高三数学高考专题复习课件四(转化与化归思想).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,4,讲 转化与化归思想,1.,转化与化归思想的基本内涵是：解某些数学问题,时，如果直接求解较为困难，可通过观察、分析、,类比、联想等思维过程，恰当的运用数学方法进,行变换，将原问题,A,转化为另一个新问题,B,，而问,题,B,是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的,问题，且问题,B,的解决可以得到原问题,A,的解答,.,这,种思想方法，我们称之为,“,转化与化归的思想方,法,”,.,可用框图直观表示为：,其中的问题,B,是化归目标或化归方向，转化的手段,是化归策略,.,2.,化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟,知的问题，解题的过程就是一个缩小已知与求解,之间差异的过程，是未知向已知转化的过程，也,是目标向问题靠拢的过程,.,待解决的问题,A,容易解决的问题,B,问题,A,的解,问题,B,的解,观察、分析,类比、联想,应用,解决,还原,3.,化归思想有着客观的基础，它着眼于揭示内在本,质联系，实现转化与化归，通过矛盾的转化，达,到解决问题的目的,.,4.,化归转化思想方法要遵循以下原则：（,1,）目标简,单化原则，即越转化，问题越简单，越利于解决,问题；（,2,）和谐统一原则，即转化和化归应满足,目标问题与待解决问题在量、形、关系上趋于统,一使问题的条件和结论更均匀和恰当，使待解决,问题在表现形式上，越发趋于和谐；（,3,）具体化,原则，化归方向越具体，越有利于问题的解决；,（,4,）回归原则，无论怎么转化，无论转化为什么,新的问题，都是手段，不是目的，最终的目的是,解决原始问题,.,因而，最后要回归到原始问题上,来，否则，劳而无功,.,5.,数形结合思想体现了数与形的相互转化，函数与,方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转,化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转,化，这三种思想方法都是转化与化归思想的具体,体现,.,各种变换方法，分析法、反证法、待定系数,法、构造法等都是转化的手段,.,可以说，转化与化,归是数学思想方法的灵魂,.,【,例,1,】,设,y,=(log,2,x,),2,+(,t,-2)log,2,x,-,t,+1,，若,t,在,-2,，,2,上变化时，,y,恒取正值，求,x,的取值范围,.,分析,由于,“,习惯,”,的影响，常把,x,看作自变量，,这样处理的话问题很复杂，由于,t,的取值范围已,知，可考虑变换主元为,t,这样自变量的范围已知,了，函数类型也简单了,.,解,设,y,=,f,(,t,)=(log,2,x,-1),t,+(log,2,x,),2,-2log,2,x,+1,则,f,(,t,),是一次函数，当,t,-2,，,2,时，,f,(,t,)0,恒,成立,.,解得,log,2,x,3.,x,的取值范围是 （,8,，,+,）,.,探究拓展,本题的关键是把,t,看成自变量，即将原,变量,x,与参数,t,变更关系，视,t,为主元，转换思考的,角度，从而使解法变得简易,.,若按照习惯，仍把,x,看成自变量，问题就复杂多了,.,因此，在解题时要,多注意对题目中一些变量的理解，以便是灵活运,用,.,改变对,“,x,”,的看法，这将有助于解决问题,.,变式训练,1,（,2009,苏州市调研）设不等式,2,x,-,1,m,(,x,2,-1),对满足,|,m,|2,的一切实数,m,都成立，求,实数,x,的取值范围,.,分析,如果把不等式看做关于,x,的二次不等式，则,求解过程繁琐，如果把不等式看做是关于,m,的一次,不等式，则可以简化求解过程，这就是变量与常,量的转化,.,解,令,f,(,m,)=-(,x,2,-1),m,+2,x,-1,m,-2,，,2,，,则原不等式等价于,f,(,m,)0,恒成立,(,m,-2,，,2,).,由于,f,(,m,),是关于,m,的一次函数或常数函数，,【,例,2,】,（,2008,南通调研）已知向量,a,=(1-,tan,x,1),b,=(1+sin 