数学建模培训课件.ppt

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,School of Mathematics and Physics,J.G.Liu North,China Elec.P.U.,*,*,数 学 建 模,主讲,:,刘敬刚,内容：,数学建模简介,插值与数据拟合建模,层次分析法,1/21/2026,1,数学建模简介,数学模型,；,数学建模的步骤和过程,；,数学建模示例,返回,1/21/2026,2,玩具、照片、飞机、火箭模型,实物模型,水箱中的舰艇、风洞中的飞机,物理模型,地图、电路图、分子结构图,符号模型,模型,是为了一定目的，对客观事物的一部分,进行简缩、抽象、提炼出来的,原型,的替代物,模型,集中反映了,原型,中人们需要的那一部分特征,从现实对象到数学模型,我们常见的模型,1/21/2026,3,你碰到过的数学模型,“,航行问题,”,用,x,表示,船速，,y,表示水速，列出方程：,答：船速每小时,20,千米,/,小时,.,甲乙两地相距,750,千米，船从甲到乙顺水航行需,30,小时，,从乙到甲逆水航行需,50,小时，问船的速度是多少,?,x,=,20,y,=,5,求解,1/21/2026,4,航行问题,建立数学模型的基本步骤：,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（,x,y,表示船速和水速）；,建立模型（用物理定律,匀速运动的距离等于,速度乘以时间，列出数学式子）；,求解模型，得到解答（,x,=20,y,=5,）；,回答原问题（船速每小时,20,千米,/,小时）。,对问题进行分析（已知、未知等）；,1/21/2026,5,数学模型,(Mathematical Model),和,数学建模（,Mathematical Modeling),对于一个,现实对象,，为了一个,特定目的,，,根据其,内在规律,，作出必要的,简化假设,，,运用适当的,数学工具,，得到的一个,数学结构,。,建立数学模型的全过程（包括分析、假设、建模、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,返回,1/21/2026,6,数学建模的一般步骤,模,型,准,备,了解实际背景,明确建模目的,搜集有关信息,掌握对象特征,模型准备,模型假设,模型构成,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,N,Y,形成一个,比较清晰,的,问题,1/21/2026,7,模,型,假,设,针对问题特点和建模目的,作出合理的、简化的假设,在合理与简化之间作出折中,模,型,构,成,用数学的语言、符号描述问题,发挥想像力,使用类比法,尽量采用简单的数学工具,数学建模的一般步骤,1/21/2026,8,模型,求解,各种数学方法、软件和计算机技术,如结果的误差分析、统计分析、,模型对数据的稳定性分析,模型,分析,模型,检验,与实际现象、数据比较，,检验模型的合理性、适用性,模型应用,数学建模的一般步骤,1/21/2026,9,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,表述,求解,解释,验证,(,归纳,),(,演绎,),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,理论,实践,1/21/2026,10,数学模型的分类,应用领域,人口、交通、经济、生态,数学方法,初等数学、微分方程、规划、统计,表现特性,描述、优化、预报、决策,建模目的,了解程度,白箱,灰箱,黑箱,确定和随机,静态和动态,线性和非线性,离散和连续,返回,1/21/2026,11,例,1,一天有个年轻人来到王老板的店里买了一件礼物，这件礼物成本是,18,元，标价是,21,元。结果是这个年轻人掏出,100,元要买这件礼物。王老板当时没有零钱，用那,100,元向街坊换了,100,元的零钱，找给年轻人,79,元。但是街坊后来发现那,100,元是假钞，王老板无奈还了街坊,100,元。,现在问题是：,王老板在这次交易中到底损失了多少钱,?,数学建模示例,1/21/2026,12,例,2,某人平时下班总是按预定时间到达某处，然,然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早,了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他,的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他,比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时,间？