2025年吉林省东辽五中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析.doc

2025年吉林省东辽五中高一数学第一学期期末综合测试模拟试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．某工厂设计了一款纯净水提炼装置，该装置可去除自来水中的杂质并提炼出可直接饮用的纯净水，假设该装置每次提炼能够减少水中50%的杂质，要使水中的杂质不超过原来的4%，则至少需要提炼的次数为（）（参考数据：取）
A.5 B.6
C.7 D.8
2．下列命题中不正确的是（ ）
A.一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数
B.数据6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位数为5
C.若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙
D.为调查学生每天平均阅读时间，某中学从在校学生中，利用分层抽样的方法抽取初中生20人，高中生10人．经调查，这20名初中生每天平均阅读时间为60分钟，这10名高中生每天平均阅读时间为90分钟，那么被抽中的30名学生每天平均阅读时间为70分钟
3．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A.函数是单调增函数
B.函数的值域为
C.函数为偶函数
D.函数的定义域为
4．在中，已知，则角（）
A. B.
C. D.或
5．已知为平面，为直线，下列命题正确的是
A.，若，则
B.，则
C.，则
D.，则
6．将函数的图象向右平移个的单位长度，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为
A. B.
C. D.
7．定义运算，若函数，则的值域是（）
A. B.
C. D.
8．已知，则化为（ ）
A. B.
C.m D.1
9．若，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10．不论a取何正实数，函数恒过点（　　）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为______
12．漏斗作为中国传统器具而存在于日常生活之中，某漏斗有盖的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该漏斗的容积为不考虑漏斗的厚度______，若该漏斗存在外接球，则______.

13．不等式的解集为_________________.
14．已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.
15．若函数是奇函数，则__________.
16．已知集合，若，则_______.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．函数的定义域且，对定义域D内任意两个实数，，都有成立
（1）求的值并证明为偶函数；
18．设两个向量，，满足，.
（1）若，求、的夹角；
（2）若、夹角为，向量与夹角为钝角，求实数的取值范围.
19．设函数
（1）若不等式解集，求、的值；
（2）若，在上恒成立，求实数的取值范围
20．已知函数是二次函数，，
（1）求的解析式；
（2）解不等式
21．已知函数的最小正周期为4，且满足
（1）求的解析式
（2）是否存在实数满足？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】根据题意列出相应的不等式，利用对数值计算可得答案.
【详解】设经过次提炼后，水中的杂质不超过原来的4%，
由题意得，
得，
所以至少需要5次提炼，
故选：A.
2、A
【解析】由中位数以及众数判断A；由百分位数的定义计算判断B；计算乙组数据的方差判断C；计算被抽中的30名学生每天平均阅读时间从而判断D.
【详解】对于A，中位数为和众数相等，故A错误；
对于B，将该组数据从小到大排列为，，则该组数据的分位数为5，故B正确；
对于C，乙组数据，方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C正确；
对于D，被抽中的30名学生每天平均阅读时间为，故D正确；
故选：A
3、D
【解析】应用换元法求的解析式，进而求其定义域、值域，并判断单调性、奇偶性，即可知正确选项.
【详解】由题意，由，则，即.
令，则
∴，其定义域为不是偶函数，
又故不单调增函数，
易得，则，
∴.
故选：D
4、C
【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度数.
【详解】因为，
所以，
解得：，，
因为，
所以.
故选：C.
5、D
【解析】选项直线有可能在平面内；选项需要直线在平面内才成立；选项两条直线可能异面、平行或相交.选项符合面面平行的判定定理，故正确.
6、A
【解析】由题意利用函数的图象变换法则，即可得出结论
【详解】将函数的图象向右平移个的单位长度，可得的图象，再将所得到的函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为，故选
【点睛】本题主要考查函数的图象变换法则，注意对的影响
7、C
【解析】由定义可得，结合指数函数性质即可求出.
【详解】由定义可得，
当时，，则，
当时，，则，
综上，的值域是.
故选：C.
8、C
【解析】把根式化为分数指数幂进行运算
【详解】，.
故选：C
9、C
【解析】由于，所以先由已知条件求出，的值，从而可求出答案
【详解】，
因为，，
所以，，
因为，，
所以，，
则
故选：C
【点睛】此题考查同角三角函数的关系的应用，考查两角差的余弦公式的应用，考查计算能力，属于基础题.
10、A
【解析】令指数为0，即可求得函数恒过点
【详解】令x+1=0，可得x=-1，则
∴不论取何正实数，函数恒过点（-1，-1）
故选A
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数恒过定点，属于基础题

