湖南邵阳县德望中学2026届数学高一第一学期期末监测试题含解析.doc

湖南邵阳县德望中学2026届数学高一第一学期期末监测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
2．已知函数则函数的最大值是
A.4 B.3
C.5 D.
3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（）

A.90° B.60°
C.45° D.30°
4．设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（ ）
A.是直线且， B.是异面直线，
C.是相交直线且， D.是平行直线且，
5．函数的最小正周期是（ ）
A.π B.2π
C.3π D.4π
6．已知集合，，，则实数a的取值集合为（）
A. B.
C. D.
7．已知函数的定义域是且满足如果对于,都有不等式的解集为
A. B.
C. D.
8．命题“且”是命题“”的（）条件
A.充要 B.充分不必要
C.必要不充分 D.既不充分也不必要
9．已知函数（b，c为实数），.若方程有两个正实数根，，则的最小值是（）
A.4 B.2
C.1 D.
10．已知函数的图像关于直线对称，且对任意，，有，则使得成立的x的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．若，记，，，则P、Q、R的大小关系为______
12．将正方形沿对角线折成直二面角， 有如下四个结论：
①；②是等边三角形；③与所成的角为，④取中点，则为二面角的平面角
其中正确结论是__________．（写出所有正确结论的序号）
13．由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数
命名狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：
①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.
正确结论是__________
14．已知幂函数的图象过点，则此函数的解析式为______
15．不等式的解集为_________________.
16．函数的单调递减区间为__
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数
（1）当时，利用单调性定义证明在上是增函数；
（2）若存在，使，求实数的取值范围.
18．若函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若函数在区间上的最小值是，求实数的值.
19．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，FC＝4，AE＝5，求此几何体的体积

20．（1）计算：
（2）已知，求的值
21．设函数
（1）求的最小正周期；
（2）若函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在上的最值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，
由题意，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
2、B
【解析】，从而当时，∴的最大值是
考点：与三角函数有关的最值问题
3、B
【解析】连接，可证明，然后可得即为异面直线与所成的角，然后可求出答案.
【详解】
连接，因为是正方体，所以和平行且相等
所以四边形是平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角.
因为是等边三角形，所以
故选：B
4、C
【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，
是相交直线且，，，，
由平面和平面平行的判定定理可得.
故选C.
5、A
【解析】化简得出，即可求出最小正周期.
【详解】，
最小正周期.
故选：A.
6、C
【解析】先解出集合A，再根据确定集合B的元素，可得答案.
【详解】由题意得，，∵，，
∴实数a的取值集合为,
故选:C.
7、D
【解析】令x=，y=1，则有f（）=f（）+f（1），
故f（1）=0；
令x=，y=2，则有f（1）=f（）+f（2），
解得，f（2）=﹣1，
令x=y=2，则有f（4）=f（2）+f（2）=﹣2；
∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），
∴函数f（x）是定义在（0，+∞）上的减函数，
故f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2可化为f（﹣x（3﹣x））≥f（4），
故，
解得，﹣1≤x＜0．∴不等式的解集为
故选D
点睛：本题重点考查了抽象函数的性质及应用，的原型函数为的原型函数为，.
8、A
【解析】将化为，求出x、y值，根据充要条件的定义即可得出结果.
【详解】由，
可得，
解得x=1且y=2，
所以“x=1且y=2”是“”的充要条件.
故选：A.
9、B
【解析】由求得，再由方程有两个正实数根，，利用根的分布得到，然后利用韦达定理求解.
【详解】因为函数（b，c为实数），，
所以，
解得，
所以，
因为方程有两个正实数根，，
所以，
解得，
所以，
当c=2时，等号成立，所以其最小值是2，
故选：B
10、A
【解析】解有关抽象函数的不等式考虑函数的单调性，根据已知可得在单调递增，再由与的图象关系结合已知，可得为偶函数，化为自变量关系，求解即可.
【详解】设，
在增函数，
函数的图象是由的图象向右平移2个单位得到，
且函数的图像关于直线对称，
所以的图象关于轴对称，即为偶函数，
等价于，
的取值范围是.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性、解不等式问题，注意函数图象间的平移变换，考查逻辑推理能力，属于中档题.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】利用平方差公式和同角三角函数的平方关系可得P、R的关系，然后作差，因式分解，结合已知可判断P、Q的大小关系.
【详解】
又

因为，所以
所以，即
所以P、Q、R的大小关系为.
故答案为：
12、①②④
【解析】如图所示，取中点，则，，
所以平面，从而可得，故①正确；
设正方形边长为，则，
所以，又因为， 所以是等边三角形，故②正确；
分别取，的中点为，，连接，，．则，且，，且，则是异面直线，所成的角
在中，，，
∴
则是正三角形，故，③错误；

如上图所示，由题意可得：，则,
由可得，
据此可知：为二面角的平面角，
说法④正确.
故答案为：①②④.
点睛：(1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变
(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题
13、①
【解析】由题意知，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数在区间上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.
14、##
【解析】设出幂函数，代入点即可求解.
【详解】由题意，设，代入点得，解得，则.
故答案为：.
15、或.
【解析】利用一元二次不等式的求解方法进行求解.
【详解】因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
16、
【解析】由根式内部的代数式大于等于0，求得原函数的定义域，再求出内层函数的减区间，即可得到原函数的减区间
【详解】由，得或，
令，该函数在上单调递减，而y＝是定义域内的增函数，
∴函数的单调递减区间为
故答案为：

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）利用函数单调性的定义证明即可.
（2）分类讨论，当时，恒大于等于，不成立，当时，分别求出时和时的值域，将题意等价于，从而得到答案.
【详解】（1），
任取，且，

因为，所以，，，
又因为
所以，即.
所以时，在上是增函数.
（2）①当时，即，恒大于等于，
，故不成立.
②当时，即，在上是增函数，
若时，，所以的值域为，
若时，值域为，则值域.
若存，使，
等价于，
所以，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18、（1）
（2）
【解析】（1）当时，，当时，函数的值最小，求解即可；
（2）由于，分，，三种情况讨论，再结合题意，可得实数的值
【小问1详解】
解：依题意得

若，则
又，所以的值域为
所以当时，取得最小值为
小问2详解】
解：∵∴
所以
当时，，所以，不符合题意
当时，，解得
当时，，得，不符合题意
综上所述，实数的值为.
19、96
【解析】，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥
试题解析：

如图，取CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN，用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥．所以V几何体＝V三棱柱＋V四棱锥．由题知三棱柱ABC­NDM的体积为V1＝×8×6×3＝72.
四棱锥D­MNEF体积为V2＝S梯形MNEF·DN＝××(1＋2)×6×8＝24，
则几何体的体积为V＝V1＋V2＝72＋24＝96.
点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数的运算性质及对数的运算性质计算即可得解；
（2）利用诱导公式化简，再化弦为切即可得解.
【详解】解：（1）原式；
（2）原式

.
21、（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【解析】(1)利用辅助角公式化简f(x)解析式即可根据正弦型函数的周期求解；
(2)求出g(x)解析式，根据正弦型函数的性质可求其在上的最值.
【小问1详解】
，
故函数的最小正周期；
【小问2详解】
，
，
∴，故，