2025年初中数学试卷二元一次方程组易错压轴解答题题分类汇编及答案.doc

初中数学试卷二元一次方程组易错压轴解答题题分类汇编(及答案)

一、二元一次方程组易错压轴解答题
1．某商场经销A，B两款商品，若买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元.
（1）求A、B两款商品单价；
（2）若对A、B两款商品按相似折扣进行销售，某顾客发现用640元购置A商品数量比用224元购置B商品数量少20件，求对A、B两款商品进行了几折销售？
（3）若对A商品进行5折销售，B商品进行8折销售，某顾客同步购置A、B两种商品若干件，恰好用完49.6元，问该顾客同步购置A、B两款商品各几件？
2．已知有关x，y方程 （m，n为实数）
（1）若m+4n=5，试探究方程组解x，y之间关系
（2）若方程组解满足2x+3y=0，求分式 值.
3．已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨某企业既有31吨货物，计划同步租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且每辆车恰好装满货物．根据以上信息解答下列问题：
（1）1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该企业设计共有几种租车方案？
4．已知有关x ， y方程满足方程组 ．
（1）若x﹣y=2，求m值；
（2）若x ， y ， m均为非负数，求m取值范围，并化简式子|m﹣3|+|m﹣4|；
（3）在（2）条件下求s=2x﹣3y+m最小值及最大值．
5．王大厨去超市采购鸡蛋超市里鸡蛋有A，B两种包装，其中各鸡蛋品质相似，且只能整盒购置，商品信息如下：

A包装盒
B包装盒
每盒鸡蛋个数(个)
3
8
每盒价格(元)
5
11
（1）若王大厨购置A包装x盒，B包装y盒
①则共买鸡蛋________个，需付________元(用含x，y代数式表达)
②若王大厨买了AB两种包装共15盒，一共买到90个鸡蛋，请问王大厨花了多少钱? ________
（2）①若王大厨恰好买了100个鸡蛋，则他至少需要花________元。
②若王大厨恰好花了180元，则他最多可买到鸡蛋________个。
6．某电器超市销售每台进价分别为160元、120元A、B两种型号电风扇，如表是近两周销售状况：
销售时段
销售数量
销售收入
A种型号
B种型号
第一周
3台
4台
1200元
第二周
5台
6台
1900元
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)
（1）求A、B两种型号电风扇销售单价；
（2）若超市准备用不多于7500元金额再采购这两种型号电风扇共50台，求A种型号电风扇最多能采购多少台?
（3）在(2)条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元目?若能，请给出对应采购方案；若不能，请阐明理由。
7．如图，长青农产品加工厂与 A，B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A 地购置一批原料甲运回工厂，通过加工后制成产品乙运到 B 地，其中原料甲和产品乙重量都是正整数.
已知铁路运价为 2 元/（吨·千米），公路运价为 8 元/（吨·千米）.

