第九章(15)两因素方差分析.ppt

第九章 两因素方差分析,同时考察品种,(A),与饲料,(B),对鲢鱼日增重的影响。如表,9.1,所示,.,品种设置,3,个水平，饲料设置,4,个水平，且品种的每一水平与饲料的每一个水平进行均匀搭配。,这种不同因素的水平间均匀搭配而安排的试验，称为,两因素交叉分组或两向分组的试验,。按两因素交叉分组或两向分组进行试验，所获得的资料称为,两因素交叉分组或两向分组资料,。,复因子试验的必要性,不仅能解决各因子水平间的比较问题，且能分析因子间的,互作问题,。,与同条件下的单因子试验精确度高,必须将处理组合的,SS,和,DF,进一步分解为各个因子及其各项交互作用的,SS,和,DF,，从而进行因子主效应及交互作用效应的,F,测验。,1,、,试验效应（,effect,）：,处理所产生的效果，是试验因素（饵料）对试验指标（产量）所起的增进或减退的作用。,2,、,简单效应：,某一因素在另一因素不同水平上所产生的效应不同，称为简单效应。,9.1,两因素方差分析中的几个概念,A1,A2,B1,18,24,B2,38,44,A,因素的简单效应：,在,B1,水平上：,24-18=6,在,B2,水平上：,44-38=6,A1,A2,B1,18,24,B2,38,44,3,、主效应,(main effect),：由于因素水平的改变而造成因素效应的改变，称为主效应。,A,因素的主效应：两个水平的简单效应的平均值,=,（,24-18,）,+,（,44-38,）,/2=,（,6+6,）,/2=6,B,因素的主效应：两个水平的简单效应的平均值,=,（,38-18,）,+,（,44-24,）,/2=20,互作,(interaction),效应：两个,因素,简单效应间的,平均差异,称为交互作用效应，简称互作。,互作反映因子间相互影响的大小。可用：,（,A1B1+A2B2,）,（,A1B2+A2B1,）,来,估计,=,（,A2B2,A1B2,）,-,（,A2B1-A1B1,）（,A,因素简单效应）,=,（,A2B2-A2B1,）,-,（,A1B2-A1B1,）（,B,因素简单效应）,A1,A2,B1,18,24,B2,38,44,A,的效应不依,B,的不同水平而有差异，故无交互效应。,(A,在,B1,水平的简单效应与在,B2,水平的效应相等,),A,主效应,=1/2,（,A2B2,A1B2,）,+,（,A2B1-A1B1,）,B,主效应,=1/2,（,A2B2,A2B1,）,+,（,A1B2-A1B1,）,【,例如,】,对某水稻品种进行施肥试验，,每亩施氮,10kg,，亩产量为,350kg,，,每亩施氮,15kg,，亩产量为,450kg,。,则在每亩施氮,10kg,的基础上增施,5kg,的效应即为,450,350,100kg/,亩。,例,9.1:,海带,2,2,复因子试验，施用氮（,N,）、磷（,P,）的,4,种处理组合试验结果的假定数据，以说明各种效应。,试验,水平,N0 N1,平均,N1-N0,P0 10 16 13,6,P1 18 24 21,6,平均,14 20,6,P1-P0,8,8,8,0,0,N0(,不施,N,肥,),；,N1(,施,N,肥,),；,P0(,不施,P,肥,),；,P1(,施,P,肥,),；,无互作,氮因素简单效应,主效应,N,在,P0,水平的简单效应与在,P1,水平的效应相等（,6,）,P,在,N0,水平的简单效应与在,N1,水平的效应相等（,8,）,A,在,B1,水平的简单效应与在,B2,水平的效应相等,),试验,水平,N0 N1,平均,N1-N0,P0 10 16 13,6,P1 18,28,23,10,平均,14 22,8,P1-P0,8,12,10,（,10-6,）（,12-8,）,正互作,氮因素简单效应,氮的主效应,简单效应,：在同一因素内两种水平间试验指标的相差属简单效应。,主效应,：一个因素内各简单效应的,平均数,称为主要效应。,互作效应：,两个因素简单效应间的平均差异称为交互作用效应。,磷因素简单效应,磷的主效应,试验,水平,N0 N1,平均,N1-N0,P0 10 16 13 6,P1 18,20,19 2,平均,14 18 4,P1-P0 8 4 6 -4,-4,负互作,负互作：因为氮的简单效应：施磷的比不施磷肥的低,互作显著与否关系到主效的实用性。,不显著，则各因素的效应可以累加，主效就代表了,各个简单效应。