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初中数学-九年级数学优质公开课赛教获奖教案数学优质公开课赛教获奖教案－反比例函数及其图象

数学教案－反比例函数及其图象 教学设计示例1反比例函数及其图象教学目标：1、理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；2、会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质；
3、渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想；
4、体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程；
5、培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力.教学重点
：结合图象分析总结出反比例函数的性质；教学难点
：描点画出反比例函数的图象教学用具：直尺
教学方法：小组合作、探究式教学过程：
1、从实际引出反比例函数的概念我们在小学
学过反比例关系.例如：当路程S一定时，时间t与速度v成反比例即vt=S（S是常数）；
当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例，即ab=S（S是常数）从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分别看成自变量与函数，写成：
（S是常数）（S是常数）
一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数．如上例，当路程S是常数时，时间t就是v的反比例函数．当矩形面积Ｓ是常数时，长a是宽b的反比例函数．
在现实生活中，也有许多反比例关系的例子．可以组织学生进行讨论．下面的例子仅供2、列表、描点画出反比例函数的图象
例1、画出反比例函数 与 的图象解：列表
x -6
-5 -4
-3 1
2 3
4 5
6-1 -1.2
-1.5 -2
6 3
2 1.5
1.2 11
1.2 1.5
2 -6
-3 -2
-1.5 -1.2
1 说明：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象.取点的时候最好多取几个，正负可以对称着取分别画点描图一般地反比例函数 （k是常数， ）的图象由两条曲线组成，叫做双曲线.
3、观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质前面学习
了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习.
显示这两个函数的图象，提出问题：你能从图象上发现什么有关反比例函数的性质呢？并能从解析式或列表中得到论证.（下列答案仅供参考）（1） 的图象在第一、三象限.可以扩展到k >0时的情形，即k>0时，双曲线两支各在第一和第三象限.从解析式中，也可以得出这个结论：xy=k，即x与y同号，因此，图象在第一、三象限.
的讨论与此类似.抓住机会，说明数与形的统一，也渗透了数形结合的数学
思想方法.体现了由特殊到一般的研究过程.（2）函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小；
从图象中可以看出，当x从左向右变化时，图象呈下坡趋势.从列表中也可以看出这样的变化趋势.有理数除法说明了同样的道理，被除数一定时，若除数大于零，除数越大，商越小；若除数小于零，同样是除数越大，商越小.由此可归纳出，当k>0时，函数 的图象，在每一个象限内，y随x的增大而减小.同样可以推出 的图象的性质.
（3）函数 的图象不经过原点，且不与x轴、y轴交.从解析式中也可以看出， .如果x取值越来越大时，y的值越来越小，趋近于零；如果x取负值且越来越小时，y的值也越来越趋近于零.因此，呈现的是双曲线的样子.同理，抽象出 图象的性质.函数 的图象性质的讨论与次类似.
4、小结：本节课我们学习
了反比例函数的概念及其图象的性质.大家展开了充分的讨论，对函数的概念，函数的图象的性质有了进一步的认识.数学学习要求我们要深刻地理
解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学
知识，给以一定的解释.即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中.
5、布置作业   习题13.8   1-4教学设计示例2反比例函数及其图像一、素质教育
目标（一）知识教学点
1．使学生了解反比例函数的概念；2．使学生能够根据问题中的条件确定反比例函数的解析式；
3．使学生理解反比例函数的性质，会画出它们的图像，以及根据图像指出函数值随自变量的增加或减小而变化的情况；4．会用待定系数法确定反比例函数的解析式.
（二）能力训练点1．培养学生的作图、观察、分析、总结的能力；
2．向学生渗透数形结合的教学思想方法.（三）德育渗透点
1．向学生渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点；
2．使学生体会事物是有规律地变化着的观点.（四）美育渗透点
通过反比例函数图像的研究，渗透反映其性质的图像的直观形象美，激发学生的兴趣，也培养学生积极探求知识的能力.二、学法引导教师采用类比法、观察法、练习法
学生学习反比例函数要与学习
其他函数一样，要善于数形结合，由解析式联想到图像的位置及其性质，由图像和性质联想比例系数k的符号.三、重点·难点·疑点及解决办法
1．教学重点：反比例的概念、图像、性质以及用待定系数法确定反比例函数的解析式.因为要研究反比例函数就必须明确反比例函数的上述问题.
2．教学难点：画反比例函数的图像.因为反比例函数的图像有两个分支，而且这两个分支的变化趋势又不同，学生初次接触，一定会感到困难.
3．教学疑点：（1）反比例函数为何与x轴，y
轴无交点；（2）反比例函数的图像只能说在第一、三象限或第二、四象限，而不能说经过第几象限，增减性也要说明在第几象限（或说在它的每一个象限内）.4．解决办法：（1） 中隐含条件是 或 ；（2）双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论.四、教学步骤
（一）教学过程提问：小学
是否学过反比例关系？是如何叙述的？由学生先考虑及讨论一下.
答：小学学过：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系.
看下面的实例：（出示幻灯）1． 当路程s
一定时，时间t与速度v
成反比例；2．当矩形面积S
一定时，长a与宽b
成反比例；它们分别可以写成 （s
是常数）， （S是常数）写在黑板上，用以得出反比例函数的概念：（板书）
一般地，函数 （k是常数， ）叫做反比例函数.