2,x,+cos 2,x,0),记,f,(,x,)=,a,b,.,（,1,）求,f,(,x,),的解析式并指出它的定义域；,解,（,1,）,a,=,（,1-tan,x,，,1,），,b,=,（,1+sin2,x,+cos 2,x,，,0,），,f,（,x,）,=,a,b,=(1-tan,x,)(1+sin 2,x,+cos 2,x,),探究拓展,应该认真审视一下本例，解题过程中,使用了三角知识中的两种重要转化，一是三角函,数名称的转化，如（,1,）中将切函数化为弦函数，,二是角度的转化，如（,2,）中将目标单角化为条件,中的,2,倍角，便于使用条件，还有将,2,角改写为,也是一种智慧之举，使得条件顺利得,以使用，问题顺利得以解决，,“,目标,”,意识很,明显，转化方法运用的恰到好处,.,备考者要从中认,真体会和学习使用,.,变式训练,2,已知,分析,不难发现 未知角可,化为已知角，整体地利用已知条件来解答问题,.,解,【,例,3,】,已知不等式,x,+|,x,-2,m,|1,的解集为,R,，求实数,m,的取值范围,.,解,依题意，,x,R,，,x,+|,x,-2,m,|1,恒成立,.,设,f,（,x,）,=,x,+|,x,-2,m,|,（,x,R,），应满足,f,(,x,),min,1.,将,f,(,x,),化简后得：,研究该分段函数知,f,(,x,),min,=,f,(2,m,)=2,m,(,x,R,).,故只须,2,m,1,所以实数,m,的取值范围为,探究拓展,可以说，数学问题的解决过程，就是,问题转化过程的展现，转化成功了，问题解决也,就成功了,.,分析本例中的几处转化，便于备考者琢,磨和体会，首先是将不等式解集为,R,的问题等价转,化为代数式的值恒大于,1,的问题，其次再等价转化,为函数,f,(,x,)=,x,+|,x,-2,m,|,最小值大于,1,的问题，再次转,化得分段函数，便于研究其值域,.,从中可以看出，,每一次转化都使问题趋于更简单，更方便于问题,的解决，也就是向目的地更近了一步,.,变式训练,3,（,2008,南通调研）若不等式,4,x,-,2,x,+1,-,a,0,在,1,，,2,上恒成立，则,a,的取值范围是,.,解析,设,2,x,=,t,1,x,2,2,t,4.,依题意有不等式,t,2,-2,t,-,a,0,在,2,，,4,上恒成立,.,即,a,t,2,-2,t,t,2,，,4,设,f,(,t,)=,t,2,-2,t,t,2,，,4,.,依二次函数知识可知当,t,2,，,4,时，,必须有,a,f,(,t,),min,即,a,0,a,（,-,，,0,为所求,.,0,f,(,t,)8.,（,-,，,0,【,例,4,】,（,2009,江苏百校样本分析卷）已知某几何,体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为,2,的,正三角形,主视图是矩形且,AA,1,=3,设,D,为,AA,1,的中点,.,（,1,）作出该几何体的直观图并求其体积；,（,2,）求证：平面,BB,1,C,1,C,平面,BDC,1,；,（,3,）,BC,边上是否存在点,P,，使,AP,平面,BDC,1,？若,不存在，说明理由；若存在，证明你的结论,.,（,1,）,解,由题意可知该几何体为直三棱柱，且它,的直观图如图所示,.,几何体的底面积,S,=3,，高,h,=3,所求体积,V,=.,（,2,）,证明,连结,B,1,C,交,BC,1,于,E,点，,则,E,为,BC,1,、,B,1,C,的中点，连结,DE,.,AD,=,A,1,D,，,AB,=,A,1,C,1,，,BAD,=,DA,1,C,1,=90,.,ABD,DA,1,C,1,，,BD,=,DC,1,，,DE,BC,1,.,同理,DE,B,1,C,，又,B,1,C,BC,1,=,E,，,DE,平面,BB,1,C,1,C,又,DE,平面,BDC,1,，平面,BDC,1,平面,BB,1,C,1,C,.,（,3,）,解,取,BC,的中点,P,，连结,AP,，则,AP,平面,BDC,1,.,证明如下：,连结,PE,，则,PE,平行且等于,AD,，,四边形,