2025年七年级数学试卷平面图形的认识压轴解答题训练题目含答案.doc

七年级数学试卷平面图形认识（二）压轴解答题训练经典题目(含答案)

一、平面图形认识（二）压轴解答题
1．问题情境：如图1，已知 ， .求 度数.

（1）通过思考，小敏思绪是：如图2，过P作 ，根据平行线有关性质，可得 ________.
（2）问题迁移：如图3， ，点P在射线OM上运动， ， .
①当点P在A，B两点之间运动时， 、 、 之间有何数量关系？请阐明理由.
②假如点P在A，B两点外侧运动时（点P与点A，B，O三点不重叠），请你直接写出 、 、 之间数量关系，
（3）问题拓展：如图4， ， 是一条折线段，根据此图所含信息，把你所发现结论，用简洁数学式子体现为________.
2．已知 ABC，P 是平面内任意一点（A、B、C、P 中任意三点都不在同一直线上）.连接 PB、PC，设∠PBA＝s°，∠PCA＝t°，∠BPC＝x°，∠BAC＝y°.

（1）如图，当点 P 在 ABC 内时，
①若 y＝70，s＝10，t＝20，则 x＝________；
②探究 s、t、x、y 之间数量关系，并证明你得到结论.
（2）当点 P 在 ABC 外时，直接写出 s、t、x、y 之间所有也许数量关系，并画出对应图形.
3．如图， ， ， ，点D，C，E在同一条直线上.

（1）完毕下面说理过程
∵ ， （已知）
∴ ， （垂直定义）.
∴ .
∴ ，（________）.
∴ .（________）
又∠B=∠D，
∴∠B=∠BCE，
∴AB//CD. （________）
（2）若∠BAD=150°，求∠E度数.
4．如图，已知AM//BN，∠A=600.点P是射线AM上一动点（与点A不重叠），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN.

（1）求∠ABN度数
（2）当点P运动时，∠CBD度数与否随之发生变化？若不变化，祈求出它度数。若变化，请写出变化规律.
（3）当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC度数。
5．如图，在△ABC中，点E在AC边上，连结BE，过点E作DF∥BC，交AB于点D.若BE平分∠ABC，EC平分∠BEF.设∠ADE＝α，∠AED＝β.

（1）当β＝80°时，求∠DEB度数.
（2）试用含α代数式表达β.
（3）若β＝kα（k为常数），求α度数（用含k代数式表达）.
6．[感知发现]：如图，是一种“猪手”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE ，我们发现：∠E=∠B+∠D

证明如下：过E点作EF∥AB．

  ∠B=∠1(两直线平行，内错角相等．）
又 AB∥CD(已知）
  CD∥EF(假如两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 
  ∠2=∠D(两直线平行，内错角相等．）
  ∠1+∠2=∠B+∠D(等式性质1．）
 即：∠E=∠B+∠D
（1）[类比探究]：如图是一种“子弹头”图，AB∥CD，点E在两平行线之间，连接BE，DE．试探究∠E+∠B+∠D=360°．写出证明过程．

（2）[创新应用]：(1)．如图一，是两块三角板按如图所示方式摆放，使直角顶点重叠，斜边平行，请直接写出∠1度数．(2)．如图二，将一种长方形ABCD按如图虚线剪下，使∠1=120 ，∠FEQ=90°． 请直接写出∠2度数．

7．对于平面内∠M和∠N ， 若存在一种常数k＞0，使得∠M＋k∠N＝360°，则称∠N为∠Mk系补周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，则∠N为∠M6系补周角．

（1）若∠H＝120°，则∠H4系补周角度数为________；
（2）在平面内AB∥CD ， 点E是平面内一点，连接BE ， DE ．
①如图1，∠D＝60°，若∠B是∠E3系补周角，求∠B度数；
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E右侧，且满足∠ABF=n∠ABE ， ∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上一种动点，在P点运动过程中，请你确定一种点P位置，使得∠BPD是∠Fk系补周角，并直接写出此时k值（用含n式子表达）．
8．如图，三角形ABC ， 直线 ，CD、BD分别平分 和 ．

（1）图 中， ， ，求 度数，阐明理由．
（2）图 中， ，直接写出 ________．
（3）图 中， ， ________．
9．在 中， 为直线AC上一点，E为直线AB上一点，

（1）如图1，当D在AC上，E在AB上时，求证 ；
（2）如图2，当D在CA延长线上，E在BA延长线上时，点G在EF上，连接AG，且 ，求证：
（3）如图3，在（2）条件下，连接BG,当BG平分 时，将 沿着AG折至 探究 与 数量关系．
10．AB∥CD，C在 D右侧，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE、DE所在直线交于点 E．∠ADC＝70°．

（1）求∠EDC 度数；
（2）若∠ABC＝30°，求∠BED 度数；
（3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A右侧，其他条件不变，若∠ABC＝n°，请直接写出∠BED 度数（用含 n代数式表达）．
11．在 中， ，点 ， 分别是边 ， 上点，点 是一动点.记 为 ， 为 ， 为 .

