宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2025-2026学年高二数学第一学期期末经典试题含解析.doc

宁夏回族自治区石嘴山市平罗中学2025-2026学年高二数学第一学期期末经典试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若，则复数在复平面内对应的点在（）
A.曲线上 B.曲线上
C.直线上 D.直线上
2．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“一百八十九里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人共行走了189里的路程，第一天健步行走，从第二天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则该人第一天行走的路程为（）
A.108里 B.96里
C.64里 D.48里
3．如图，在平行六面体中，，则与向量相等的是（ ）

A. B.
C. D.
4．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（）
A. B.
C. D.
5．经过点，且被圆所截得的弦最短时的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6．已知点，点在抛物线上，过点的直线与直线垂直相交于点，，则的值为（）
A. B.
C. D.
7．设是双曲线与圆在第一象限的交点，，分别是双曲线的左，右焦点，若，则双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
8．长方体中，，，，为侧面内（含边界）的动点，且满足，则四棱锥体积的最小值为（）
A. B.
C. D.
9．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
10．执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）

A. B.
C. D.
11．已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点，则圆C方程为（）
A. B.
C. D.
12．若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线：，斜率为的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为，则E的离心率为___________

14．已知集合，集合，则__________.
15．已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________
16．椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则的标准方程为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列满足，，.
（1）证明：数列是等比数列，并求其通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点、(点在点、之间)，且满足，求的取值范围.
19．（12分）数列的前n项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和
20．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（2）试估计测评成绩的75%分位数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例
21．（12分）在等比数列中，是与的等比中项，与的等差中项为6
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列前项和
22．（10分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表:
零件的个数x(个)
2
3
4
5
加工的时间y(小时)
2.5
3
4
4.5

（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图.
（2）求出y关于x的线性回归方程，试预测加工10个零件需要多少小时?
（注：，）
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据复数的除法运算，先化简，进而求出，再由复数的几何意义，即可得出结果.
【详解】因为，所以，
因此复数在复平面内对应的点为，可知其在曲线上.
故选：B
2、B
【解析】根据题意，记该人每天走的路程里数为，分析可得每天走的路程里数构成以的为公比的等比数列，由求得首项即可
【详解】解：根据题意，记该人每天走的路程里数为，则数列是以的为公比的等比数列，又由这个人走了6天后到达目的地，即，则有，解可得：，故选：B.
【点睛】本题考查数列的应用，涉及等比数列的通项公式以及前项和公式的运用，注意等比数列的性质的合理运用.
3、A
【解析】根据空间向量的线性运算法则——三角形法，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，在平行六面体中，，
可得.
故选：A.
4、A
【解析】设出点坐标，求得、所在直线的斜率，由斜率之积是列式整理即可得到点的轨迹方程，设，根据双曲线的定义，从而求出的最小值；
【详解】解：设点坐标为，则直线的斜率；
直线的斜率
由已知有，
化简得点的轨迹方程为
又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为；
故选：A
5、C
【解析】当是弦中点，她能时，弦长最短．由此可得直线斜率，得直线方程
【详解】根据题意，圆心为，当与直线垂直时，点被圆所截得的弦最短，此时，则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得，
故选：C.
【点睛】本题考查直线与圆相交弦长问题，掌握垂径定理是求解圆弦长问题的关键
6、D
【解析】由题，由于过抛物线上一点的直线与直线垂直相交于点，可得，又，故，
所以的坐标为，由余弦定理可得
.
故选：D.
考点：抛物线的定义、余弦定理
【点睛】本题主要考查抛物线的定义与性质，考查学生的计算能力，属于中档题
7、B
【解析】先由双曲线定义与题中条件得到，，求出，，再由题意得到，即可根据勾股定理求出结果.
【详解】解：根据双曲线定义：，，
∴，
∴，，，
∴是圆的直径，
∴，中，，得
故选
【点睛】本题主要考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
8、D
【解析】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，分析可知点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，求出椭圆的方程，可知当点为椭圆与棱或的交点时，点到平面的距离取最小值，由此可求得四棱锥体积的最小值.
【详解】取的中点，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，其中，，则、，