（1）若由 A 到 B 两次运送中，原料甲比产品乙多 9 吨，工厂计划支出铁路运费超 过 5700 元，公路运费不超过 9680 元.问购置原料甲有哪几种方案，分别是多少吨？
（2）由于国家出台惠农政策，对运送农产品车辆免收高速通行费，并予以一定 财政补助，综合惠农政策后公路运送价格下降 m（ 0 < m < 4 且 m 为整数）元， 若由 A 到 B 两次运送中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元，求 m 值.
8．在直角坐标系中，已知点A，B坐标是（a，0），（b，0）．a，b满足方程组 ，C为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．
（1）求A，B，C三点坐标；
（2）与否存在点P（t，t），使S△PAB= S△ABC？若存在，祈求出P点坐标；若不存在，请阐明理由．
9．假如A ， B都是由几种不一样整数构成集合，由属于A又属于B所有整数构成集合叫做A ， B交集，记作A∩B ． 例如：若A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3}；若A＝{0，﹣62，37，2}，B＝{2，﹣1，37，﹣5，0，19}，则A∩B＝{37，0，2}．
（1）已知C＝{4，3}，D＝{4，5，6}，则C∩D＝{________}；
（2）已知E＝{1，m ， 2}，F＝{6，7}，且E∩F＝{m}，则m＝________；
（3）已知P＝{2m+1，2m﹣1}，Q＝{n ， n+2，n+4}，且P∩Q＝{m ， n}，假如有关x不等式组 ，恰好有个整数解，求a取值范围．
10．定义：对任意一种两位数 ，假如 满足个位数字与十位数字互不相似，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”．将一种“迥异数”个位数字与十位数字对调后得到一种新两位数，把这个新两位数与原两位数和与 商记为 ．
例如： ，对调个位数字与十位数字得到新两位数 ，新两位数与原两位数和为 ，和与 商为 ，因此 ．
根据以上定义，回答问题：
（1）填空：①下列两位数： ， ， 中，“迥异数”为________．
②计算： ________， ________．
（2）假如一种“迥异数” 十位数字是 ，个位数字是 ，且 ；另一种“迥异数” 十位数字是 ，个位数字是 ，且 ，祈求出“迥异数” 和 ．
（3）假如一种“迥异数” 十位数字是 ，个位数字是 ，另一种“迥异数” 十位数字是 ，个位数字是 ，且满足 ，请直接写出满足条件所有 值________．
11．如图，在平面直角坐标系 中，把一种点 横、纵坐标都乘以同一种实数 ，然后将得到点先向右平移 个单位，再向上平移 个单位 ，得到点

（1）若 ， ， ， ，则点 坐标是________；
（2）对正方形 及其内部每个点进行上述操作，得到正方形 及其内部点，其中点 对应点分别为 ．求 ；
（3）在（2）条件下，已知正方形 内部一种点 通过上述操作后得到对应点 与点 重叠，求点 坐标．
12．一种长方形长和宽分别为x厘米和y厘米（x，y为正整数），假如将长方形长和宽各增长5厘米得到新长方形，面积记为 ，将长方形长和宽各减少2厘米得到新长方形，面积记为 ．
（1）请阐明： 与 差一定是7倍数．
（2）假如 比 大196 ，求原长方形周长．
（3）假如一种面积为 长方形和原长方形可以没有缝隙没有重叠拼成一种新长方形，请找出x与y关系，并阐明理由．

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一、二元一次方程组易错压轴解答题

1．（1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元.
根据题意，得： {20x+10y=36030x+5y=500
解得 {x=16y=4
因此A商品单价是16元，B商品单价是4元.
解析： （1）解：设A商品单价为x元，B商品单价为y元.
根据题意，得：
解得
因此A商品单价是16元，B商品单价是4元.
（2）解：设打折后A、B两款商品进价格分别为16a和4a，则

解得a=0.8
经检查，a=0.8为原方程解且符合题意
因此A、B两款商品进行了8折销售
（3）解：设顾客购置A商品m件，B商品n件.则

∵m、n都为正整数
∴①m=1,n=13
②m=3,n=8
③m=5,n=3
因此顾客购置A商品1件，B商品13件；或A商品3件，B商品8件；A商品5件，B商品3件.
【解析】【分析】（1）设A商品单价为x元，B商品单价为y元，根据题中“买20件A商品和10件B商品用了360元；买30件A商品和5件B商品用了500元”可列出有关x，y二元一次方程组，求解即可；
（2）设打折后A、B两款商品进价格分别为16a和4a，根据题中“用640元购置A商品数量比用224元购置B商品数量少20件”可列出有关a分式方程，求解即可；
（3）设顾客购置A商品m件，B商品n件，根据“同步购置A、B两种商品若干件，恰好用完49.6元”可得有关m，n二元一次方程，由m，n都为正整数讨论其所有也许性即可.
2．（1）解：方程组
由①-2×②得：3m+12n=-3x+3y+15，即m+4n=-x+y+5，
将m+4n=5代入得：y=x，
∴方程组解x，y之间关系为y=x;