,似乎条件不够哦。,换一种想法，问题就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍载着他开往会合地点，那么这一天他就不会提前回家了。提前的十分钟时间从何而来？,显然是由于节省了从相遇点到会合点，又从会合点返回相遇点这一段路的缘故，故由相遇点到会合点需开,5,分钟。而此人提前了三十分钟到达会合点，故相遇时他已步行了二十五分钟。,请思考一下，本题解答中隐含了哪些假设,？,1/21/2026,13,例,3,某人第一天由,A,地去,B,地，第二天由,B,地沿原路返回,A,地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。,分析,本题多少 有点象 数学中 解的存在 性条件 及证明，当,然，这里的情况要简单得多。,假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由,B,去,A,，,问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。,（,请自己据此给出严格证明）,1/21/2026,14,例,4,交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态,亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。,设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离,L,。,这就是说，在离街口距离为,L,处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图,1-4,。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。,D,L,马路的宽度,D,是容易测得 的，问题的关键在 于,L,的确定。为确定,L,，,还应当将,L,划分为两段：,L1,和,L2,，,其中,L1,是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的,反应时间,内驶过的路程 ，,L2,为刹车,制动,后车辆驶过的路程。,L1,较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间,t1,早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度,v,也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而,L1=v*t1,。,刹车距离,L2,既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（,留作习题）,。,黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出,L,应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即,T,至少应当达到,（,L+D,）,/v,。,1/21/2026,15,例,5,餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否则会烫手，但也不能太低，否则不干净。由于想节省开支，餐馆老板想了解一池热水到底可以洗多少盘子，请你帮他建模分析一下这一问题。,盘子有大小吗,?,是什么样的盘子？盘子是怎样洗的,?,不妨,假设,我们了解到：盘子大小相同，均为瓷质菜盘，洗涤时先将一叠盘子浸泡在热水中，然后 清洗。,不难看出，是水 的温度在决 定洗盘子的数量,。盘子是先用冷水洗过的，其后可能还会再用清水冲洗，更换热水并非因为水太脏了，而是因为,水不够热了,。,不妨可以提出以下,简化假设,：,（,1,）,水池、空气吸热不计，只考虑 盘子吸热，盘子的大小、材料相同,（,2,）,盘子初始温度与气温相同，洗完后的温度与水温相同,（,3,）,水池中的水量为常数，开始温度为,T1,，,最终换水时的温度为,T2,（,4,）,每个盘子的洗涤时间,T,是一个常数。（,这一假设甚至可以去掉 不要,）,根据上述简化假设，利用热量守衡定律，餐馆老板的问题就很容易回答了，当然，你还应当调查一下一池水的质量是多少，查一下瓷盘的吸热系数和质量等。,那么热水为什么会变冷呢？假如你想建一个较精细的模型，你当然应当把水池、空气等吸热的因素都考虑进去，但餐馆老板的原意只是想了解一下一池热水平均大约可以洗多少盘子，杀鸡 焉用牛刀？