(,Np/m,),。利用上面的关系可化为分贝,/,米,(dB/m),。,下面分别对导体和介质损耗所引起的衰减进行计算。,我们假定介质是无耗的，导波衰减仅由导体损耗造成。当导体有耗时，导电率为有限值，导体表面电场切向分量不再为零，磁场法向分量也不再为零，此时，导波场的一部分将进入到导体内部,根据坡印廷定理，,损耗功率,等于导波进入导体内的复功率的,实部,。即,(,一,),导体损耗引起的衰减,(,简称导体衰减,),设 为导体表面的外法向单位矢量,代表导体表面切向单位矢量,代表导体表面,(1.102),三导波的衰减,式中 为导体表面阻抗,。,(,1.103,),三导波的衰减,这里将进入导体壁内的波近似为均匀平面波，故,波阻抗,就等于,导体表面阻抗,。利用矢量代数公式,可将式,(1.103),化为,(,1.104,),由此式可得单位长度导体上的损耗功率,导波系统的传输功率为,为表面电阻。式中线积分是环绕导体周界,l,进行的。,式中,S,为导波系统的横截面，于是由式,(1.101),可得导体衰减常数,。,(,1.105,),三导波的衰减,(1.101),还需指出，该式中的 和 均应是在导体,有耗,情况下导波系统中的真实值。严格求解它们必须重新解有耗导体边界下的麦克斯韦方程，但这样做是十分困难和麻烦的。通常采用近似计算，即用理想情况下导波场来代替上述真实场。这种方法称为,微扰法,。由于通常选作导波系统的金属导体均属良导体，导电率虽然不是无限大，但也是很大的，因此这样计算 是足够准确的。,(,1.106,),三导波的衰减,导体表面切向分量,横向分量,应该指出，实际导波系统的衰减还与导波场进入导体的表面,光洁程度,有关，当表面不平度超过趋肤深度时，将使表面面积加大，从而衰减比理论计算值高。因此，对不同波段的导波系统要求一定的表面光洁度，以保证不平度小于趋肤深度。同时，还应保持表面的清洁，表面氧化、油污等均会使衰减增大。,为趋肤深度。,三导波的衰减,(,二,),介质损耗引起的衰减,(,简称介质衰减,),与计算导体衰减时假定介质无耗一样，此时我们假定导体是理想的，导波的衰减仅由介质损耗造成。在这种情况下，因此导体边界仍是理想的，所以介质有耗并不影响无耗场解的形式，只是将无耗解的介质常数由实数换成复数。考虑到导波系统中的介质一般是电介质，因此只有介电常数为复数，即,式中,与介质无耗时的,相同，,代表介质原子结构中的阻尼效应；,是介质的导电率；为介质的等效导电率；为介质的损耗角正切。,(1.110),三导波的衰减,1.,根据传播常数方程,可得,即,介质衰减,(,其衰减常数用 代表,),可用下面两方法求得。,由此式求 需解四次方程，考虑到实际导波系统中的介质一般损耗不大，特别是在工作频率远高于截止频率时，衰减常数远小于相位常数，因此，可以略去上式中 的平方项，由虚部实部分别相等得,(,1.111,),三导波的衰减,2.,当介质损耗不大时，也可采用式(,1.101),这里 应是导波系统单位长度上介质损耗功率，它可表为,式中,S,为导波系统横截面。,(,1.112,),(1.113),(1.114),传输功率,P,取下式,可得,总损耗为,(,1.115,),(,1.117a,),(,1.117b,),三导波的衰减,1.5,模式正交性,模式即波型。它是指导波系统中能够,独立存在,的一种导波场分布。例如,TEM,波又称,TEM,模。后面将看到,TE,波、,TM,波分别有无限多个独立的场分布，并用,TEnm,、,TMnm,表示。它们被称为,TEnm,模、,TMnm,模。,模式,正交性,是指在,匀直无耗,导波系统中存在多个模式时，各模式之间具有正交性质。,设,i,、,j,为导波系统中任意两个模，,i,模的场为 ，,j,模的场为 。