（2）解： =
解析： （1）解：方程组
由①-2×②得：3m+12n=-3x+3y+15，即m+4n=-x+y+5，
将m+4n=5代入得：y=x，
∴方程组解x，y之间关系为y=x;
（2）解： = ，
①+②得：3x=3m-6n+9，即：x=m-2n+3，
将x=m-2n+3代入①中，得：y=2m+2n-2，
∵2x+3y=0，
∴2（m-2n+3）+3(2m+2n-2)=0
∴n=-4m，
∴原式= ，
【解析】【分析】（1）由 由①-2×② 将方程组变形整理得：3m+12n=-3x+3y+15， 即m+4n=-x+y+5， 将m+4n=5代入即可得到x、y之间关系式；
（2）先化简分式，再解方程组，将用m、n、表达x、y代入2x+3y=0中，得到m、n关系式，然后裔入化简式子中求解即可.
3．（1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨
根据题意，得： {2x+y=10x+2y=11 ，
解方程组得： {x=3y=4 ，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一
解析： （1）解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x吨、y吨
根据题意，得： ，
解方程组得： ，
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3吨、4吨.
（2）解：根据题意，得：
∴ ，
∵a，b都是正整数
∴ ， ，
∴共有3种租车方案：
方案一：A型车9辆，B型车1辆；
方案二：A型车9辆，B型车1辆；
方案三：A型车9辆，B型车1辆；
【解析】【分析】（1）此题关键已知条件：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和辆B型车装满货物一次可运货11吨，这就是两个等量关系，设未知数，列方程组求出方程组解即可。
（2）此题等量关系为：租用A型车数量×1辆A型车一次运货数量+租用B型车数量×1辆B型车一次运货数量=31，列出有关a，b二元一次方程，求出此二元一次方程整数解，即可得到租车方案。
4．（1）解： ，
①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，
把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，
把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=
解析： （1）解： ，
①﹣②×2得：﹣x=﹣m+3，即x=m﹣3，
把x=m﹣3代入②得：2m﹣6+y=m﹣1，即y=﹣m+5，
把x=m﹣3，y=﹣m+5代入x﹣y=2中，得：m﹣3+m﹣5=2，即m=5；
（2）解：由题意得： ，
解得：3≤m≤5，
当3≤m≤4时，
m﹣3≥0，m﹣4≤0，
则原式=m﹣3+4﹣m=1；
当4<m≤5
m﹣3≥0，m﹣4≥0，
则原式=m﹣3+m﹣4=2m﹣7；
（3）解：根据题意得：s=2m﹣6+3m﹣15+m=6m﹣21，
∵3≤m≤5，
∴当m=3时，s=﹣3；m=5时，s=9，
则s最小值为﹣3，最大值为9．
【解析】【分析】（1）把m看做已知数表达出方程组解，得到x与y，代入x-y=2求出m值即可；（2）根据x，y为非负数求出m范围，判断出绝对值里边式子正负，运用绝对值代数意义化简，计算即可得到成果；（3）把表达出x与y代入s，运用一次函数性质求出最大值与最小值即可．
5．（1）(3x+8y)；(5x+11y)；解：可得方程组： {x+y=153x+8y=90