,正互作时，从各因素的最佳水平推论最优组合，,负互作，则根据互作的大小程度而有不同情况。,试验,水平,N1 N2,平均,N2-N1,P1 10 16 13 6,P2 18 24 21 6,平均,14 20 6,P2-P1 8 8 8 0,0/2=0,无互作,试验,水平,N1 N2,平均,N2-N1,P1 10 16 13 6,P2 18,28,23 10,平均,14 22 8,P2-P1 8 12 10 4,4/2=2,正互作,试验,水平,N1 N2,平均,N2-N1,P1 10 16 13 6,P2 18,20,19 2,平均,14 18 4,P2-P1 8 4 6 -4,-4/2=-2,负互作,P2,水平高,试验,水平,N1 N2,平均,N2-N1,P1 10 16 13 6,P2 18,14,19 -4,平均,14 15 1,P2-P1 8 -2 6 -10,-10/2=-5,负互作,直观图可以帮助判断因素之间是否存在交互作用。但是由于实验误差的干扰，在处理数据时只凭图像是不行的，需要经过严格的数据分析之后，才能最后断定因素之间是否存在交互作用。,两因素无重复实验设计的交互作用判断公式：课本,P171,品种,饲料,B1,B2,B3,B4,A1,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,A3,A3B1,A3B2,A3B3,A3B4,一个,34,的两向分组的试验安排,9.2,固定模型,品种,A,的某个水平如,A1,与饲料,B,的某个水平如,B2,的搭配,A1B2,称为,水平组合,。因为一个水平组合就是一种具体的试验措施，因此称为一个,处理,。在第一个处理下，若只安排一个试验单位参加试验，则称为,两因素无重复试验或两向分组无重的试验,；若至少安排两个试验单位参加试验，则称为,两因素有重复试验或两向分组有重复试验,。,总平均效应,A,因素第,i,水平的处理效应,B,因素第,j,水平的处理效应,随机误差成份,A,因素第,i,水平和,B,因素第,j,水平之间交互作用的效应,9.2.1,线性统计模型：,如果根据经验或专业知识可以判断两因素间无交互作用，也可不设重复。若因素间不存在交互作用，观察值的线性模型是：,对于固定因素,处理效应是各处理平均数距总平均数的离差,.,两因素无重复资料的方差分析,(,两向分组无重复资料的方差分析,),9.2.2,例,9.2,用,3,种不同的放养密度,A1,、,A2,、,A3,和,4,种不同的饵料,B1,、,B2,、,B3,、,B4,进行网箱养罗非鱼试验，经一定试验期的产量如表,9.2,。试做方差分析。,表,9.2,试验期间的产鱼量（,kg,）,密度,饵料,B1,B2,B3,B4,T,i.,A,1,50,47,47,53,197,49.25,A,2,63,54,57,58,232,58,A,3,52,42,41,48,183,45.75,x,.j,165,143,145,159,x,.,=612,55,47.67,48.3,53,DPS,实验统计,/,完全随机,/,二因素无重复试验统计分析,依题意,关于,A,因素,(,放养密度,),的假设是,:,H,0,:3,种密度间产鱼量无差异,即,1,=,2,=,3,=0,H,A,:3,种密度间产鱼量有差异,至少一个,i,0,关于,B,因素,(,饵料,),的假设是,:,H,0,:4,种饵料间产鱼量无差异,即,1,=,2,=,3,=0,H,A,:4,种饵料间产鱼量有差异,至少一个,j,0,利用表,9.1,资料,计算可得,:,第一步,:,假设,第二步,:F,检验,=(50+63+,+48),2,/12=612,2,/12=31212,对于固定因素,处理效应是各处理平均数距总平均数的离差,.,FAF,0.01(2,6),=10.92,P0.01,所以拒绝,A,因素的无效假设,表明,3,种放养密度间的产鱼量差异极显著,;,因为,F,0.05(3,6),=4.76F,B,F0.01(3,6),=9.78,P0.05,所以拒绝,B,因素的无效假设,表明,4,种饵料间的产鱼量有显著差异,.,计算结果列于下表,:,查表得,F,值,.,变异来源,SS,df,MS,F,密度间,318.5,2,159.25,29.11*,饵料间,114.67,3,38.22,6.99*,误差,32.83,6,5.47,总和,466,11,资料方差