（1）若点 在线段 上，且 ，如图1，则 ________；
（2）若点 在边 上运动，如图2所示，请猜想 ， ， 之间关系，并阐明理由；
（3）若点 运动到边 延长线上，如图3所示，则 ， ， 之间又有何关系？请直接写出结论，不用阐明理由.
12．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

（1）请判断AB与CD位置关系，并阐明理由；
（2）如图2，在（1）结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD.当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD与否存在确定数量关系？并阐明理由；
（3）如图3，在（1）结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外），∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？直接写出结论，其数量关系为________.

【参照答案】***试卷处理标识，请不要删除

一、平面图形认识（二）压轴解答题

1． （1）252°
（2）解：①解：∠CPD=∠α+∠β，理由如下：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
②∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β
（3）∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
【解析】【解答】（1）解：问题情境：如图，过P作PE∥AB，

∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠PAB+∠APE=180°，∠PCD+∠CPE=180°，
∵∠APC=108°，
∴∠PAB+∠PCD=360°-108°=252°；
故答案为：252°；
（ 2 ）②解：当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；
当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β.理由：
如图，过P作PE∥AD交CD于E，

∵AD∥BC，
∴AD∥PE∥BC，
∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，
∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β.
（ 3 ）问题拓展：分别过A2 ， A3…，An-1作直线∥A1M，过B1 ， B2 ， …，Bn-1作直线∥A1M，

由平行线性质和角和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn.
【分析】（1）问题情境：根据平行线判定可得PE∥AB∥CD，再根据平行线性质即可求解；
（2）问题迁移：①过P作PE∥AD，根据平行线判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线性质即可求解；②过P作PE∥AD，根据平行线判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线性质即可求解；
（3）问题拓展：分别过A2 ， A3…，An-1作直线∥A1M，过B1 ， B2 ， …，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线判定和性质即可求解.
2． （1）100;解：②结论：x=y+s+t. 理由：∵∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+∠PBA+∠PCA+∠PBC+∠PCB=180°，∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°， ∴∠A+∠PBA+∠PCA=∠BPC， ∴x=y+s+t.
（2）解：s、t、x、y之间所有也许数量关系：
如图1：s+x=t+y；

如图2：s+y=t+x；

如图3：y=x+s+t；

如图4：x+y+s+t=360°；

如图5：t=s+x+y；

如图6：s=t+x+y；

【解析】【解答】解：（1）①∵∠BAC=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°，
∵∠PBA=10°，∠PCA=20°，
∴∠PBC+∠PCB=80°，
∴∠BPC=100°，
∴x=100，
故答案为：100.
【分析】（1）①运用三角形内角和定理即可处理问题；②结论：x=y+s+t.运用三角形内角和定理即可证明；
（2）分6种情形分别求解即可处理问题.
3． （1）同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
（2）解：∵ （已知）
∴
又∵∠BAD=150°，（已知）
∴
由（1）得AB//CD.
∴ （两直线平行，内错角相等）.
【解析】【分析】 (1) 结合图形，根据平行性质和判定即可得到答案；
(2)根据题意首先求出∠BAE，再根据两直线平行，内错角相等即可得到答案.
4． （1）证明：∵AM//BN
∴∠A+∠ABN=180°
∵∠A=60°
∴∠ABN=180°−∠A=180°−60=120°
（2）解：如图，

没有变化。
∵CB平分∠ABP,  BD平分∠PBN
∴∠1= ∠ABP,   ∠2= ∠PBN
∴∠CBD=∠1 +∠2 = ∠ABP+∠PBN）
= ×1200=600
（3）解：如图，