解得 {x=6y=9
∴5x+11y=5×6+11×9=129(元)
答：王大厨付了129元

（2
解析： （1）(3x+8y)；(5x+11y)；解：可得方程组： 
解得 
∴5x+11y=5×6+11×9=129(元)
答：王大厨付了129元
（2）141；129
【解析】【解答】解：（3） ① ∵A包装每个鸡蛋价格= ， B包装每个鸡蛋价格= ， ∵<,
∴A包装数量越少，花钱越少；
设需花钱W元，则W= 5x+11y ， 3x+8y =100，
∴y=,
当x=0、1、2、3时，y不为整数，x=4时，y=11,
∴W=5x+11y=4×5+11×11=141（元）；
② 设最多买鸡蛋Z个，Z=3x+8y,  5x+11y=180，
由题（1）分析可知，B包装鸡蛋廉价，A包装鸡蛋较贵，
∴y=,
当x=0、1、2时，y不为整数，当x=3时，y=15,
∴Z=3x+8y=3×3+8×15=129（个）
【分析】（1） 设王大厨购置A包装x盒，B包装y盒 ，则：
购置鸡蛋总数量=A包装盒数量×每盒A包装盒鸡蛋个数+B包装盒数量×每盒B包装盒鸡蛋个数；
需付金额=A包装盒数量×A包装盒鸡蛋价格+B包装盒数量×B包装盒鸡蛋价格；
（2）根据两种包装盒数量之和为15盒，购置鸡蛋总数量=A包装盒数量×每盒A包装盒鸡蛋个数+B包装盒数量×每盒B包装盒鸡蛋个数，分别列方程构成方程组，求出x,y，再把x、y代入题（1）金额体现式即可求出王大厨花了多少钱；
（3）先分别求出A、B包装每个鸡蛋价格，比较价格， ① 先确定数量，由于x越小，花钱越少，x从0开始试值，一直试到y为整数为止。求出x、y，则所需花费可求。 ② 先确定金额，同样由于x越小，花钱越少，x从0开始试值，一直试到y为整数为止。求出x、y，则鸡蛋数量可求。
6．（1）解：设A、B两种型号电风扇销售单价分别为x元、y元，
依题意得： {3x+4y=1x+6y=1900
解得 {x=200y=150
答：A、B两种型号电风扇销售单价分别
解析： （1）解：设A、B两种型号电风扇销售单价分别为x元、y元，
依题意得：
解得
答：A、B两种型号电风扇销售单价分别为200元、150元
（2）解：设釆购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇(50-a)台
依题意得：160a+120(50-a)≤7500，
解得：a≤37
答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元
（3）解：根据题意得：
(200-160)a+(150-120)(50-a)>1850
解得：a>35，
∵a≤37 ，且a应为整数，
∴在(2)条件下超市能实现利润超过1850元目．对应方案有两种：
当a=36时，采购A种型号电风扇36台，B种型号电风扇14台；
当a=37时，采购A种型号电风扇37台，B种型号电风扇13台
【解析】【分析】 （1）设A、B两种型号电风扇销售单价分别为x元、y元，根据第一周和第二周销售状况分别列方程，构成二元一次方程组，解出x、y值即可。（销售收入=A种型号销售数量×A种型号单价+B种型号销售数量×B种型号单价）；
（2） 设釆购A种型号电风扇a台， 根据购置金额不超过7500元列一元一次不等式，解不等式，在a取值范围内取最大整数即可。（购置金额=A种型号进价×A种型号数量+B种型号进价×B种型号数量）；
（3）根据超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元列一元一次不等式，解不等式，求出a范围，结合题（2）a范围，得出a也许取值，根据a取值分别列出可行方案。 
7．（1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，11.8＜x≤14 57
∵x为整数，
∴x=12，13，14，
∴x+9为21，22，23，
∴购置原料甲有三种方案，分
解析： （1）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得，11.8＜x≤14
∵x为整数，
∴x=12，13，14，
∴x+9为21，22，23，
∴购置原料甲有三种方案，分别是21吨、22吨、23吨；
（2）解：设运送乙产品x吨，则运送甲产品（x+9）吨，
，
解得， ，
答：m值是3.
【解析】【分析】（1）根据 工厂计划支出铁路运费超 过 5700 元，公路运费不超过 9680 元 列出对应不等式组，从而可以求得x取值范围，本题得以处理；
（2）根据 由 A 到 B 两次运送中，铁路运费为 5760 元，公路运费为 5100 元得到对应方程组，从而可以求得m值.
8．（1）解：由方程组 {2a+b=53a-2b=-11 ，
解得 {a=-3b=1 ，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，
∴ 12 AB•OC=6，
解析： （1）解：由方程组 ，
解得 ，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∵c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6，
∴ AB•OC=6，解得：OC=3
∴C（0，3）．
（2）解：存在．
理由：∵P（t，t），且S△PAB= S△ABC ，
∴ ×4×|t|= ×6，
解得t=±1，
∴P（1，1）或（﹣1，﹣1）．
【解析】【分析】（1）解出方程组即可得届时点A，B坐标，运用S△ABC=6，求出点C坐标；（2）运用S△PAB= S△ABC求出点P坐标即可．
9．（1）4
（2）6或7
（3）解：∵P={2m+1，2m-1}，Q={n，n+2，n+4}，且P∩Q={m，n}，
∴① {2m+1=n2m-1=m 或② {2m-1=n2m+1=m ，
解析： （1）4
（2）6或7
（3）解：∵P={2m+1，2m-1}，Q={n，n+2，n+4}，且P∩Q={m，n}，
∴① 或② ，
由①得 ，
∵n+2=5≠1，n+4=7≠1，
故①不合题意；
由②得 ，
∵n+2=-1=m，
∴ 符合题意，
故m=-1，n=-3，
∵有关x不等式组 ，恰好有个整数解，
∴＜a≤．
【解析】【解答】解：（1）∵C＝{4，3}，D＝{4，5，6}，
∴C∩D═{4}；
故答案为4；（2）∴E＝{1，m ， 2}，F＝{6，7}，且E∩F＝{m}，
∴m＝6或7，
故答案为6或7；
【分析】（1）直接根据交集定义求得即可；（2）直接根据交集定义即可求得；（3）根据交集定义得出m ， n值，然后根据不等式组整数解即可得出有关a不等式组，求出即可．
10．（1）21；8；m+n
（2）解：∵ f(10m+n)=m+n ，且
∴
∴ {k=3m=2
∴ ；

