初中数学试卷分类汇编幂的运算易错压轴解答题及答案50.doc

初中数学试卷分类汇编幂运算易错压轴解答题(及答案)50

一、幂运算易错压轴解答题
1．阅读如下材料：
对数创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J.Nplcr,1550-16）,纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr,1707-1783年）才发现指数与对数之间联络.
对数定义：一般地，若 ＝N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N对数，记作x＝logaN,例如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log525,可以转化为指数式52＝25.
我们根据对数定义可得到对数一种性质：
loga（M•N）＝logaM+logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),理由如下：
设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,
∴M•N＝am•an＝am+n,由对数定义得m+n＝loga（M•N）
又∵m+n＝logaM+logaN
∴loga（M•N）＝logaM+logaN
根据阅读材料，处理如下问题：
（1）将指数式34＝81转化为对数式________；
（2）求证：loga ＝logaM－logaN(a>0,a≠1,M>0,N>0),
（3）拓展运用：计算log69+log68－log62＝________.
2．化简下列多项式：
（1）
（2）
（3）若 ，求 值.
（4）先化简，再求值：(2x﹣1)2﹣(3x+1)(3x﹣1)+5x(x﹣1)，其中x=﹣2．
3．计算：
（1） =________．
（2） =________．
4．已知 ，  .
（1）填空： =________； =________.
（2）求m与n数量关系.
5．规定两数a，b之间一种运算，记作（a，b）：假如ac=b，那么（a，b）=c．
例如：由于23=8，因此（2，8）=3．
（1）根据上述规定，填空：
（3，27）=________，（5，1）=________，（2， ）=________．

（2）小明在研究这种运算时发现一种现象：（3n ， 4n）=（3，4），小明给出了如下证明：
设（3n ， 4n）=x，则（3n）x=4n ， 即（3x）n=4n
因此3x=4，即（3，4）=x，
因此（3n ， 4n）=（3，4）．
请你尝试运用这种措施证明下面这个等式：（3，4）+（3，5）=（3，20）
6．若am=an（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m=n．你能运用上面结论处理下面两个问题吗？
（1）若2×2x=8，求x值；
（2）若（9x）2=38 ， 求x值．
7．综合题      

（1）已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay值；
（2）已知10α=5，10β=6，求102α+2β值．

8．阅读理解：
乘方定义可知： （ 个 相乘）．观测下列算式回答问题：
（7个3相乘）
（7个4相乘）
（7个5相乘）
（1） ________；
（2） ________；
（3）计算： ．
9．已知am=2，an=4，求下列各式值
（1）am+n
（2）a3m+2n ．
10．计算
（1）|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
（2）（﹣a2）3﹣6a2•a4
（3）3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
（4）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4 ．
11．一般地，n个相似因数a相乘a•a•…•a，记为an ， 如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b对数，记为lognb（即lognb）．如34=81，则4叫做以3为底81对数，记为log381（即log381=4）．
（1）计算下列各对数值：log24=________；log216=________；log264=________．
（2）观测（1）中三数4、16、64之间满足怎样关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样关系式；
（3）由（2）成果，你能归纳出一种一般性结论吗？
（4）根据幂运算法则：an•am=an+m以及对数含义阐明上述结论．
12．先阅读下列材料，再解答背面问题．

材料：一般地，n个相似因数相乘， 记为an ， 如23=8，此时3叫做以2为底8对数，记为log（即=3）
一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b对数，记为（即）．如34=81，4叫做以3为底81对数，记为 ．
问题：
（1）计算如下各对数值：=________ ；=________ ；=________ ．

（2）观测（Ⅰ）中三数4、16、64之间满足怎样关系？、、之间又满足怎样关系？

（3）由（2）成果，你能归纳出一种一般性结论吗？

+=________ （a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0）
（4）根据幂运算法则am•an=am+n以及对数含义证明上述结论．

