求数列通项公式的十种方法.doc
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1、求数列通项公式的十一种方法(方法全,例子全,归纳细)总述:一利用递推关系式求数列通项的11种方法:累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是:累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形,代换转化为等差数列或等比数列。 四求数列通项的基本方法是:累加法和累乘法。 五数列的本质是一个函数
2、,其定义域是自然数集的一个函数。一、累加法 1适用于: -这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。2若,则 两边分别相加得 例1 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由得则所以数列的通项公式为。例2 已知数列满足,求数列的通项公式。解法一:由得则所以解法二:两边除以,得,则,故因此,则练习1.已知数列的首项为1,且写出数列的通项公式. 答案:练习2.已知数列满足,求此数列的通项公式. 答案:裂项求和 评注:已知,,其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项.若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分
3、组求和;若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.解:由已知得,化简有,由类型(1)有,又得,所以,又,则此题也可以用数学归纳法来求解.二、累乘法 1.。 -适用于: -这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。2若,则两边分别相乘得,例4 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列的通项公式为例5.设是首项为1的正项数列,且(=1,2, 3,),则它的通项公式是=_.解:已知等式可化为:()(n+1), 即时,=.评注:本题是关于和的二次齐次式,可以通过因式分解
4、(一般情况时用求根公式)得到与的更为明显的关系式,从而求出.练习.已知,求数列an的通项公式.答案:-1.评注:本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式,进而应用累乘法求出数列的通项公式.三、待定系数法 适用于 基本思路是转化为等差数列或等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。1形如,其中)型(1)若c=1时,数列为等差数列;(2)若d=0时,数列为等比数列;(3)若时,数列为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法:设,得,与题设比较系数得,所以所以有:因此数列构成以为首项,以c为公比的等比数列,所以 即:.规律:将
5、递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式逐项相减法(阶差法):有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式. ,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.例6已知数列中,求数列的通项公式。解法一: 又是首项为2,公比为2的等比数列 ,即解法二: 两式相减得,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,再用累加法的练习已知数列中,求通项。答案:2形如: (其中q是常数,且n0,1) 若p=1时,即:,累加即可.若时,即:,求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列即: ,令,则,然后类型1,累
6、加求通项.ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。 即: ,令,则可化为.然后转化为类型5来解,iii.待定系数法:目的是把所求数列构造成等差数列设.通过比较系数,求出,转化为等比数列求通项.注意:应用待定系数法时,要求pq,否则待定系数法会失效。例7已知数列满足,求数列的通项公式。解法一(待定系数法):设,比较系数得,则数列是首项为,公比为2的等比数列,所以,即解法二(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略解法三(两边同除以): 两边同时除以得:,下面解法略练习.(2003天津理)设为常数,且证明对任意1,;3形如 (其中k,b是常数,且)方法1:逐项相减法(阶差法)方法
7、2:待定系数法通过凑配可转化为 ; 解题基本步骤:1、确定=kn+b2、设等比数列,公比为p3、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例8 在数列中,求通项.(逐项相减法)解:, 时,两式相减得 .令,则利用类型5的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.例9. 在数列中,,求通项.(待定系数法)解:原递推式可化为比较系数可得:x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列,首项,公比为. 即:故.4形如 (其中a,b,c是常数,且)基本思路是转化为等比数列,而数列的本质是一个函数,其定义域是自然数集的一个函数。例10 已知数列满足,求数列的通项公式
8、。解:设 比较系数得, 所以 由,得则,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则。5.形如时将作为求解分析:原递推式可化为的形式,比较系数可求得,数列为等比数列。例11 已知数列满足,求数列的通项公式。解:设比较系数得或,不妨取,(取-3 结果形式可能不同,但本质相同)则,则是首项为4,公比为3的等比数列,所以练习.数列中,若,且满足,求.答案: .四、迭代法 (其中p,r为常数)型例12 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以又,所以数列的通项公式为。注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。例13.(2005江西卷)已知数列,(1)证明 (2)求数列的通项公式
9、an.解:(1)略(2)所以 又bn=1,所以.方法2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.解法3:设c,则c,转化为上面类型(1)来解五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p0, 例14. 设正项数列满足,(n2).求数列的通项公式.解:两边取对数得:,设,则 是以2为公比的等比数列, ,练习 数列中,(n2),求数列的通项公式. 答案:例15 已知数列满足,求数列的通项公式。解:因为,所以。两边取常用对数得设(同类型四)比较系数得, 由,得,所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则,因此则。 六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式,分子只有一项例16 已知数列满足,求
10、数列的通项公式。解:求倒数得为等差数列,首项,公差为,七、换元法 适用于含根式的递推关系例17 已知数列满足,求数列的通项公式。解:令,则代入得即因为, 则,即,可化为,所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则,即,得。八、数学归纳法 通过首项和递推关系式求出数列的前n项,猜出数列的通项公式,再用数学归纳法加以证明。例18 已知数列满足,求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜测,下面用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。九、阶差法(逐项相减法) 1、递推公式中既有,又有 分
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