陕西省汉中市汉台中学、西乡中学2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题含解析.doc

陕西省汉中市汉台中学、西乡中学2025-2026学年数学高一第一学期期末质量检测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．函数f（x）=sin（x+）+cos（x-）的最大值是（　　）
A. B.
C.1 D.
2．且，则角是（）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3．高斯是德国著名的数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数()，则函数的值域为（）
A. B.
C. D.
4．一种药在病人血液中量低于时病人就有危险，现给某病人的静脉注射了这种药，如果药在血液中以每小时80%的比例衰减，那么应再向病人的血液中补充这种药不能超过的最长时间为（）
A.1.5小时 B.2小时
C.2.5小时 D.3小时
5．已知，则的值为（ ）
A B.1
C. D.
6．学校操场上的铅球投郑落球区是一个半径为米的扇形，并且沿着扇形的弧是长度为约米的防护栏，则扇形弧所对的圆心角的大小约为（）
A. B.
C. D.
7．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8．集合，，则（）
A. B.
C. D.
9．设函数，若，则的取值范围为
A. B.
C. D.
10．不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知幂函数在上是增函数,则实数m的值是_________
12．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一族美丽的曲线（如图）．设点，连接，线段恰好被其中的两个幂函数的图像三等分，即有．那么_______

13．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它由四个全等的直角三角形围成，其中，现将每个直角三角形的较长的直角边分别向外延长一倍，得到如图2的数学风车，则图2“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为_______________

14．已知向量，且，则_______.
15．写出一个同时具有下列性质①②的函数______.（注：不是常数函数）
①；②.
16．在下列四个函数中：①，②，③，④．同时具备以下两个性质：(1)对于定义域上任意x，恒有；(2)对于定义域上的任意、，当时，恒有的函数是______(只填序号)
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知幂函数的图象过点.
（1）求出函数的解析式，判断并证明在上的单调性；
（2）函数是上的偶函数，当时，，求满足时实数的取值范围.
18．若函数在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”.
（1）函数是否有漂移点？请说明理由；
（2）证明函数在上有漂移点；
（3）若函数 在上有漂移点，求实数的取值范围.
19．如图，在四棱锥中，底面，，，，，是中点

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值
20．已知函数
（1）求的最小正周期；
（2）若，，求的值
21．运货卡车以千米/时的速度匀速行驶300千米，按交通法规限制(单位千米/时)，假设汽车每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元．（不考虑其他因所素产生的费用）
（1）求这次行车总费用(元)关于(千米/时)的表达式；
（2）当为何值时，这次行车的总费用最低？求出最低费用的值
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、A
【解析】先利用三角恒等变化公式将函数化成形式，然后直接得出最值.
【详解】
整理得，利用辅助角公式得，所以函数的最大值为，故选A.
【点睛】三角函数求最值或者求值域一定要先将函数化成的形函数.
2、D
【解析】直接由三角函数的象限符号取交集得答案.
【详解】由，可得为第二或第四象限角；
由，可得为第一、第四及轴非负半轴上的角
∴取交集可得，是第四象限角
故选：D
3、B
【解析】先利用换元思想求出函数的值域，再分类讨论，根据新定义求得函数的值域
【详解】()，
令，可得，
在上递减，在上递增，时，有最小值，
又因为，所以当时，，
即函数的值域为，
时，；
时，；
时，；
的值域是
故选：B
【点睛】思路点睛：新定义是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
4、D
【解析】设时间为，依题意有，解指数不等式即可；
【详解】解：设时间为，有，即，解得.
故选：D
5、A
【解析】知切求弦，利用商的关系，即可得解.
【详解】，
故选：A
6、A
【解析】直接由弧长半径圆心角的公式求解即可.
【详解】根据条件得：扇形半径为10，弧长为6，
所以圆心角为：.
故选：A.
7、A
【解析】由题意知原命题为假命题，故命题的否定为真命题，再利用，即可得到答案.
【详解】由题意可得“”是真命题，故或.
故选：A.
8、B
【解析】解不等式可求得集合，由交集定义可得结果.
【详解】，，
.
故选：B.
9、A
【解析】根据对数函数的性质单调递增，，列出不等式，解出即可.
【详解】∵函数在定义域内单调递增，，
∴不等式等价于，
解得，故选A.
【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，在解题过程中要始终注意函数的定义域，也是易错点，属于中档题.
10、D
【解析】化简不等式并求解即可．
【详解】将不等式变形为，解此不等式得或.
因此，不等式解集为
故选：D
【点睛】本题考查一元二次不等式解法，考查学生计算能力，属于基础题．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、1
【解析】因为幂函数在上是增函数,所以,解得,又因为,所以.故填1.
12、1
【解析】求出的坐标，不妨设，，分别过，，分别代入点的坐标，变形可解得结果.
【详解】因为，，，
所以，，
不妨设，，分别过，，
则，，
则，所以
故答案为：1
13、24:25
【解析】设三角形三边的边长分别为，分别求出阴影部分面积和大正方形面积即可求解.
【详解】解：由题意，“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形围成，其中，
设三角形三边的边长分别为，则大正方形的边长为5 ，所以大正方形的面积，
如图，将延长到，则，所以，又到的距离即为到的距离，
所以三角形的面积等于三角形的面积，即，

