线面垂直测试题1.doc

戴氏教育簇桥校区 线面垂直测试题 授课老师:唐老师
1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD．

证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，
∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥．
设正方体棱长为，则，．
　　 在Rt△中，．∵，∴． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD．

2 如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC．
　 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D．
因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC，
平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵平面PBC，∴AD⊥BC．
∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC．
∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC．

3 如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，．

　　证明：∵平面ABCD，
　　∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证．

4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，
作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．
证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．
∵，∴．
∵，∴．
又，∴平面CDF．
∵平面CDF，∴．
又，，　
∴平面ABE，．
∵，，，
∴ 平面BCD．

5 如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC．
证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴．

∵平面ABC，平面ABC，
∴．∴平面APC．
∵平面PBC，　
∴平面APC⊥平面PBC．
∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC，
∴AE⊥平面PBC．
∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC．

6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD

证明：过A作AO⊥平面BCD于O
同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心

7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D

证明：连结AC

AC为A1C在平面AC上的射影

8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证：

. 证：取PD中点E，则

9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠A'ED=60°，求证:A'E⊥平面A'BC

分析：
弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。

解：
∵FG∥BC，AD⊥BC
∴A'E⊥FG
∴A'E⊥BC
设A'E=a，则ED=2a
由余弦定理得：
A'D2=A'E2+ED2-2•A'E•EDcos60°
=3a2
∴ED2=A'D2+A'E2
∴A'D⊥A'E
∴A'E⊥平面A'BC

10如图, 在空间四边形SABC中, SA^平面ABC, ÐABC = 90°, AN^SB于N, AM^SC于M。求证: ①AN^BC; ②SC^平面ANM
分析:
①要证AN^BC, 转证, BC^平面SAB。
②要证SC^平面ANM, 转证, SC垂直于平面ANM内的两条相交直线, 即证SC^AM, SC^AN。要证SC^AN, 转证AN^平面SBC, 就可以了。
证明:
①∵SA^平面ABC
∴SA^BC
又∵BC^AB, 且ABSA = A
∴BC^平面SAB
∵AN平面SAB
∴AN^BC
②∵AN^BC, AN^SB, 且SBBC = B
∴AN^平面SBC
∵SCC平面SBC
∴AN^SC
又∵AM^SC, 且AMAN = A
∴SC^平面ANM

1．在三棱锥A—BCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么必有（　　）
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
【解析】由AD⊥BC，BD⊥AD AD⊥平面BCD，面AD平面ADC
∴平面ADC⊥平面BCD．
【答案】C
2．直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是（　　）
A．a B．a C．a D．a
【解析】取A1C的中点O，连结AO，∵AC=AA1，∴AO⊥A1C
又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A1C⊥平面ABC．又∵BC⊥AC∴BC⊥AO，
因AO⊥平面A1BC，即A1O等于A到平面ABC的距离．解得：A1O=a【答案】C
3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点O，P到三个面的距离分别是3，4，5，则OP的长为（　　）
A．5 B．5 C．3 D．2
【解析】构造一个长方体，OP为对角线．【答案】B
4．在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A、B，AC和BD分别是这两个平面内垂直于AB的线段，AC=6，AB=8，BD=24，则C、D间距离为_____．
【解析】如图，CD=====26
【答案】26
5．设两个平面α、β，直线l，下列三个条件：①l⊥α，②l∥β，③ α⊥β．若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】①②③，其余都错【答案】C

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