第六章4正定二次型和正定矩阵.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,1,4,正定二次型和正定矩阵,一、基本概念,二、正定矩阵的充分必要条件,三、正定矩阵的性质,2,2,一、基本概念,定义,设,A,为实,n,阶对称矩阵，如果对于任意非零向量,X,，二次型,f,=,X,T,AX,均为正数，则称二次型,f,为正定的，其矩阵,A,称为正定矩阵,.,定义,如果对于任意向量,X,，二次型,f,=,X,T,AX,均为非负,(,非正,),数，则称二次型,f,为半正,(,负,),定的，其矩阵,A,称为半正,(,负,),定矩阵,.,定义,如果实二次型,f,=,X,T,AX,对于某些向量,X,为正数,并且对于对于某些向量,X,为负数,则称二次型是不定的,.,3,3,例,4,4,二、正定矩阵的充分必要条件,定理,实对称矩阵,A,正定的充分必要条件是其特征值都是正数,.,证明,设实对称矩阵,A,的特征值 都是正数,.,存在正交矩阵,Q,使得,Q,T,AQ,=,为对角矩阵,其对角线元素为,对于 令,即,显然 又 故,这就证明了条件的充分性,.,5,设,A,是正定矩阵,而 是其任意特征值,X,是属于 的特征向量,则有,于是,必要性得证,.,推论,若,A,是正定矩阵,则,|,A,|0.,证明,5,6,6,定理,实对称矩阵,A,负定的充分必要条件是其,特征值都是负数,.,7,7,例,判断下列矩阵是否为正定矩阵,解,8,8,9,9,E:=matrix(1,0,0,0,1,0,0,0,1);A:=matrix(6,-2,2,-2,5,0,2,0,7);f:=det(lambda*E-A);f_factor:=factor(f);,10,10,例,设,A,为,n,阶实对称矩阵,且满足 证明,A,为正定矩阵,.,证明设 为,A,的特征值,则 为,的特征值,故,11,11,无实根,.,A,的特征值为,1,n,重故,A,是正定矩阵,.,12,12,定理,实对称矩阵,A,正定的充分必要条件是它与单位矩阵合同,.,证明 充分性,.,设实对称矩阵,A,合同与,E,即存在可逆矩阵,C,使得 对于任意向量,X,O,由于,C,可逆,可从 解出,Y,O,于是,故,A,是正定的,.,必要性,.,设实对称矩阵,A,是正定的,.,由于,A,是实对称的,A,合同于一个对角矩阵,其对角线元素是,A,的特征值 由于,A,是正定的,这些特征值大于零,而这样的对角矩阵与单位矩阵合同,故,A,合同于单位矩阵,.,13,定理,实对称矩阵,A,正定的充分必要条件是存在可逆矩阵,P,，使得,A=P,T,P,.,证明设,A=P,T,P,P,可逆,.,对于任意,由于,P,可逆,PX,o,故,设,A,正定,则,A,合同于单位矩阵,即存在可逆矩阵,使得,A,=,P,T,EP,=,P,T,P,.,14,例,A,正定,B,实对称,则存在可逆矩阵,R,使得,R,T,AR,和,R,T,BR,同时为对角形,.,证明,存在,P,使得,P,T,AP=E,P,T,BP,实对称,存在正交矩阵,Q,使得,Q,T,P,T,BPQ,=,D,为对角形,令,R=PQ,则,为对角形,.,15,例,A,B,正定,AB,正定的充分必要条件是,A,B,可交换,.,证明必要性设,AB,正定,则,AB,对称,充分性 设,A,B,可交换,则,AB,是实对称矩阵,A,正定,A,=,CC,T,AB=CC,T,B,C,T,BC,C,T,BC,是正定矩阵,特征值为正,AB,特征值也为正数,故,AB,正定,.,16,16,定理,n,阶实对称矩阵,A,负定的充分必要条件是它与,负单位矩阵 