分析表,根据,df,e,和,k,值,查,SSR,表,9,，得出,r,a,计算最小显著极差值,R,k,(LSR),不同平均数间的比较采用不同的显著尺度,临界值,R,k,复习,:Duncan,检验（新复极差测验法）,计算平均数的标准误,k,为某两个极差间所包含的平均数个数,第三步,进行多重比较,首先计算放养密度水平,(j=3),均数的标准误和饵料水平,(i=4),均数的标准误,分别是,放养密度,饵料水平,新复极差法计算资料,R,值,6.444,4.195,5.51,3.58,3,6.128,4.047,5.24,3.46,2,k,r0.01,r0.05,放养密度的,R,值,(,标准误,=1.1696,),新复极差法计算资料,R,值,7.4,4.8,5.51,3.58,3,7.1,4.6,5.24,3.46,2,k,r0.01,r0.05,饵料水平的,R,值,(,标准误,=,1.3503,),放养密度的多重比较结果,密度（因素,a,）,平均值,差异显著性,0.01,=0.01,饵料的多重比较结果,饵料（因素,b,）,平均值,差异显著性,0.01,=0.01,结论：多重比较结果表明，从平均产鱼量来看，,A,2,与,A,1,、,A,3,的差异极显著，,A1,与,A3,无显著差异，以,A2,最好；,B1,与,B2,、,B3,差异显著,B4,与,B2,差异也显著，以,B1,最好。综合来看，以,A2,搭配,B1,的增重效果最好。,两因素有重复资料的方差分析,(,两向分组有重复资料的方差分析,),在因素间存在,交互作用,时，由于交互作用的存在，在固定模型中，每一处理都应,设置重复,。重复之间的平方和为误差平方和。有了误差平方和，才能把交互作用从总平方和中分解出来：,SS,AB,SS,T,SS,A,SS,B,SS,E,如果不设重复，则：,SS,E,SS,T,SS,A,SS,B,9.2.3,观察值的线性模型是：,例：,3,个罗非鱼品种,A1,、,A2,、,A3,和,4,种不同蛋白质水平的饵料,B1,、,B2,、,B3,、,B4,，每个处理配置两个鱼池进行试验。试验期内每池的产鱼量（,kg,）如表所示。试做方差分析。,品种,蛋白质水平,x,i.,B1,B2,B3,B4,A1,134,130.1,129.8,129,1044.0,130.5,132.7,132.8,126.7,128.9,A2,132,130.2,128.7,127.6,1037.4,129.68,133.2,129.8,128.1,127.8,A3,128.4,127.3,129.7,128.8,1028.8,128.6,129.3,128.9,127.3,129.1,X,j.,789.6,779.1,770.3,771.2,x,=3110.2,131.6,129.85,128.38,153.83,=129.59,（,1,）数据输入与数据选择：,数据输入与数据选择：,随机模型适用于水平的总体，不做多重比较；而固定模型只适用于所选定的,a,个水平。,A,因素多重比较,A3,显著低于,A1,B1,非常显著地高于,B4,、,B3,B1,非常显著地高于,B4,、,B3,因素,A,因素,B,重复,1,重复,2,重复,3,重复,4,A1,B1,41,49,23,25,A1,B2,11,13,25,24,A1,B3,6,22,26,18,A2,B1,47,59,50,40,A2,B2,43,38,33,36,A2,B3,8,22,18,14,A3,B1,43,35,53,50,A3,B2,55,38,47,44,A3,B3,30,33,26,19,P169:,存在交互作用。由于交互作用的存在，在固定模型中，每一处理都应设置重复。重复之间的平方和为误差平方和。有了误差平方和，才能把交互作用从总平方和中分解出来。,P167,例,9.1,为了从,3,种不同原料和,3,种不同发酵温度中,选出最适宜的条件,设计了一个两因素实验,并得到以下结果,.,做方差分析,.,【,例,9.3】,（略）,玉米品种与施肥二因素随机区组试验，,A,因素有,A,1,，,A,2,，,A,3,(a=3),三个品种，,B,因素有,B,1,，,B,2,，,B,3,(b=3),三个施肥水平，重复,3,次,(r=3),，小区计产面积,20m,2,，田间排列和小区产量,(kg),如图,8.1,，试作分析。,作方差分析,误差,e,2,是真正的试验误差，而误差,e,1,除含有试验误差外尚有模型误差。