,1.5,模式正交性,一功率正交,三纵场正交,(1.118a),(,1.118b,),二横场正交,(,1.119a,),(,1.119a,),(,1.120b,),(,1.120a,),1.5,模式正交性,用 点乘式,(1.121a),减 点乘式,(1.121b),可得,1.5,模式正交性,(1.121a),(1.121b),(1.122a),(1.122b),下面我们以无耗的金属柱面波导为例来证明上述性质。取麦克斯韦方程,用 点乘式,(1.222a),减 点乘式,(1.222b),得,将以上二式相加得,(1.123),(1.124),(1.125),(1.19),现在考虑波的两种情况：,1.5,模式正交性,根据二维散度定理,式,(1.126),左端第一项的积分为,第一种情况，,i,、,j,均为正向波,，这时 ，,则式,(1.125),为,(1.126),式中,S,是无耗金属柱面波导的横截面，,l,为,S,的周界。上式右端积分中，。因在无耗金属管壁上有 ，所以上式右端线积分为零。于是式,(1.126),变为,(1.125),1.5,模式正交性,或,第二种情况，,i,、,j,中一个为正向波，一个为反向波。,若,i,为正向波，经过上述相同的步骤可得,将式,(1.127b),和式,(1.128),相加得,(1.127a),(1.127b),(1.128),将式,(1.127b),减去式,(1.128),得,于是,i,、,j,模之间的功率正交性得证。必须指出，当,i,、,j,是,简并模,时,由于,i,=,j,致使,(1.128),中,不一定为零,从而不能肯定得到上述正交关系。这时,可将,i,、,j,模进行线性组合构成一新模,此新模便与,i,和,j,模是正交。,1.5,模式正交性,根据,i,、,j,模的功率正交性，容易推出,i,、,j,模的横场也是正交的。取,利用矢量代数公式,可得,即,(1.129),1.5,模式正交性,根据,i,、,j,模横场正交，不难推出其纵场正交。由,因 ，应用二维格林第一恒等式可得,即,等式左端由 代入，右端因理想金属表面边界条件,e,zi,为零而积分为零，于是得,(1.130),同理可证,参,(1.48),上面以,无耗金属柱面波导,为例证明了导波系统中两个不同模式彼此正交。实际上对各类,均匀无耗,的导波系统都成立。,但对,有耗导波系统,不成立，损耗将引起模式间互相耦合。当损耗很小时，可以近似满足。模式正交性对于我们分析导波带来了很大方便。,例如当导波系统存在多个模式时，由于相互正交，没有能量耦合，,因此总功率为各模功率之和,。在分析其传输特性时，可将多模的导波系统视为一组彼此独立的单模导波系统来分析。,1.5,模式正交性,1.6,导波系统中,截止状态,下的场,当 时，导波的传播常数为实数，此时没有波沿导波系统传播，场处于截止状态。,(2),用 取代传播波中,TE,、,TM,波,(TEM,波因截止频率,f,c,=0,而不存在截止状态,),的 而得到。截止场的场分量为,(1),纵向场法，,求解截止场的方法仍可用,1.6,导波系统中截止状态下的场,三,TE,波、,TM,波的特性分析,TE,场,TM,场,可见：场沿,z,为指数规律分布，,截止场的阻抗为纯虚数,，,TE,场阻抗是感抗，,TM,场的阻抗是容抗。,感抗,容抗,无耗导波系统中截止场的电能时均值和磁能时均值彼此不相等，并且,(,1.135,),(,1.136,),1.6,导波系统中截止状态下的场,TE,型截止波的阻抗呈感性，表明该类波的能量未沿传输线传输，而以,磁能,的形式暂存。,TM,型截止波的阻抗呈容性，表明它储存有,净电能,。,详细的证明见课本。,1.6,导波系统中截止状态下的场,