∵AM//BN
∴∠ACB=∠CBN
∵∠ACB=∠ABD
∴∠CBN=∠ABD
∴∠CBN−∠CBD=∠ABD−∠CBD
即∠1=∠4
又∵CB平分∠ABP,  BD平分∠PBN
∴∠1=∠2   ∠3=∠4
∴∠1=∠2=∠3=∠4=120°÷4=30°
即∠ABC=30°
【解析】【分析】 (1) 根据两直线平行，同旁内角互补即可求出答案；
(2) 根据角平分线性质以及角度相加减即可得证；
(3) 根据两直线平行，同旁内角互补以及已知条件得到 ∠CBN=∠ABD ，根据角度相加减得到 ∠1=∠4 ，再根据角平分线性质得到 ∠1=∠2=∠3=∠4 ，最终根据 ∠ABN=120° 即可得到答案.
5． （1）解：∵β＝80°，
∴∠CEF＝∠AED＝80°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠BEC＝∠CEF＝80°，
∴∠DEB＝180°﹣80°﹣80°＝20°；
（2）∵DF∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC＝α，
∵BE平分∠ABC，
∴∠DEB＝∠EBC＝
∵EC平分∠BEF，
∴β＝∠CEF＝ （180°﹣ ）＝90°﹣ α；
（3）∵β＝kα，
∴90°﹣ α＝kα，
解得：α＝
【解析】【分析】（1）根据对顶角性质得到∠CEF＝∠AED＝80°，根据角平分线定义即可得到结论；
（2）根据角平分线定义和平行线性质即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论.
6． （1）解：如图，过E作

（2）解：（1）由题意得： 过E作

；(2)：由题意得： 过E作

 ，
 ∠1=120 ，∠FEQ=90°，

【解析】【分析】[类比探究]：如图，过E作 结合已知条件得 运用平行线性质可得答案，[创新应用]：(1)：由题意得： 过E作 得到 运用平行线性质可得答案， (2)：由题意得： 过E作 得到  运用平行线性质可得答案．
7． （1）60°
（2）解：①如图，

过点E作EF//AB，
∵AB//EF,
∴EF//CD，
∴∠B=∠1,∠D=∠2，
∴∠1+∠2=∠B+∠D，
即∠BED=∠B+∠D，
∵∠BED+3∠B=360°，∠D＝60，
∴ ，
解得：∠B=75°，
∴∠B=75°；
②预备知识，基本构图：

如图，AB//CD//EF,则
∠ABE+∠BEG=180°，
∠DCE+∠GEC=180°，
∴∠ABE+∠BEG+∠DCE+∠GEC=360°，
即∠ABE+∠DCG+∠BEC=360°
如图：

当BG上动点P为∠CDG角平分线与BG交点时，满足∠BPD是∠Fk系补周角，此时k=2n.理由如下：
若∠BPD是∠Fk系补周角，则
∠F+k∠BPD=360°，
∴k∠BPD=360°-∠F
又由基本构图知：
∠ABF+∠CDF=360°-∠F，
∴k∠BPD=∠ABF+∠CDF，
又∵∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE，
∴k∠BPD= n∠ABE+ n∠CDE，
∵∠BPD=∠PHD+∠PDH,
∵AB//CD，PG平分∠ABE，PD平分∠CDE，
∴∠PHD=∠ABH= ,∠PDH= ，
∴ ( + )=n(∠ABE+∠CDE)，
∴k=2n.
【解析】【解答】解：（1）设∠H4系补周角度数为x，
则有120°+4x=360°，
解得：x=60°
∴∠H4系补周角度数为60°；
【分析】（1）直接运用k系补周角定义列方程求解即可．（2）①根据k系补周角定义及平行线性质，建立∠BED、∠B、∠D关系式求解即可.②结合本题构图特点，运用平行线性质得到：∠ABF+∠CDF+∠F=360°,结合∠ABF=n∠ABE ， ∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），又由于点P是∠ABE角平分线BG上一种动点，通过构造相似特殊条件猜想出一种满足条件P点，再通过推理论证得到k值（含n体现式），即阐明点P即为所求.
8． （1）解：