（3）5或7
【解析】【解答】解:（1）①∵对任意一种两位数a，假如
解析： （1）21；8；m+n
（2）解：∵ ，且
∴
∴
∴ ；
（3）5或7
【解析】【解答】解:（1）①∵对任意一种两位数a，假如a满足个位数字与十位数字互不相似，且都不为零，那么称这个两位数为“迥异数”
∴“迥异数”为21；
② ；（3）∵
∴ ，解得x<8
∵x−3>0，x−4>0
∴x>4
∴4<x<8，且x为正整数
∴x=5，6，7
当x=5时，m=52，n=12，
当x=6时，m=63，n=22(不合题意，舍去)，
当x=7时，m=74，n=32，
综上所述：x为5或7.
【分析】（1）①由“迥异数”定义可得；②根据定义计算可得；（2）由 ，可求k值，即可求b；（3）根据题意可列出不等式，可求出5<x<9，即可求x值.
11．（1）
（2）解：根据题意得：

解得 {a=12m=12n=2
即 a=12 ， m=12 ， n=2 ；

（3）解：设点 F 坐标为 (x,y) ，根据题意得
{12x+1
解析： （1）
（2）解：根据题意得：

解得
即 ， ， ；
（3）解：设点 坐标为 ，根据题意得

解得
∴ 坐标为 ．
【解析】【解答】解：（1）∵ ， ， ， ，
∴
∴
故答案为： ；
【分析】（1）根据题意和平移性质求点 坐标；（2）由正方形性质，结合题意列方程组求解；（3）设点 坐标为 ，根据平移规律列方程组求解．
12．（1）解： S1=(x+5)(y+5)=xy+5(x+y)+25 ，
，
∴
=7(x+y)+21
=7(x+y+3)
∴ S1 与 S2 差一定是7倍数

（2）解：由题意得
解析： （1）解： ，
，
∴

∴ 与 差一定是7倍数
（2）解：由题意得 ，即
∴ ，
∴ ，
∴原长方形周长为50cm．
（3）解：由题意知两个长方形必须有一条边相等，则只能面积为 长方形宽和原长方形长相等，即y＋5＝x，即x－y＝5
【解析】【分析】（1）根据长方形面积公式结合题意分别表达S1 ， S2代数式，再求出S1-S2代数式为7（x+y+3），由此即可得证.
（2）由（1）中S1 ， S2代数式，根据题意列出方程7（x+y+3）=196，解之即可得出x+y=25，由长方形周长公式即可求得答案.
（3）根据题意可得 面积为 长方形宽和原长方形长相等， 即 y＋5＝x.