因为平面，平面，则，
所以，，同理可得，
所以，，
所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆的一部分，
则，，，
所以，点的轨迹方程为，
点到平面的距离为，当点为曲线与棱或棱的交点时，点到平面的距离取最小值，
将代入方程得，
因此，四棱锥体积的最小值为.
故选：D.
9、C
【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
10、C
【解析】按照程序框图的流程进行计算.
【详解】，故输出S的值为.
故选：C
11、C
【解析】设出圆心坐标，根据垂直直线的斜率关系求得圆心坐标，结合两点距离公式得半径，即可得圆方程
【详解】设圆心为，则圆心与点的连线与直线l垂直，即，
则点，所以圆心为，半径，
所以方程为，
故选：C
12、C
【解析】若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,
则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.
由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,
当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.
所以实数a的取值范围是,故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】分别设线段的中点，线段的中点，再利用点差法可表示出，由平行关系易知三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入整理可得到关系，利用双曲线得到关于的齐次方程，进而求得离心率.
【详解】设，，线段的中点
，两式相减得：
…①
设，，线段的中点
同理可得：…②
，易知三点共线
，将①②代入得：，所以，即，由题意可得
，故 .∴，即

故答案为：
14、##（-1,2]
【解析】根据两集合的并集的含义，即可得答案.
【详解】因为集合，集合，
所以,
故答案为：
15、m≥6
【解析】分别求出p，q成立的等价条件，利用p是q的充分条件，转为当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，求出最值即可确定m的取值范围
【详解】由，得0＜x≤1，即p：0＜x≤1
由4x+2x﹣m≤0得4x+2x≤m
因为，要使p是q的充分条件，
则当0＜x≤1时，m大于等于的最大值，
令，则在上单调递增，
故当时取到最大值6，所以m≥6
故答案为：m≥6
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,考查函数的最值，考查转化的思想，属于基础题
16、
【解析】根据椭圆定义求出其长半轴长，再结合焦点坐标即可计算作答.
【详解】因椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于，则该椭圆长半轴长，
而半焦距，于是得短半轴长b，有，
所以的标准方程为.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析，；
（2）.
【解析】（1）由已知条件，可得为常数，从而得证数列是等比数列，进而可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，又，所以，所以，利用错位相减法即可求解数列的前项和.
【小问1详解】
证明：由题意，因为，，，
所以，，
所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
所以；
【小问2详解】
解：由（1）可得，又，所以，
所以，所以，
所以，
，
所以，
所以.
18、（1）
（2）
【解析】（1）代入点坐标，结合离心率，以及即得解；
（2）设直线方程，与椭圆联立，转化为，结合韦达定理和判别式，分析即得解
【小问1详解】
由题意可知：，解得：
椭圆的标准方程为：
【小问2详解】
①当直线斜率不存在，方程为，则，.
②当直线斜率存在时，设直线方程为，
联立得：.
由得：.
设，，
则，，
又，，，则，

，所以，所以，解得：,
又，
综上所述：的取值范围为.
19、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件结合“当时，”计算作答.
(2)由(1)求出，利用裂项相消法计算得解.
【小问1详解】
数列的前n项和为，，当时，，
当时，，满足上式，则，
所以数列的通项公式是
【小问2详解】
由(1)知，，
所以，
所以数列的前n项和
20、（1）20人（2）
（3）
【解析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；
（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；
（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例
【小问1详解】
由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人
【小问2详解】
测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为
【小问3详解】
由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为
21、（1）；
（2）.
【解析】(1)设出等比数列的公比，根据给定条件列出方程求解作答.
(2)由(1)的结论求出，再利用分组求和法计算作答.
【小问1详解】
设等比数列公比为，依题意，，即，解得，
所以的通项公式
【小问2详解】
由(1)知，，

.
22、（1）见解析；（2），预测加工10个零件大约需要8.05小时
【解析】（1）由题意描点作出散点图；
（2）根据题中的公式分别求和，即得，令代入求出的值即可.
【详解】（1）散点图

（2），，，
∴，，
∴回归直线方程：，
令，得，
∴预测加工10个零件大约需要8.05小时.
【点睛】本题主要考查了散点图，利用最小二乘法求线性回归方程，考查了学生基本作图能力和运算求解能力.