,可见，假设条件 的提出不 仅和你 研的,问题 有关，还和 你准备利用哪些知 识、准备建立什么样的模型以及你准备研究的深入程度有关，即在你,提出假设时，你建模的框架已经基本搭好了,。,1/21/2026,16,例,6,将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。,设砖块是均质的，长度与重量均 为,1,，其 重心在中点,1/2,砖长处，现用,归纳法,推导。,Z,n,(,n,1),n,(,n,1),由第,n,块砖受到的两个力的力矩相等，有：,1/2-,Z,n,=(,n,1),Z,n,故,Z,n,=1/(2,n,),，,从而上面,n,块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至,任意远,，这一结果多少,有点出人意料。,1/21/2026,17,例,7,某人住在某公交线附近，该公交线路为在,A,、,B,两地间运行，每隔,10,分钟,A,、,B,两地各发出一班车，此人常在离家最近的,C,点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由,B,去,A,的车，难道由,B,去,A,的车次多些吗？请你帮助他找一下原因,AB,发出车次显然是一样多的，,否则一处的车辆将会越积越多。,由于距离不同，设,A,到,C,行驶,31,分钟，,B,到,C,要行驶,30,分钟，考察一个时间长度为,10,分钟的区间，例如，可以从,A,方向来的车驶 离,C,站时开始，,在其后的,9,分钟内到达的乘客见到先来的车均为,B,开往,A,的,，仅有最后,1,分钟到达的乘客才见到由,A,来的车先到。由此可见，如果此人到,C,站等车的时间是随机的，则他先遇上,B,方向来的车的概率为,90%,。,1/21/2026,18,例,8,飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离，试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣子发射射线的强度。,1/21/2026,19,方法一,点光源发出的射线在各点处的照度与其到点光源的距离的平方成反比，即,黑匣子所在,方向,很容易确定，关键在于确定,距离,。,设在同一方向不同位置检测了两次，测得的照度分别为,I,1,和,I,2,，,两测量点间的距离为,a,，,则有,1/21/2026,20,方法二,在,方法一,中，两检测点与黑匣子 位于一直线上，这一点比较容易 做到，主要缺点是结果对照度测 量的精度要求较高，很少的误差会造成结果的很大变化，即敏感性很强，现提出另一方法，在,A,点测得黑匣子方向后，到,B,点再测方向，,AB,距离为,a,，,BAC,=,，,ABC,=,，,利用正弦定理得出,d,=,a,sin,/sin(,+,),。,需要指出的是，当黑匣子位于较远处而,又较小时，,+,可能非常接近,（,ACB,接近于,0,），而,sin,（,+,）,又恰好位于分母上，因而对结果的精确性影响也会很大，为了使结果较好，应使,a,也相对较大。,B,A,C,a,1/21/2026,21,例,9,方桌问题,将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不,允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转,，是否总能设法使其四条腿同时落地？,不附加任何条件，答案,显然 是否定的，,因此我们,假设：,（,1,）,地面为连续曲面；,（,2,）,方桌的四条腿长度相同；,（,3,）,相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的；,（,4,）,方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。,总可以使三条腿同时着地。,1/21/2026,22,现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌的四条腿分别在,A,、,B,、,C,、,D,处，,A,、,C,的初始位置在,x,轴上，而,B,、,D,则在,y,轴上，当方桌绕中 心,0,旋转时，对角线,AC,与,x,轴的夹角记为,。,容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令,f,(,),为,A,、,C,离地距离之和，,g,(,),为,B,、,D,离地距离之和，它们的值 由,唯一确定。由,假设（,1,），,f,(,),、,g,(,),均为,的连续函数。又 由,假设（,3,），,三条腿总能同时着地，故,f,(,),g,(,),=,0,必成立（,）。