合同,.,17,17,为了叙述下一个正定矩阵充分必要条件，我们引进,定义,给定实对称矩阵,则其前,s,行前,s,列元素组成的行列式,称为,A,的顺序主子式,.,即,18,18,的行列式,.,定理,实对称矩阵 正定的充分必要条件是其顺序主子式全大于零,.,证明,必要性,设,A,是正定矩阵,则对于非零向量,即,A,i,为正定矩阵,故其行列式,19,19,充分必要性,.,设矩阵,A,的所有顺序主子式,0.,要证明,A,是正定矩阵,.,用数学归纳法证明,.,n,=1,时显然,:,设对于,n,1,结论成立,.,A,n,-1,正定,存在,n-,1,阶非退化矩阵,G,使得,令,则,再令,20,20,21,21,令,令,则,于是,A,与单位矩阵合同,故,A,是正定的,.,推论,n,阶实对称矩阵,A,负定 顺序主子式,A,i,满足,22,22,例,用顺序主子式判断上例的矩阵的正定性,.,解,故,A,正定,.,23,23,实对称矩阵,A,正定的充分必要条件是,1.,其特征值都是正数,.,2.,A,合同于,3.,可逆,.,4.,A,的顺序主子式全是正数,.,5,.,A,的主子式全是正数,.,24,24,例,判断下列二次型是否正定,:,25,26,例,t,在什么范围取值时二次型,是正定二次型,?,解,27,28,定义,实对称矩阵,A,的第 行和第,列的元素组成的行列式称为主子式,.,例如,是,2,阶主子式,.,其中只有 是,2,阶顺序主子式,.,29,29,实对称矩阵,A,半正定的充分必要条件是,1.,其特征值都是非负数,.,2.,A,合同于,3.,A,的正惯性指数,p=r,.,4.,A,的所有主子式非负,.,30,定理,实对称矩阵,A,半正定的充分必要条件是所有主子式非负,.,证明 设,A,半正定,.,则,A,+,tE,正定,.,其所有主子式,个,.,31,设,A,的所有主子式非负,.,考虑矩阵 其顺序主子式,是,A,的 阶主子式之和,故,正定,对于任意非零向量,X,令 得,故,A,半正定,.,32,例,但,A,并非半正定，事实上，,A,对应的二次型,主子式,顺序主子式,33,33,三、正定矩阵的性质,1.,若,A,为正定矩阵,则,|,A,|0,A,可逆,.,2.,若,A,为正定矩阵,则,A,-1,也是正定矩阵,.,证明,A,为正定矩阵,其全部特征值为正数,A,-1,的全部特征值是它们的倒数,也全是正数,故,A,-1,正定,.,3.,正定矩阵的对角线元素都是正数,.,4.,A,为正定矩阵,A,k,也是正定矩阵,.,5.,A,B,为同阶正定矩阵,则,A,+,B,是正定矩阵,.,6.,若,A,为正定矩阵,则存在可逆矩阵,P,使得,A=PP,T,.,7.,A,为正定矩阵,A,的所有主子式大于零,.,34,34,证明,由于,A,合同于单位矩阵,存在可逆矩阵,Q,使得,A=Q,T,EQ=Q,T,Q=Q,T,(,Q,T,),T,=PP,T,P=Q,T,.,8.,若,A,为,n,阶正定矩阵,则 正定,.,证明,对于任意,m,维列向量 由于,矩阵,P,的列向量组线性无关,是,P,的列向量的非零线性组合,故 而,A,正定,故,故 是正定矩阵,.,35,35,的若干性质,1.,若,A,为,n,阶可逆矩阵,则 为正定矩阵,.,证明 是实对称矩阵,.,对于任意,A,可逆,否则,故 正定,.,2.,若,A,为 矩阵,且 则 为,m,阶正定矩阵,为,n,阶半正定矩阵,但非正定矩阵,.,证明 任意,A,的列向量组线性无关,36,的列向量组线性相关，存在,n,维列向量,使得,于是,故 不是正定矩阵。,37,37,3.,若,A,为 矩阵,且 则 和,分别为,m,阶和,n,阶半正定矩阵但非正定矩阵,.,故 半正定,.,列向量组线性相关,存在非零向量,X,使得,AX=O,故 非正定,.,38,38,作业,习题,6,11,，,12(2),，,13,，,14,，,19,，,20.,