APED,为平行四边形，,AP,DE,，,又,DE,平面,BDC,1,，,AP,平面,BDC,1,，,AP,平面,BDC,1,.,当,P,为,BC,边上的中点时有,AP,平面,BDC,1,.,探究拓展,转化是解决问题的关键与核心问题，,备考者可以以本例为载体细心揣摩转化思想方法,在解决立体几何问题中的作用,.,本例一开始，要将,三视图转化为主体直观图，实现条件与信息的转,化，以便于使用,.,第（,2,）题中为了证明面面垂,直，转化为证明一面过另一面的垂线（由证明平,面,BDC,1,平面,BB,1,C,1,C,，转化为证明,DM,平面,BB,1,C,1,C,），这又要转化为证明线线垂直，其中还,穿插了转化为,“,一条直线的平行线与平面垂直，,那么这条直线也与平面垂直”,.,第（,3,）题中的线,面平行问题的处理，也是转化为线线平行问题才,解决的,.,可以说立体几何问题中，类似的升维与降,维的转化，比比皆是，解题过程采用综合法叙,述，掩盖了这种转化的明显性与直观性，若以分,析法表述的话，就明确得多了,.,变式训练,4,（,2009,淮安调研）在四棱锥,O,ABCD,中，底面,ABCD,为菱形，,OA,平面,ABCD,，,E,为,OA,的中点，,F,为,BC,的中点，求证：,（,1,）平面,BDO,平面,ACO,；,（,2,）,EF,平面,OCD,.,证明,（,1,）,OA,平面,ABCD,，,BD,平面,ABCD,，,所以,OA,BD,，,ABCD,是菱形，,AC,BD,，又,OA,AC,=,A,，,BD,平面,OAC,，,又,BD,平面,OBD,，平面,BDO,平面,ACO,.,（,2,）取,OD,中点,M,，连接,EM,，,CM,，,则,ME,AD,，,ABCD,是菱形，,AD,BC,，,AD,=,BC,，,F,为,BC,的中点，,CF,AD,，,ME,CF,，,ME,=,CF,.,四边形,EFCM,是平行四边形，,EF,CM,，,又,EF,平面,OCD,，,CM,平面,OCD,.,EF,平面,OCD,.,规律方法与总结,1.,常用转化策略有：正与反的转化；数与形的转,化；相等与不等的转化；整体与局部的转化；空,间与平面的转化；复数与实数的转化；常量与变,量的转化；不同数学语言之间的转化等等,.,2.,转化与化归的本质是,“,有利于问题解决,”,，基于,这个,“,有利于,”,，应充分发挥个人的聪明才智，,大胆联想、类比、假设，尽快探索出转化方案和,方法，使问题顺利得以解决,.,3.,对于常见问题还是有章可循，有法可依的，通常,可以从以下几方面入手：,（,1,）通过变量替换、增量代换、等价代换等换,元方法，将问题转化为变量个数少，次数低，结,构简单，形式熟悉的问题,.,（,2,）考虑到点集和有序实数对集合之间的映射关,系，可将平面几何问题转化为解析几何问题解,决，而解析法，也可以将方程问题转化为曲线问,题解决,.,（,3,）特殊化策略,.,即在解决一个一般性问题有困难,时，先将问题特殊化（如取特殊值，取特殊位,置，考察极端化情形），从中获得解法、结论,等，再将这些解法、结论推广到一般问题上去，,获得一般问题的解答,.,（,4,）一般化策略,.,这是与,“,特殊化策略,”,完全相,反过程的一种策略，为了解决问题,A,，先解决比,A,更一般的问题,A,，然后再将其特殊化获得解答,.,（,5,）语言转化策略,.,数学符号表达一定的语义，可,视作一种,“,语言,”,，图形也是表达思想的一种,“,语言,”,，这两种,“,语言,”,与普通的文字语言之,间相互转化，是一种常用的策略,.,（,6,）正反互化策略,.,当正面解决问题较困难或情形,繁杂，而其对立面较易解决或情形较少时，可先,解决其对立面面临的问题，再回归到原问题上去,.,（,7,）升降维转化策略,.,在立体几何中，有时将视,角放在一个特别的平面内，进行计算或证明之,后，再将结论放回原三维几何体中去,.,这种处理策,略称之为降维策略；反之，则称为升维策略,.,（,8,）另外还有相等与不等的转化策略；整体与局,部的转化策略；复数与实数的转化策略；常量与,变量的转化策略等,.,4.,不等式恒成立、能成立、恰成立等问题的转化,.,不等式恒成立、能成立、恰成立等问题是高考中,的常见题型，常应用函数方程思想