不妨设,f,(0),=,0,g,(0),0,（若,g,(0),也为,0,，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：,y,x,C,D,A,B,o,已知,f,(,),、,g,(,),均为,的连续函数，,f,(0),=,0,g,(0),0,且对任意,有,f,(,),g,(,),=,0,，求证存在某一,0,，使,f,(,0,),=g,(,0,),=,0,。,1/21/2026,23,（证法一）,当,=/,2,时，,AC,与,BD,互换位置，故,f,(,/,2)0,g,(,/,2),=0,。作,h(,)=,f()-g(,),，,显然，,h(,),也是,的连续函数，,h(,0,)=f(,0,)-g(,0,),0,，由连续函数的取零值定理，存在,o,，,0,o,0,g,(,/2,),=0,。令,o,=sup,|f,(,),=0,，,0,显然,0,0,，总有,0,且,0,。因为,f,(,0,+,),g,(,o,+,),=,0,，故必有,g,(,0,+,),=,0,，由,可任意小且,g,连续，可知必 有,g,(,0,),=,0,，证毕。证法二除用 到,f,、,g,的连续性外，还用到了上确界的性质。,返回,1/21/2026,24,插值与数据拟合建模,简介,多项式插值,数据拟合,建模案例,数据拟合的进一步讨论,返回,1/21/2026,25,插值与拟合,引言,在科学与工程等实际问题中，其数据模型（,由实验或测量所得到的一批离散数据,）容易得到。,那么，能否通过处理这些数据来建立连续模型呢？从而可以对模型有更全面的认识！下面我们以一维的问题来说明，,假设已经得到,的,离散数据模型,(,x,i,互异,),根据寻找策略的不同，我们有,插值问题,和,数据拟合问题,。,为了得到 的更多信息，,我们首先要确定一个,函数空间,，,按,一定准则,，在该函数空间中寻找 的,近似函数,。,1/21/2026,26,若求 满足,则,相应的问题称为,插值问题,，上述条件称为,插值条件,，,插值节点；,则,相应的问题称为,数据拟合问题,。,p,(,x,),插值函数，,若求 使得,返回,插值点；,1/21/2026,27,第一部分,多项式插值,（,Polynomial Interpolation,）,1.1,多项式插值概述,取函数空间为不超过,n,阶,的多项式集合 ，这样的插值问题称为代数,(,多项式,),插值问题，即求 ，,使得如下插值条件成立,插值多项式,定理,1,插值多项式存在并且唯一。,证：,存在性，,有,唯一解！,即,n,+1,个,插值条件可以唯一的确定一个不超过,n,阶的,插值多项式！,唯一性，,（由,n,阶,多项式至多有,n,个,零点可证结论成立！）,1/21/2026,28,显然以 作为 在,插值点,处的近似值是有误差的，记,（,多项式插值余项定理,）,定理,2,设 在 上连续，在 内存在，则 ，有,其中 且依赖于 ，,插值余项,注：,在实际计算时,插值节点应尽量选在插值点,x,的,附近,，以使,尽可能小！,#,1/21/2026,29,1.2,拉格朗日,(Lagrange),插值,定义：,设,n,次多项式,l,j,(,x,),满足,则称之为,拉格朗日插值基函数,。,利用待定系数法可得,从而可得满足插值条件的插值多项式,拉格朗日插值多项式,显然，在 上线性无关。,整 体 插 值,1/21/2026,30,线性插值,插值基函数：,插值多项式：,求满足插值条件 的插值多项式，,二次插值（抛物插值,）,求满足插值条件 的插值多项式，,插值基函数：,插值多项式：,1/21/2026,31,例1,已知数表,i,0,1,2,3,x,i,2,2.1,2.2,2.3,y,i,1.4142,1.4491,1.4832,1.5166,试用抛物插值求 的近似值。,解:,选取最靠近,2.05,的节点,x,0,x,1,x,2,为插值节点，,计算可得,#,1/21/2026,32,分 段 插 值,实例演示：,取等分节点，分别用,n,=1,2,4,6,8,10,时的多项式插值函数逼近,f,(,x,),：,作图演示如下,：,我们看到利用多项式插值函数逼近函数,f,(,x,),，,n,小不行，,n,大也不行。这种现象我们称为,龙格（,Runge,）,现象,。,如何克服,龙格（,Runge,）,现象,呢,？,1/21/2026,33,1.3,分段线性插值,将,a,b,n,等分，在每个小区间,x,i,x,i,+1,上，作线性插值,(1),(2),在每个小区间,x,i,x,i,+1,上为一个次数不高于,1,的多项式,;,分段函数,易见，,(3),可以证明，若 则,数值稳定性好,计算简单,光滑性差,从而得,1,、分段线性插值的定义,1/21/2026,34,分别用,n,=2,4,6,8,10,的分段线性差值逼近函数,f,(,x,),：,2,、数值实验,作图演示如下,：,1/21/2026,35,(1),s,(,x,),在,每个小区间,x,i,x,i,+1,上，是次数不超过,3,的多项式；,(2),(3),1.4,三次样条插值,给定：,y,=,f,(,x,),的数据,(,x,i,互异,),三次样条插值简介,确定分段函数,s,(,x,),使,满足,(1),、,(2),的函数,s,(,x,),称为,3,次样条函数；,满足,(1),、,(2),、,(3),的函数,s,(,x,),称为,3,次样条,插值,函数。