即在上面的例子中，当路程s是常数时，时间t
就是速度v的反比例函数，能否说：速度v
是时间t的反比例函数呢？
通过这个问题，使学生进一步理解反比例函数的概念，只要满足 （k是常数， ）就可以．因此可以说速度v
是时间t的反比例函数，因为 （s
是常量）．对第2个实例也一样．练习一：教材P129中1  口答．P130  1
根据前面学习特殊函数的经验，研究完函数的概念，跟着要研究的是什么？
答：图像和性质．通过这个问题，使学生对课本上给出的知识的发生、发展过程有一个明确的认识，以后
学生要研究其他函数，也可以按照这种方式来研究．下面，我们就来看桓隼猓海ǔ鍪净玫疲?/P>
例1  画出反比例函数 与 的图像．提问：1．画函数图像的关键问题是什么？
答：合理、正确地选值列表．2．在选值时，你认为要注意什么问题？
答：（1）由于函数图像的特点还不清楚，多选几个点较好；（2）不能选 ，因为 时函数无意义；
（3）选整数较好计算和描点．这个问题中最核心的一点是关于 的问题，提醒学生注意．
3．你能不能自己完成这道题呢？学生在练习本上列表、描点、连线，教师在黑板上板演，到连线时可暂停，让学生先连完线之后，找一名同学上黑板连线，然后就这名同学的连线加以评价、总结：
注意：（1）一般地，反比例函数 的图像由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）这两条曲线不相交；
（3）这两条曲线无限延伸，无限靠近x轴和y
轴，但永不会与x轴和y
轴相交．关于注意（3）可问学生：为什么图像与x
和y轴不相交？
通过这个问题既可加深学生对反比例函数图像的记忆，又可培养学生思维的灵活性和深刻性．再让学生观察黑板上的图，提问：
1．当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y随x
的增大怎样变化？2．当 时，双曲线的两个分支各在哪个象限？在每个象限内，y
随x的增大怎样变化？
这两个问题由学生讨论总结之后回答，教师板书：对于双曲线（1）当 ：（1）当 时，双曲线的两分支位于一、三象限，y
随x的增大而减少；（2）当 时，双曲线的两分支位于二、四象限，y
随x的增大而增大．
3．反比例函数的这一性质与正比例函数的性质有何异同？通过这个问题使学生能把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用．
练习二：教材P129中2由学生在练习本上完成，教师巡回指导.P130中2、3填在书上上面，我们讨论了反比例函数的概念、图像和性质，下面我们再来看一个不同类型的例题：（出示幻灯）
例2已知y与 成反比例，并且当 时， ，求 时，y
的值.用提问的方式对此题加以分析：
（1）y与 成反比例是什么含义？
由学生讨论这一问题，最后归结为根据反比例函数的概念，这句话说明了： .（2）根据这个式子，能否求出当 时，y
的值？（3）要想求出y
的值，必须先知道哪个量呢？（4）怎样才能确定k
的值？用什么条件？答：用待定系数法，把 时 代入 ，求出k
的值.（5）你能否自己完成这道例题：
由一名同学板演，其他同学在练习本上完成.例3   已知： ， 与x
成正比例， 与x成反比例，当 时， 时， ，求y
与x的解析式.
分析：一定要先写出y与x
的函数表达式 ，要用x
分别把 ， 表示出来得 ，要注意 不能写成k
，∴解：设 ，
.由题意得
∴ .（二）总结、扩展
教师提问，学生思考回答：1．什么是反比例函数？
2．反比例函数的图像是什么样的？3．反比例函数 的性质是什么？
4．命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.五、布置作业
1．教材P130中4，5，62．选做：P130中B1，2
六、板书设计 13．8反比例函数及其图像
引例：（1）例1：例2：
例3：
（2）
1．反比例函数：
2．反比例函数的性质 探究活动已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A
、B两点，与y
轴交于点C，与x
轴交于点D。 。
（1）求反比例函数的解析式；（2）设点A
的横坐标为m， 的面积为S
，求S与m
的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）当 的面积等于 时，试判断过A、B两点的抛物线在x
轴上截得的线段长能否等于3。如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由。解：（1）过点B
作 轴于点H。
在Rt 中， 由勾股定理，得
又 ， ∴  点B
（－3，－1）。设反比例函数的解析式为
。∵  点B
在反比例函数的图像上，。
∴  反比例函数的解析式为 。（2）设直线AB
的解析式为 。由点A
在第一象限，得 。又由点A
在函数 的图像上，可求得点A的纵坐标为 。
∵  点B（－3，－1），点 ，
∴    解关于 、 的方程组，得∴  直线AB
的解析式为 。令  。求得点D
的横坐标为 。过点A
作 轴于点G
由已知，直线经过第一、二、三象限，∴  ，即 。 由此得
∴  。即  。（3）过A、B
两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。
证明如下：。
由 ，得
解得 。经检验， 都是这个方程的根。
，∴  不合题意，舍去。∴  点A
（1，3）。设过A
（1，3）、B（－3，－1）两点的抛物线的解析式为 。
∴    由此得即  。设抛物线与x
轴两交点的横坐标为 。则
令则  。即  。整理，得  。，
∴  方程 无实数根。因此过A、B
两点的抛物线在x轴上截得的线段长不能等于3。