和,“,分离变量,法,”,转化为最值问题，也可抓住所给不等式的特,征，利用数形结合法,.,其处理方法可以总结如下：,（,1,）恒成立问题,若不等式,f,(,x,),A,在区间,D,上恒成立，则等价于在区,间,D,上,f,（,x,）,min,A,；,若不等式,f,（,x,）,B,在区间,D,上恒成立，则等价于在,区间,D,上,f,（,x,）,max,A,成立，,则等价于在区间,D,上,f,（,x,）,max,A,;,若在区间,D,上存在实数,x,使不等式,f,(,x,),B,成立，则,等价于在区间,D,上,f,（,x,）,min,A,在区间,D,上恰成立，则等价于不等,式,f,(,x,),A,的解集为,D,；,若不等式,f,(,x,),B,在区间,D,上恰成立，则等价于不等,式,f,(,x,),B,的解集为,D,.,一、填空题,1.,在,ABC,中，若,sin,A,sin,B,sin,C,=578,，,则,B,=,.,解析,由正弦定理知,sin,A,:sin,B,:sin,=,a,:,b,:,c,=5:7:8,可设,a,=5,k,b,=7,k,c,=8,k,C,2.,已知方程,x,3,=4-,x,的解在区间 内，,k,是,的整数倍，则实数,k,的值是,.,解析,设,f,(,x,)=,x,3,+,x,-4,其零点对应着方程的解,.,应,先考虑,f,(,x,),的零点在 内情形,.,试解,f,(1)=,-20,f,(1),f,(2)0,对,一切,a,（,1,，,2,都成立，求,x,的取值范围,.,解,原不等式可化为,a,2,+,ax,+,x,-,x,2,0,设,g,(,a,)=,a,2,+,ax,+(,x,-,x,2,)0,对一切,a,（,1,，,2,，,g,(,a,)4,或,x,4,或,x,-1.,9.,已知二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+2,x,-2,a,-1,其中,x,=2sin,若二次方程,f,(,x,)=0,恰有两个不相等的,实根,x,1,和,x,2,求实数,a,的取值范围,.,分析,注意 即,-1,x,2,问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得,出等价的不等式组,.,解,由以上分析，问题转化为二次方程,ax,2,+2,x,-2,a,-,1=0,在区间,-1,，,2,上恰有两个不相等的实根，,由,y,=,f,(,x,),的图象（如图所示），得等价不等式组,.,10.,（,2009,通州市查漏补缺卷）已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，点 数列,b,n,满,足：,b,n,+2,-2,b,n,+1,+,b,n,=0(,n,N,*,),，且,b,3,=11,前,9,项和为,153.,（,1,）求数列,a,n,，,b,n,的通项公式；,（,2,）设 数列,c,n,的前,n,项和为,T,n,，求使不等式 对一切（,n,N,*,）都成立的最,大正整数,k,的值；,（,3,）设,n,N,*,，问是否存在,m,N,*,，使得,f,(,m,+15)=5,f,(,m,),成立？若存在，求出,m,的值；若不存在，请说明理由,.,解,（,1,）,n,2,时，有,a,n,=,S,n,-,S,n,-1,=,n,+5;,当,n,=1,时，,a,1,=,S,1,=6,可得,a,n,=,n,+5(,n,N,*,).,b,n,+2,-2,b,n,+1,+,b,n,=0(,n,N,*,),b,n,+2,-,b,n,+1,=,b,n,+1,-,b,n,=,=,b,2,-,b,1,.,数列,b,n,是等差数列，,b,3,=11,，它的前,9,项和为,153,，设公差为,d,b,n,=3,n,+2(,n,N,*,).,当,m,为奇数时，,m,+15,为偶数；,当,m,为偶数时，,m,+15,为奇数,.,若,f,(,m,+15)=5,f,(,m,),成立，,则有,3(,m,+15)+2=5(,m,+5)(,m,为奇数,),或,m,+15+5=5(3,m,+2)(,m,为偶数,).,解得,m,=11.,所以当,m,=11,f,(,m,+15)=5,f,(,m,).,