,注:,插值条件,返回,1/21/2026,36,返回,1/21/2026,37,返回,1/21/2026,38,2.1,问题的提出,在实际问题中，往往会,通过实验,观测,积累了一组数据，,(,x,i,y,i,),i,=1,m,，,一般来说,m,比较大，,并且该组数据中有随机误差,，我们的任务是从这批实验数据出发，寻求一近似函数,(,x,),来,逼近这组数据后面隐藏的函数关系,y,=,f,(,x,),。,事实上，由于观测,数据带有观测误差,，对于这类问题运用插值函数来逼近,y,=,f,(,x,),往往是不适当的！,可不可以用插值函数来逼近呢？,第二部分,数据拟合,（,Data Fitting,）,1/21/2026,39,函数组 线性无关，,2.2,线性最小二乘拟合,已知一组离散数据 ，,使得,要求一个函数,显然,p,*,(,x,),可以表示成,下面考虑如何求系数 ！,称之为,线性最小二乘拟合。,1/21/2026,40,线性最小二乘拟合的求法,记,考虑多元函数,为了求得,p,*,(,x,),，,只需求多元函数 的极小值点即可！,由多元函数极值的必要条件,可得,1/21/2026,41,若记,则,有,其中,（,法方程,或,正规方程,）,容易验证,其中,注：,可以证明，当 时，法方程存在唯一解 。,1/21/2026,42,称,为,最小二乘拟合的,误差平方和,。,注：,该值越小，说明拟合效果越好。,非线性最小二乘拟合的线性化,（,1,）,（,2,）,1/21/2026,43,x,-3,-2,-1,2,4,y,14.3,8.3,4.7,8.3,22.7,例,已知数表，求其最小二乘拟合函数,(1),求形如 的拟合函数；,(2),求形如 的拟合函数；,解,(1),法方程为,1/21/2026,44,(2),x,-3,-2,-1,2,4,y,14.3,8.3,4.7,8.3,22.7,ln,y,2.6603,2.1163,1.5476,2.1163,3.1224,因为,由原数据表可得,#,1/21/2026,45,拟合函数的选择,根据观测数据所满足的有关定律；,画出观测点，根据观测点整体走势；,返回,1/21/2026,46,录像机计数器的用途,汽车刹车距离,估计水塔的水流量,返回,1/21/2026,47,问,题,在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为,4450,，问剩下的一段还能否录下,1,小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与,录像带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,录像机计数器的用途,经试验，一盘标明,180,分钟的录像带从头走到尾，时间用了,184,分，计数器读数从,0000,变到,6061,。,1/21/2026,48,录像机计数器的工作原理,主动轮,压轮,0000,左轮盘,右轮盘,磁头,计数器,录像带,录像带运动方向,录像带运动,右轮盘半径增大,;,问题分析,观察,计数器读数增长越来越慢！,计数器读数增长变慢,;,右轮转速,(,角速度,),不是常数,;,录像带运动速度,(,线速度,),是常数,.,1/21/2026,49,录像带的运动速度是常数,v,；,计数器读数,n,与右轮转数,m,成正比，记,m,=,kn,；,录像带厚度（加两圈间空隙）为常数,w,；,空右轮盘半径记作,r,；,时间,t,=0,时读数,n,=0,.,建模目的,建立,时间,t,与读数,n,之间的关系,（设,v,k,w,r,为已知参数）,模型假设,1/21/2026,50,模型建立,建立,t,与,n,的函数关系有多种方法,1.,右轮盘转第,i,圈的半径为,r,+,wi,m,圈的总长度,等于录,像,带在时间,t,内移动的长度,vt,所以,请解释,?,1/21/2026,51,2.,考察右轮盘面积的,变化，等于录像带厚度,乘以转过的长度，即,3.,考察,t,到,t+dt,录像带在,右轮盘缠绕的长度，有,模型建立,1/21/2026,52,思 考,3,种建模方法得到同一结果,模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。