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】由基本不等式求得的最小值，解不等式可得的范围
【详解】∵，，，
，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为8，
由解得，
故答案为：
12、 ①. ②.0.5
【解析】先将三视图还原几何体，然后利用长方体和锥体的体积公式求解容积即可；设该漏斗外接球的半径为，设球心为，利用，列式求解的值即可.
【详解】
由题中的三视图可得，原几何体如图所示，
其中，，正四棱锥的高为，
，
，
所以该漏斗的容积为；
正视图为该几何体的轴截面，
设该漏斗外接球的半径为，设球心为，
则，
因为，
又，
所以，
整理可得，解得，
所以该漏斗存在外接球，则
故答案为：①；②.
13、或.
【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
14、－8
【解析】答案：－8.解析：根据正弦值为负数，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角．
15、
【解析】根据题意，得到，即可求解.
【详解】因为是奇函数，可得.
故答案为：.
16、
【解析】根据求得，由此求得.
【详解】由于，所以，所以.
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），证明见解析
（2）
（3）
【解析】（1）取得到，取得到，取得到，得到答案.
（2）证明函数在上单调递增，在上单调递减，得到，结合定义域得到答案.
（3）根据函数单调性和奇偶性得到，考虑，，三种情况，得到函数的最值，解不等式得到答案.
【小问1详解】
取得到，得到，
取得到，得到，
取得到，即，故函数为偶函数.
【小问2详解】
设，
则，
，故，即，函数单调递减.
函数为偶函数，故函数在上单调递增.
，故，且，解得.
【小问3详解】
，
根据（2）知：，，恒成立，
故，，
当时，，当时，，
当时，，
当，即时等号成立，，故.
综上所述：，解得，，故.
18、（1）；（2）且.
【解析】（1）根据数量积运算以及结果，结合模长，即可求得，再根据数量积求得夹角；
（2）根据夹角为钝角则数量积为负数，求得的范围；再排除向量与不为反向向量对应参数的范围，则问题得解.
【详解】（1）因，所以，
即，又，，所以，
所以，又，
所以向量、的夹角是.
（2）因为向量与的夹角为钝角，所以，
且向量与不反向共线，
即，
又、夹角为，所以，
所以，解得，
又向量与不反向共线，
所以，解得，
所以的取值范围是且.
【点睛】本题考查利用数量积求向量夹角，以及由夹角范围求参数范围，属综合基础题.
19、（1），；（2）.
【解析】（1）分析可知的两根是、，利用韦达定理可求得实数、的值；
（2）分析可知不等式在上恒成立，可得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由已知可知，方程的两根是、且，
所以，解得；
（2），可得，，
因为在上恒成立，则在上恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
20、（1）
（2）
【解析】(1)根据得对称轴为，再结合顶点可求解;
(2)由（1）得，然后直接解不等式即可.
【小问1详解】
由，知此二次函数图象的对称轴为，
又因为，所以是的顶点，
所以设
因，即
所以得
所以
【小问2详解】
因为所以
化为，即或
不等式的解集为
21、（1）
（2）存在；
【解析】（1）因为的最小正周期为4，可求得，再根据满足，可知的图象关于点对称，结合，即可求出的值，进而求出结果；
（2）由（1）可得，再根据，在同一坐标系中作出与的大致图象，根据图像并结合的单调性，建立方程，即可求出，由此即可求出结果.
【小问1详解】
解：因为的最小正周期为4，所以
因为满足，
所以的图象关于点对称，
所以，
所以，即，
又，所以
所以的解析式为
【小问2详解】
解：由，可得
当时，，
在同一坐标系中作出与的大致图象，如图所示，

当时，，
再结合的单调性可知点的横坐标即方程的根，解得
结合图象可知存在实数满足，的取值范围是