所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积，
所以“赵爽弦图”外面（图中阴影部分）的面积与大正方形面积之比为.
故答案为：24:25.
14、2
【解析】由题意可得解得.
【名师点睛】（1）向量平行：，,.
（2）向量垂直：.
（3）向量的运算：.
15、
【解析】根据函数值以及函数的周期性进行列举即可
【详解】由知函数的周期是，
则满足条件，
，满足条件，
故答案为：（答案不唯一）
16、③④
【解析】满足条件(1)则函数为奇函数，满足条件(2)则函数为其定义域上的减函数.分别判断四个函数的单调性和奇偶性即可.
【详解】满足条件(1)则函数为奇函数，满足条件(2)则函数为其定义域上的减函数.
①，f(x)奇函数，在定义域不单调；
②，f(x)是偶函数，在定义域R内不单调；
③，f(x)是奇函数，且在定义域R上单调递减；
④，满足为奇函数，且根据指数函数性质可知其在定义域R上为减函数.
综上，满足条件(1)(2)的函数有③④.
故答案为：③④.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1），在上是增函数；证明见解析（2）
【解析】（1）幂函数的解析式为，将点代入即可求出解析式，再利用函数的单调性定义证明单调性即可.
（2）由（1）可得当时，在上是增函数，利用函数为偶函数可得在上是减函数，由，，从而可得，解不等式即可.
【详解】（1）设幂函数的解析式为，
将点代入解析式中得，
解得，
所以，所求幂函数的解析式为.
幂函数在上是增函数.
证明：任取，且，则

，
因为，，
所以，即幂函数在上是增函数
（2）当时，，
而幂函数在上是增函数，
所以当时，在上是增函数.
又因为函数是上的偶函数，所以在上是减函数.
由，可得：，
即，
所以满足时实数的取值范围为.
【点睛】本题考查了幂函数、函数单调性的定义，利用函数的奇偶性、单调性解不等式，属于基础题.
18、（1）没有，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】(1)根据给定定义列方程求解判断作答.
(2)根据给定定义构造函数，由零点存在性定理判断函数的零点情况即可作答.
(3)根据给定定义列方程，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论计算作答.
【小问1详解】
假设函数有“漂移点”，则，此方程无实根，
所以函数没有漂移点.
【小问2详解】
令，，则，
有，即有，而函数在单调递增，因此，在上有一个实根，
所以函数在上有漂移点.
小问3详解】
依题意，设在上的漂移点为，则，
即，亦即，整理得：，
由已知可得，令，，则在上有零点，
当时，的图象的对称轴为，而，则，
即，整理得，解得，则，
当时，，0，则不成立，
当时，，在上单调递增，
又，则恒大于0，因此，在上没有零点.
综上得，.
【点睛】思路点睛：涉及一元二次方程的实根分布问题，可借助二次函数的图象及其性质，利用数形结合的方法解决问题.
19、（1）见解析；（2）.
【解析】（1）通过和得到 平面，利用等腰三角形的性质可得，可得结论；（2）过点作，垂足为，连接，证得是二面角的平面角，在中先求出，然后在中求出结论.
试题解析：(1)证明：在四棱锥中，因底面，平面，
故.由条件，，∴平面.
又平面，∴.
由，，可得.
∵是的中点，∴.
又，综上得平面.
（2）过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，在平面内的射影是，则
因此是二面角的平面角
由已知，可得．设，可得，，
，
在中，∵，∴，则 ，
在中，.
20、（1）
（2）
【解析】(1)根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式化简计算可得，
结合公式计算即可；
(2)根据同角三角函数的基本关系和角的范围求出，根据
和两角和的正弦公式直接计算即可.
【小问1详解】

最小正周期
【小问2详解】
，因为，，
若，则，不合题意，
又，所以，
因为，所以，
所以
21、（1）
（2）当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元
【解析】（1）先得到行车所用时间，再根据汽车每小时耗油费用和司机的工资求解；
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求解.
【小问1详解】
解：行车所用时间，汽油每小时耗油费用为元，司机的工资是每小时元，
所以行车总费用为：；
【小问2详解】
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，这次行车的总费用最低，最低费用为元.