,思 考,1/21/2026,53,参数估计,另一种确定参数的方法,测试分析,将模型改记作,只需估计,a,b,理论上，已知,t,=184,n,=6061,再有一组,(,t,n,),数据即可,!,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据：,t,0 20 40 60 80,n,0000 1141 2019 2760 3413,t,100 120 140 160 184,n,4004 4545 5051 5525 6061,用最小二乘法可得,1/21/2026,54,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得,n=4450,时,t=116.4,分，,剩下的录像带能录,184-116.4=67.6,分钟的节目。,揭示了,“,t,与,n,之间呈二次函数关系,”,这一普遍规律，,当录像带的状态改变时，只需重新估计,a,b,即可。,返回,1/21/2026,55,汽车刹车距离,美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：,背景与问题,正常驾驶条件下,车速每增,10,英里,/,小时，,后面与前车的距离应增一个车身的长度。,实现这个规则的简便办法是,“,2,秒准则”,：,后车司机从前车经过某一标志开始默数,2,秒钟后到达同一标志，而不管车速如何,判断“,2,秒准则”与“车身”规则是否一样,?,并建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。,1/21/2026,56,问题分析,常识：刹车距离与车速有关,10,英里,/,小时,(,16,公里,/,小时,),车速下,2,秒钟行驶,29,英尺,(,9,米,),车身的平均长度,15,英尺,(=4.6,米,),“,2,秒准则”与“,10,英里,/,小时加一车身”规则不同,刹车距离,反应时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候,最大制动力与车质量成正比，使汽车作,匀减速,运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,1/21/2026,57,假 设 与 建 模,1.,刹车距离,d,等于反应距离,d,1,与制动距离,d,2,之和,2.,反应距离,d,1,与车速,v,成正比,3.,刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能的改变,;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t,1,为反应时间,且,F,与车的质量,m,成正比,1/21/2026,58,反应时间,t,1,的经验估计值为,0.75,秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.06,（,用,1,、,3,列数据,）,计算刹车距离、,刹车时间,车速,(,英里,/,小时,)(,英尺,/,秒,),实际,(,最大,),刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42,（,44,）,39.0,1.5,30,44.0,73.5,（,78,）,76.6,1.8,40,58.7,116,（,124,）,126.2,2.1,50,73.3,173,（,186,）,187.8,2.5,60,88.0,248,（,268,）,261.4,3.0,70,102.7,343,（,372,）,347.1,3.6,80,117.3,464,（,506,）,444.8,4.3,1/21/2026,59,“,2,秒准则”应修正为“,t,秒准则”,模 型,车速,(,英里,/,小时,),刹车时间,（秒）,20,1.5,30,1.8,40,2.1,50,2.5,60,3.0,70,3.6,80,4.3,车速（英里,/,小时）,010,1040,4060,6080,t,（,秒）,1,2,3,4,1/21/2026,60,反应时间,t,1,的经验估计值为,0.75,秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.0255,（,用,2,、,3,列数据,）,计算刹车距离、刹车时间,车速,(,英里,/,小时,)(,英尺,/,秒,),实际,(,最大,),刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42,（,44,）,43.9,2.25,30,44.0,73.5,（,78,）,82.5,2.79,40,58.7,116,（,124,）,132.1,3.47,50,73.3,173,（,186,）,192.2,4.32,60,88.0,248,（,268,）,263.8,5.34,70,102.7,343,（,372,）,346.5,6.49,80,117.3,464,（,506,）,439.5,7.88,返回,1/21/2026,61,更正为,返回,1/21/2026,62,问,题,估计水塔的水流量,某地区用水管理机构需要对居民的用水速度（单位时间的用水量）,和日总用水量进行估计。