【参照答案】***试卷处理标识，请不要删除

一、幂运算易错压轴解答题

1．（1）4=log381（或log381=4）
（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,
∴ MN ＝ aman ＝am－n,由对数定义得m－n＝loga MN
解析： （1）4=log381（或log381=4）
（2）证明：设logaM＝m,logaN＝n,则M＝am,N＝an,
∴ ＝ ＝am－n,由对数定义得m－n＝loga
又∵m－n＝logaM－logaN
∴loga ＝logaM－logaN
（3）2
【解析】【解答】（1）由题意可得，指数式34=81写成对数式为：4=log381 ， 故答案为： 4=log381（或log381=4） 。
（3）解： log69+log68－log62 =log6(9×8÷2）=log636=2.
【分析】（1）根据对数概念，即可将指数式改写成对数式；
（2） 设logaM＝m,logaN＝n,根据对数定义可表达为指数式为:M＝am,N＝an, 然后裔入 按同底数幂除法法则算出成果，再根据题干中所给对数定义及公式即可得出结论；
（3） 根据公式loga（M•N）＝logaM+logaN 及 loga ＝logaM－logaN 逆用即可即可将式子log69+log68－log62表达为log6(9×8÷2），从而根据对数定义算出答案。
2．（1）解： =
（2）解：原式=
（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=
（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣
解析： （1）解： =
（2）解：原式=
（3）解：∵2x+5y=3, ∴原式=
（4）解：（2x﹣1）2﹣（3x+1）（3x﹣1）+5x（x﹣1）=4x2﹣4x+1﹣9x2+1+5x2﹣5x=﹣9x+2，
当x=﹣2时，原式=﹣9×（﹣2）+2=20．
【解析】【分析】（1）运用多项式乘以多项式，完全平方公式将多项式展开、然后去括号、合并即可.
（2）运用平方差公式，完全平方公式去括号，然后合并即可.
（3）根据幂乘方性质，将原式变形，然后整体代入计算即可.
（4）运用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式将原式展开并去括号，合并即化为最简，然后将x值代入计算即可.
3．（1）(x-y)5
（2）
【解析】【解答】（1）原式= = ；
（2）原式= = ．
故答案为： ．
【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；
（2）将多
解析： （1）
（2）
【解析】【解答】（1）原式= = ；
（2）原式= = ．
故答案为： ．
【分析】（1）根据同底幂相乘，底数不变，指数相加计算即可；
（2）将多项式每一项分别除以2x2即可.
4．（1）16；4
（2）解：∵ am=8 ， an=2
 ∴ am=23=(an)3=a3n
∴m=3n
【解析】【解答】解：（1） am+n =am×an=16； =am÷an=4；
解析： （1）16；4
（2）解：∵ ，
 ∴
∴m=3n
【解析】【解答】解：（1） =am×an=16； =am÷an=4；
【分析】同底数幂乘法，底数不变，指数相加。同底数幂除法，底数不变指数相减。求数量关系只需要化为同底数幂
5．（1）3；0；﹣2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，
则3x=4，3y=5，
∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【
解析： （1）3；0；﹣2
（2）解：设（3，4）=x，（3，5）=y，
则3x=4，3y=5，
∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，
∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【解析】【解答】解：（1）∵33=27，
∴（3，27）=3；
∵50=1，
∴（5，1）=0；
∵2﹣2= ，
∴（2， ）=﹣2；
故答案为：3，0，﹣2．
【分析】（1）根据定义新运算，可得出对应c值。
（2）根据小明新发现，运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可求证。
6．（1）解：原方程等价于
2x+1=23 ，
x+1=3，
解得x=2

（2）解：原方程等价于
34x=38 ，
4x=8，
解得x=2

【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘，
解析： （1）解：原方程等价于
2x+1=23 ，
x+1=3，
解得x=2
（2）解：原方程等价于
34x=38 ，
4x=8，
解得x=2
【解析】【分析】（1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得出x值。
（2）根据幂乘方公式（am)n=amn ， 可得出x值。
7．（1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，
∴ay=5，
∴ax+ay=5+5=10

（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．

【解析】【分析
解析： （1）解：∵ax+y=ax•ay=25，ax=5，
∴ay=5，
∴ax+ay=5+5=10
（2）解： 102α+2β=（10α）2•（10β）2=52×62=900．
【解析】【分析】（1）逆用同底数幂乘法法则得到ax+y=ax•ay ， 从而可求得ax值，然后裔入求解即可；
（2）先求得102α和102β值，然后根据同底数幂乘法法则得到 102α+2β=（10α）2•（10β）2 ， 最终，将102α和102β值代入求解即可.
8．（1）7
（2）m7
（3）解：原式=（-2）+ ，
             =（-2）4033 ，
            =-24033.