但如果,“,F=e,1,均方,/e,2,均方,”,不显著,，则说明模型误差不显著，这时可将,e,1,平方和与,e,2,平方和,合并,，自由度也合并，以此合并的误差作为全试验的误差，这样做一般,能提高测验的精度,。反之，若上述,F,测验呈显著，则,e,1,与,e,2,不能合并，只能用,e,2,作为测验其它效应的误差。,本例不显著，合并,A,2,B,3,10,A,1,B,2,11,A,2,B,1,19,A,2,B,3,17,A,3,B,3,9,A,2,B,2,20,A,1,B,3,12,A,3,B,1,19,A,1,B,1,17,A,2,B,2,19,A,2,B,1,13,A,2,B,3,16,A,1,B,2,14,A,1,B,3,8,A,3,B,2,8,A,1,B,1,15,A,3,B,3,8,A,3,B,1,18,A,1,B,3,8,A,3,B,3,7,A,1,B2,13,A,3,B,1,16,A,1,B,1,13,A,2,B,1,11,A,3,B,2,10,A,2,B,2,13,A,2,B,3,18,图,8.1,玉米品种与施肥随机区组试验田间排列和小区产量,将试验所得结果按处理和区组两向分组整理成表,8.2,；,T,t,A,1,B,1,17 15 13 45,B,2,11 14 13 38,B,3,12 8 8 28,A,2,B,1,19 13 11 43,B,2,20 19 13 52,B,3,17 16 18 51,A,3,B,1,19 18 16 53,B,2,10 8 10 28,B,3,9 8 7 24,T,r,134 119 109 362(T),表,8.2,图,8.1,资料处理与区组两向表,(1),结果整理,表,8.3,图,8.1,资料品种,(A),与施肥,(B),两向表,B,1,B,2,B,3,T,A,A,1,45 38 28 111,A,2,43 52 51 146,A,3,53 28 24 105,T,B,141 118 103 362,再按品种,(A),和施肥,(B),作两向分组整理成表,8.3,。,矫正数,C =T,2,/rab=362,2,/(333)=4853.48,误差,SS,e,=SS,T,-SS,r,-SS,t,=436.52-35.19-338.52=62.81,处理,SS,t,=(T,2,t,/r)-C,=(45,2,+38,2,+24,2,/3)-4853.48=338.52,区组,SS,r,=T,2,r,/(ab)-C,=(134,2,+119,2,+109,2,/(33)-4853.48=35.19,总变异,SS,T,=x,2,hij,C,=17,2,+11,2,+7,2,-4853.48=436.52,第一步、计算,C,及各种平方和,对处理,SSt,进行再分解可得：,AB,互作,SS,(AB),=SS,t,-SS,A,-SS,B,=338.52-108.96-81.41=148.15,B,因 素,SS,B,=(T,2,B,/ra)-C,=(141,2,+118,2,+103,2,)/(33)-4853.48,=81.41,A,因 素,SS,A,=T,2,A,/rb-C,=(112,2,+146,2,+105,2,)/(33)-4853.48,=108.96,变异来源,DF SS MS F F,0.05,区组间,2 35.19 17.60 4.48*3.63,处理间,8 338.52 42.32 10.77*2.59,A 2 108.96 54.48 13.86*3.63,B 2 81.41 40.71 10.36*3.63,AB 4 148.15 37.04 9.42*3.01,误差,16 62.81 3.93,总变异,26 436.52,表,8.4,玉米品种与施肥二因素试验的方差分析（区组随机，处理固定）,（,3,）列方差分析表和,F,测验,(,4),差异显著性测验,(SSR),k=2,时，,LSR,0.05,，,16,=1.98(kg),，,LSR,0.01,，,16,=2.73(kg),。,k=3,时，,LSR,0.05,，,16,=2.08(kg),，,LSR,0.01,，,16,=2.88(kg),。