，
，

如图1过D点作 ，

，

， ，
，即
又 、BD分别平分 和 ．
，同理

（2）
（3）
【解析】【解答】
如图2过D点作 ，

，

， ，
，即
又 、BD分别平分 和 ．
，同理 ，

，
，
即 ，
，
，
，
，
故答案为 ．

如图3过D点作 ，

，

， ，
，即
又 、BD分别平分 和 ．
，同理 ，

，
，
即 ，
，
，
，
，
故答案为 ．
【分析】（1）过 点作 ，根据平行线性质，得出 ， ，则 ，再根据 、 分别平分 和 ，得出 ，同理 ，即可解答；（2）根据（1）思绪即可解答；（3）根据（2）思绪即可解答.
9． （1）∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
且∠ADE＋∠A＋∠AED＝180°，∠B＋∠A＋∠ACB＝180°，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE⊥AB
（2）∵∠ADE＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠EAG＋∠AGE＝90°①，
∵∠EAG− ∠D＝45°，
∴2∠EAG−∠D＝90°②，
∵∠D＋∠F＝90°③，
∴②＋③得：2∠EAG＋∠F＝180°④，
④−①×2得：∠F−2∠AGE＝0°，
∴∠F＝2∠AGE，
（3）如图3，

∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG＝ ∠ABC，
∵将△AGB沿着AG折至△AGH，
∴∠H＝∠ABG＝ ∠ABC，
∵∠ADE＝∠B，
∴∠ADE＝2∠H，且∠ADE＝∠H＋∠DGH，
∴∠H＝∠DGH，
∴∠ADE＝2∠DGH，
∵∠F＋∠CDF＝90°，
∴∠F＋2∠HGD＝90°．
【解析】【分析】（1）通过三角形内角和定理，可得∠AED＝∠ACB＝90°，可得结论；（2）由直角三角形性质和三角形内角和定理可得∠EAG＋∠AGE＝90°①，∠D＋∠F＝90°③，且2∠EAG−∠D＝90°②，可以构成方程组，可得结论；（3）由角平分线性质和折叠性质可得∠ADE＝2∠H，由外角性质可得∠ADE＝2∠DGH，由直角三角形性质可得∠F＋2∠HGD＝90°．
10． （1）∵ 平分 ，
∴ ；
（2）过点 作 ，如图：

∵ 平分 ， ； 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ；
（3）过点E作 ，如图：

∵DE平分 ， ；BE平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义即可得到答案；（2）过点 作 ，然后根据角平分线定义、平行线判定和性质以及角和差进行推导即可得解；（3）过点 作 ，然后根据角平分线定义、平行线判定和性质以及角和差进行推导即可得解．
11． （1）
（2）解：
理由：∵

∴
又∵四边形内角和是
∴
∴ .
（3）解：由三角形外角性质可知，∠3＝∠2＋∠α，
∴∠1＝90°＋∠3＝90°＋∠2＋∠α.

【解析】【解答】解：（1）∵∠1＋∠PDC＝180°，∠2＋∠PEC＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠PDC＋∠PEC＝360°，
∵四边形CDPE内角和是360°，
∴∠PDC＋∠PEC＋∠C＋∠α＝360°，
∴∠1＋∠2＝∠C＋∠α＝90°＋50°＝140°，
故答案为：140°；
【分析】（1）根据邻补角性质可得∠1＋∠2＋∠PDC＋∠PEC＝360°，根据四边形内角和等于360°可得∠PDC＋∠PEC＋∠C＋∠α＝360°，然后可得∠1＋∠2＝∠C＋∠α；
（2）仿照（1）解法，即可得到∠α，∠1，∠2之间关系；
（3）根据三角形外角性质计算即可.
12． （1）解：AB∥CD；理由如下：
∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，
∵∠EAC＋∠ACE＝90°，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∴AB∥CD
（2）解：∠BAE＋ ∠MCD＝90°；理由如下：
过E作EF∥AB，如图2所示：

∵AB∥CD，
∴EF∥AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，
∵∠AEC＝90°，
∴∠BAE＋∠ECD＝90°，
∵∠MCE＝∠ECD
∴∠ECD＝ ∠MCD
∴∠BAE＋ ∠MCD＝90°
（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP
【解析】【解答】解：（3）∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP；理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC＋∠ACD＝180°，
∵∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，
即（∠CPQ＋∠CQP）＋∠ACD＝180°，
∴∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.
故答案为：∠BAC＝∠CPQ＋∠CQP.
【分析】（1）由角平分线性质得出∠BAC＝2∠EAC，∠ACD＝2∠ACE，推出∠BAC＋∠ACD＝180°，即可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，得出∠BAE＝∠AEF，∠FEC＝∠DCE，由∠AEC＝90°，推出∠BAE＋∠ECD＝90°，∠ECD＝ ∠MCD，得出∠BAE＋ ∠MCD＝90°；
（3）由平行线性质得出∠BAC＋∠ACD＝180°，由三角形内角和定理得出∠CPQ＋∠CQP＋∠PCQ＝180°，即可得出成果.