【解析】【
解析： （1）
（2）
（3）解：原式=（-2）+ ，
             =（-2）4033 ，
            =-24033.
【解析】【解答】解：（1）原式=2+5 ，    
                                   =7.
（2）原式=m2+5 ，
                =m7.
【分析】（1）根据同底数幂乘法公式即可得出答案.
（2）根据同底数幂乘法公式即可得出答案.
（3）根据同底数幂乘法公式即可得出答案.
9．（1）解：∵am=2，an=4，
∴am+n=am×an=2×4=8

（2）解：∵am=2，an=4，
∴a3m+2n=（am）3×（an）2=8×16=128
【解析】【分析】（1）利
解析： （1）解：∵am=2，an=4，
∴am+n=am×an=2×4=8
（2）解：∵am=2，an=4，
∴a3m+2n=（am）3×（an）2=8×16=128
【解析】【分析】（1）运用同底数幂乘法运算法则求出即可；（2）运用同底数幂乘法运算法则结合幂乘方运算法则求出即可．
10．（1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ 13 ）﹣1
=1﹣8+1﹣3
=﹣9

（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4
=﹣a6﹣6a6
=﹣7a6

（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（
解析： （1）解：|﹣1|+（﹣2）3+（7﹣π）0﹣（ ）﹣1
=1﹣8+1﹣3
=﹣9
（2）解：（﹣a2）3﹣6a2•a4
=﹣a6﹣6a6
=﹣7a6
（3）解：3x﹣2（x﹣1）﹣3（x+1）
=3x﹣2x+2﹣3x﹣3
=﹣2x﹣1
（4）解：（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4
=m8+m8+m8
=3m8
【解析】【分析】（1）直接运用绝对值性质以及结合零指数幂性质和负整数指数幂性质化简求出答案；（2）直接运用幂乘方运算法则以及同底数幂乘法运算法则分别化简求出答案；（3）直接运用单项式乘以多项式运算法则化简求出答案；（4）直接运用幂乘方运算法则化简求出答案．
11．（1）2；4；6
（2）解：∵4×16=64，
∴log24+log216=log264

（3）解：logaM+logaN=logaMN
（4）解：设M=am ， N=an ，
∵
解析： （1）2；4；6
（2）解：∵4×16=64，
∴log24+log216=log264
（3）解：logaM+logaN=logaMN
（4）解：设M=am ， N=an ，
∵ =m， =n，
=m+n，
∴ + = ，
∴ + =
【解析】【解答】解：（1）log24=2；log216=4；log264=6，
故答案为：2；4；6；
【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观测可得：三数4，16，64之间满足关系式为：log24+log216=log264．（3）通过度析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M=am ， N=an ， 再根据幂运算法则：an•am=an+m以及对数含义证明结论．
12．（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，log24+log216=log264​；

（3）logaMN
（4）证明：设logaM=m，logaN=n，

则M=am ， N=an ，
解析： （1）2；4；6
（2）解：4×16=64，+=​；
（3）logaMN
（4）证明：设logaM=m，logaN=n，
则M=am ， N=an ，
∴MN=am•an=am+n ，
∴logaMN=logaam+n=m+n，
故logaN+logaM=logaMN．
【解析】解：（1）∵4=22 ， 16=24 ， 64=26 ，
∴ =2； =4； =6．
（2）4×16=64， + = ​；
（3）logaN+logaM=logaMN．
(4)证明：logaM=m，logaN=n，
则M=am ， N=an ，
∴MN=am•an=am+n ，
∴logaMN=logaam+n=m+n，
故logaN+logaM=logaMN．
【分析】（1）根据对数定义，把求对数写成底数幂即可求解；
（2）根据（1）计算成果即可写出结论；
（3）运用对数定义以及幂运算法则am•an=am+n即可证明．