,以各品种的小区平均产量为单位进行新复极差测验，求得：,品种间比较,品种 小区平均产量,(kg),差异显著性,5%1%,A,2,16.22 a A,A,1,12.33 b B,A,3,11.67 b B,表,8.5,三个品种小区平均产量新复极差测验,推断,：品种,A,2,与,A,1,、,A,3,的差异达,=0.01,水平，,A,1,与,A,3,间差异不显著。因此，,A,2,品种平均产量最高，极显著地优于,A,1,、,A,3,品种。,施肥水平间比较,仍以施肥水平的小区平均产量进行比较，求得：,因施肥水平间与品种间的标准误相同，故,LSR,也一样。显著性测验结果如表,8.6,。,施肥量 小区平均产量,(kg),差异显著性,5%1%,B,1,15.67 a A,B,2,13.11 b AB,B,3,11.44 b B,表,8.6,三种施肥量小区平均产量间差异显著性测验,推断,：分析表明施,B,1,水平的肥量，各品种的平均产量最高，显著高于,B,2,、,B,3,，并与,B,3,差异达极显著。,水,平组合间的比较,AB,的,F,测验显著、说明不同品种要求的施肥量是不相同的。因此，还需要比较两因素水平组合之间的差异显著性。简便而常用的方法是对,A,各水平下,B,间,(,或,B,各水平下,A,间,),作多重比较。,各品种在不同施肥水平下的小区平均产量比较,对各,Ai,，算得,AB,的标准误为,k=2,LSR,0.05,16,=3.44(kg),，,LSR,0.01,16,=4.73(kg),。,k=3,LSR,0.05,16,=3.61(kg),，,LSR,0.01,16,=4.97(kg),。,施肥 平均,(kg),差异显著性,水平 产量,5%1%,B,1,15.00 a A,B,2,12.67 ab AB,B,3,9.3 b B,表,8.7,各品种在不同施肥水平下的差异显著性,施肥 平均,(kg),差异显著性,水平 产量,5%1%,B,2,17.33 a A,B,3,17.00 a A,B,1,14.33 a A,A2,品种,A1,品种,比较结果列于表,8.7,，,施肥 平均,(kg),差异显著性,水平 产量,5%1%,B,1,17.67 a A,B,2,9.33 b B,B,3,8.00 b B,A3,品种,从表,8.7,可看出,A,1,品种以,B,1,施肥量产量最高，它与,B,2,无显著差异，但与,B,3,差异极显著；,A,2,品种以,B,2,施肥量产量最高，但与,B,3,、,B,1,差异不显著；,A,3,品种以,B,1,施肥量最优，并与,B,2,、,B,3,有极显著差异。,K 2 3 4 5 6 7 8 9,SSR,0.05,16,3.00 3.15 3.23 3.30 3.34 3.37 3.39 3.41,SSR,0.01,16,4.13 4.34 4.45 4.54 4.60 4.67 4.72 4.76,LSR,0.05,3.44 3.61 3.70 3.78 3.82 3.86 3.88 3.90,LSR,0.01,4.73 4.97 5.10 5.20 5.27 5.35 5.40 5.45,另一种方法是直接比较全部九个处理的差异显著性,新复极差法的显著标准,比较标准如何计算？因为两个因素的比较标准算法不同。,MSE/,处理 小区平均产量 差异显著性,0.05 0.01,A,3,B,1,17.67 a A,A,2,B,2,17.33 a A,A,2,B,3,17.00 a A,A,1,B,1,15.00 ab A,A,2,B,1,14.33 ab A,A,1,B,2,12.67 bc AB,A,3,B,2,9.33 cd B,A,1,B,3,9.33 cd B,A,3,B,3,8.00 d B,9,个处理间的差异显著性（,SSR,）,(5),试验结论,参试,品种水平间有显著差异,:,以,A,2,平均产量最高，与,A,1,，,A,3,均有极显著差异。,施肥量水平间有显著差异,:,以,B,1,产量为最高，与,B,2,、,B,3,有显著差异，并与,B,3,达极显著差异。,品种与施肥量互作显著,:,A,1,，,A,3,品种应取,B,1,施肥量为优，,A,2,品种在,3,种施肥量下产量差异不显著。,交互作用的判断,为确定因素间是否存在交互作用，可以用由,Tukey,所提供的一种方法做断。将残余项平方和（,SS,T,SS,A,SS,B,）分解为具,1,自由度的非累加（交互作用）的成分和具,(a-1)(b-1)-1,自由度的误差成分。公式为：,FF,0.05,因此没有充分根据说明数据间存在交互作用。,