现有一居民区，其自来水是由一个圆柱形水塔提供，水塔高,12.2m,，,塔的直径为,17.4m,。,水塔是由水泵根据水塔中的水位自动加水，一般水泵每天工作两次，按照设计，当水塔中的水位降至最低水位，约,8.2m,时，水泵自动启动加水；当水位升高到最高水位，约,10.8m,时，水泵停止工作。,表,1,给出的是某一天的测量数据，测量了,28,个时刻的数据，但由于水泵正向水塔供水，有三个时刻无法测到水位（表中用,表示），试建立数学模型，来估计居民的用水速度和日用水量。,1/21/2026,63,表,1,水塔中水位原始数据,1/21/2026,64,分析,日用水量,用水速度,每个时刻水塔中水的体积,每个时刻水塔中水的体积？,居民的用水速的？,日用水量？,思考,数值微分,1/21/2026,65,模型假设,影响水从水塔中流出的流量的唯一因素是公众对水的传统要求,；,水塔中的水位、气候条件、温度变化等不影响水流量的大小,；,水泵充水速度恒定，且远大于水塔的水流速度,；,水塔的水流量与水泵状态独立,；,水流量曲线是一条连续光滑的曲线,；,表,1,数据是准确的,；,1/21/2026,66,表,2,水塔中水的体积,（其中,d,为,水塔中水的高度，,r,为,底面半径,）,模型建立与求解,1/21/2026,67,图,1,水塔中水体积的散点图,1/21/2026,68,图,2,水塔中水流速度的散点图,1/21/2026,69,图,3,预测水塔中未知的流速,1/21/2026,70,图,4,样条插值得到的水流速度曲线,1/21/2026,71,结果,模型检验,返回,模型稳定性分析,运用数值求积公式可得,1/21/2026,72,水流速度的求法,数,值微分,由,导数的定义,设已知 在节点 的函数值，利用所给定数据作,n,次插值多,项式 ，并取 的值作为 的近似值，这样建立的数值公式,可得,插值型求导公式,特别可以用来计算插值节点处的导数值,!,1/21/2026,73,两点插值型求导公式,三点插值型求导公式,(,i,=0,1,2),特别当插值节点为,等距节点,(,步长为,h,),时,可以得到更为简洁的求导公式：,对中点求导,对左端点求导,对右端点求导,返回,1/21/2026,74,数学模型及定义,模型参数估计,检验、预测与控制,可线性化的一元非线性回归,一元线性回归,返回,1/21/2026,75,一、数学模型及定义,例,1,测,14,名青少年的身高与腿长所得数据如下：,以身高,x,为横坐标，以腿长,y,为纵坐标将这些数据点,(,x,i,，,y,i,),在平面直角坐标系上标出。,1/21/2026,76,一元线性回归分析的,主要任务,是：,返回,定义,:,1/21/2026,77,二、模型参数估计,1,、回归系数的最小二乘估计,有,n,组独立观测值，,(x,1,y,1,),(x,2,y,2,),(,x,n,y,n,),记,使得,设,最小二乘法,就是选择,和,的估计,和,1/21/2026,78,其中,（经验）回归方程为,:,解得,或,由多元函数取得极值的必要条件得,(*),1/21/2026,79,记,称,Q,e,为,残差平方和,或,剩余平方和,.,的无偏估计,为,称,为剩余方差，它分别与,独立,;,称为,剩余标准差，,它越接近于零，说明回归方程越显著！,1/21/2026,80,由（*）式易得,返回,注：,记,则,可见,U,越大，,Q,e,越小，表示,y,与,x,的线性关系越显著。,1/21/2026,81,假设 被拒绝，则,回归显著,，认为,y,与,x,存在线性关,系，所求的线性回归方程有意义；,三、检验、预测与控制,1,、回归方程的显著性检验,（,i,）,x,对,y,没有显著影响，此时应丢掉变量,x,；,（,ii,）,x,对,y,有显著影响，但这种影响不能用线性关系来表示，应该用非线性回归；,（,iii,）除,x,之外，还有其他不可忽略的变量对,y,有显著影响，从而削弱了,x,对,y,的影响，此时应用多元线性回归模型。,否则回归不显著，,y,与,x,的关系不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义。此时，可能还有以下情况：,1/21/2026,82,故当 ，,（,）,F,检验法,注,:,以下 为显著性水平,一般取,0.01,或者,0.05,。,（,）,t,检验法,当,成立时，,其中,（,回归平方和）,拒绝,;,否则就接受,.,(,置信水平为,),故当,当 成立时，,拒绝,;,否则就接受,.,1/21/2026,83,用回归平方和在样本方差中的比值定义,（,）相关性检验,R,2,称为相关系数，来衡量,x,与,y,线性相关程度。,R,2,越大，相关性越好，,当,R,2,大于,0.8,（或,0.9,）则认为线性相关关系成立！,（总偏差平方和）,1/21/2026,84,2,、回归系数的置信区间,和,的置信水平为,的置信区间为,和,置信水平为 的置信区间分别为,1/21/2026,85,3,、预测与控制,（,1,）预测,其中 为致信水平为 的标准正态分布的临界值,即,1/21/2026,86,（,2,）控制,它是预测问题的反问题！,1/21/2026,87,再看例,1,（）：,参数估计,较小，故回归方程显著；,故回归方程为,1/21/2026,88,参数检验,(1)F,检验,(2)t,检验,(3),相关性检验,拒绝,;,拒绝,;,线性相关关系成立,!,1/21/2026,89,置信区间,返回,1/21/2026,90,四、,可线性化,的一元非线性回归,（曲线回归）,例,2,出钢时所用的盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的侵蚀，,容积不断增大,.,我们希望知道使用次数与增大的容积之间的关,系,.,对一钢包作试验，测得的数据列于下表：,散,点,图,1/21/2026,91,此即,非线性回归,或,曲线回归,问题,（,需要配曲线,）,配曲线的一般方法是：,1/21/2026,92,通常选择的六类曲线如下：,返回,1/21/2026,93,层次分析法,简介,层次分析法的基本步骤,层次分析法的广泛应用,层次分析法的若干问题,返回,参考：,姜启源，数学模型（第三版），,8.1,1/21/2026,94,简介,日常工作、生活中的决策问题涉及经济、社会等方面的因素,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,Saaty,于,1970,年代提出层次分析法,AHP,(Analytic Hierarchy Process),AHP,一种,定性与定量相结合的、系统化、层次化,的分析方法,返回,1/21/2026,95,目标层,O(,选择旅游地,),P,2,黄山,P,1,桂林,P,3,北戴河,准则层,方案层,C,3,居住,C,1,景色,C,2,费用,C,4,饮食,C,5,旅途,一,.,层次分析法的基本步骤,例,.,选择旅游地,如何在,3,个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择,.,1/21/2026,96,“,选择旅游地,”,思维过程的归纳,将决策问题分为,3,个层次：目标层,O,，,准则层,C,，,方案层,P,；,每层有若干元素，,各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。,1/21/2026,97,尺度,1 3 5 7 9,相同 稍强 强 明显强 绝对强,2 4 6 8,Saaty,等人提出,19,尺度,:,a,ij,取值,1,2,9,及其互反数,1,1/2,1/9,a,ij,=,1,1/2,1/9,的重要性与上面相反,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则,C,1,C,2,C,n,对目标,O,的重要性,心理学家认为成对比较的因素不宜超过,9,个,1/21/2026,98,成对比较阵和权向量,A,成对比较阵,A,是正互反阵,要由,A,确定,C,1,C,n,对,O,的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,一致比较,不一致,1/21/2026,99,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,满足,的,正互反阵,A,称,一致阵,.,一致阵,1/21/2026,100,A,的秩为,1,，,A,的唯一非零特征根为,n,A,的任一列向量是对应于,n,的特征向量,A,的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致,(,但在允许范围内,),的成对比较阵,A,，,建议用对应于最大特征根,的特征向量作为权向量,w,，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,1/21/2026,101,一致性检验,对,A,确定不一致的允许范围,可证：,n,阶正互反阵最大特征根,n,