湖南省岳阳县一中、汨罗市一中2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测试题含解析.doc

湖南省岳阳县一中、汨罗市一中2025-2026学年数学高一上期末学业质量监测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1和B1C所成的角是（ ）

A. B.
C. D.
2． (　　)
A.0 B.1
C.6 D.
3．已知，，则的值等于（）
A. B.
C. D.
4．已知，则下列结论中正确的是（）
A.的最大值为 B.在区间上单调递增
C.的图象关于点对称 D.的最小正周期为
5．已知两点，点在直线上，则的最小值为（）
A. B.9
C. D.10
6．若，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7．若，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.a，b大小不确定
8．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为
A. B.
C. D.
9．设函数，则（）
A.是偶函数，且在单调递增 B.是偶函数，且在单调递减
C.是奇函数，且在单调递增 D.是奇函数，且在单调递减
10．已知角的终边过点，若，则
A.-10 B.10
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知函数，若，则___________；若存在，满足，则的取值范围是___________.
12．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限
13．函数（且）的图像恒过定点______.
14．已知幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则f（27）的值为____________
15．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于__________
16．若则函数的最小值为________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．若函数f(x)满足f(logax)＝·(x－)(其中a＞0且a≠1).
(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；
(2)当x∈(－∞，2)时，f(x)－4的值恒为负数，求a的取值范围
18．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点.
（1）求，；
（2）求的值.
19．设为平面直角坐标系中的四点，且，，
（1）若，求点的坐标及；
（2）设向量，，若与平行，求实数的值
20．已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）当时，求m的取值范围
21．如图，平面，，，，分别为的中点．（I）证明：平面；（II）求与平面所成角的正弦值．
参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、D
【解析】正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，利用正方体的性质即得
【详解】由正方体的性质可知，，
∴四边形为平行四边形，

∴DA1∥B1C，
∴正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线AD1和面对角线DA1所成的角就是异面直线AD1和B1C所成的角，
∵四边形ADD1A1正方形，
∴直线AD1和DA1垂直，
∴异面直线AD1和B1C所成的角是90°
故选：D
2、B
【解析】首先根据对数的运算法则，对式子进行相应的变形、整理，求得结果即可.
【详解】，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关对数的运算求值问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，熟练掌握对数的运算法则是解题的关键.
3、B
【解析】由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可
【详解】由题,
,
故选：B
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题
4、B
【解析】利用辅助角公式可得，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.
【详解】；
对于A，，A错误；
对于B，当时，，
由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，B正确；
对于C，当时，，则关于成轴对称，C错误；
对于D，最小正周期，D错误.
故选：B.
5、C
【解析】根据给定条件求出B关于直线的对称点坐标，再利用两点间距离公式计算作答.
【详解】依题意，若关于直线的对称点，
∴，解得，
∴，连接交直线于点，连接，如图，

在直线上任取点C，连接，显然，直线垂直平分线段，
则有，当且仅当点与重合时取等号，
∴，故的最小值为.
故选：C
6、A
【解析】解两个不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】解不等式可得，解不等式可得或，
因为Ü或，
因此，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
7、B
【解析】根据作差比较法可得解.
【详解】解：因为

，
所以
故选：B.
8、D
【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积
【详解】根据题意，画出示意图如下图所示

因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q
因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值
即当DQ⊥平面ABC时体积最大
所以
所以
设球心为O，球的半径为R，则
即
解方程得
所以球的表面积为
所以选D
【点睛】本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题
9、D
【解析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数的单调性.
【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.
而，可知函数为定义域上减函数，
因此，函数为奇函数，且是上的减函数.
故选：D.
10、A
【解析】因为角的终边过点，所以，得，故选A.

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、 ①. ②.
【解析】若，则，然后分、两种情况求出的值即可；画出的图象，若存在，满足，则，其中，然后可得，然后可求出答案.
【详解】因为，所以
若，则，
当时，，解得，满足
当时，，解得，不满足
所以若，则
的图象如下：

若存在，满足，则，其中
所以
因为，所以，，所以
故答案为：；
12、二
【解析】由点P（tanα，cosα）在第三象限，得到tanα＜0，cosα＜0，从而得到α所在的象限
【详解】因为点P（tanα，cosα）在第三象限，所以tanα＜0，cosα＜0，
则角α的终边在第二象限，
故答案为二
点评：本题考查第三象限内的点的坐标的符号，以及三角函数在各个象限内的符号
13、
【解析】根据指数函数恒过定点的性质，令指数幂等于零即可.
【详解】由，.此时.
故图像恒过定点.
故答案为：
【点睛】本题主要考查指数函数恒过定点的性质，属于简单题.
14、3
【解析】根据幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2）求出a的值，再求f（27）的值.
【详解】幂函数f（x）=xa的图象经过点（8，2），则8α=2，∴α=，∴f（x）=，∴f（27）==3．故答案为3
【点睛】本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
15、4π
【解析】设点的坐标为（ 则 ，即（ 以点的轨迹是以 为圆心，2为半径的圆，所以点的轨迹所包围的图形的面积等于4π.即答案为4π
16、1
【解析】结合图象可得答案.
【详解】
如图，函数在同一坐标系中，
且，所以在时有最小值，即.
故答案为：1.

三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）见解析．（2）[2－，1)∪(1,2＋]
【解析】　试题分析：（1）利用换元法求函数解析式，注意换元时元的范围，再根据奇偶性定义判断函数奇偶性，最后根据复合函数单调性性质判断函数单调性（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题：即f(x)最大值小于4，根据函数单调性确定函数最大值，自在解不等式可得a的取值范围
试题解析：
(1)令logax＝t(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝ (at－a－t)
∴f(x)＝ (ax－a－x)(x∈R)
∵f(－x)＝ (a－x－ax)＝－ (ax－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数
当a＞1时，y＝ax为增函数，y＝－a－x为增函数，且＞0，
∴f(x)为增函数
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，y＝－a－x为减函数，且＜0，
∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数
(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数
由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，
只需f(2)－4≤0，即 (a2－a－2)≤4.
∴ ()≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，
∴2－≤a≤2＋.又a≠1，
∴a的取值范围为[2－，1)∪(1,2＋]
点睛：不等式有解是含参数的不等式存在性问题时，只要求存在满足条件的即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的对立面（如的解集是空集，则恒成立）)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即恒成立⇔，恒成立⇔.
18、（1），；（2）.
【解析】（1）根据三角函数的定义，即可求出结果；
（2）利用诱导公式对原式进行化简，代入，的值，即可求出结果.
【详解】解：（1）因为角的终边经过点，由三角函数的定义知
，

（2）诱导公式，得
.
19、（1），；（2）
【解析】（1）设，写出的坐标，利用列式求解点的坐标，再写出的坐标；（2）用坐标表示出与，再根据平行条件的坐标公式列式求解.
【详解】（1）设，因为，，，所以，得，则；
（2）由题意，，，所以，，因为与平行，所以，解得.
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用集合的交运算求即可.
（2）根据已知，由集合的交集结果可得，即可求m的取值范围
【小问1详解】
由题设，，而，
∴.
【小问2详解】
由，显然，
∴，可得.
21、（Ⅰ）略（Ⅱ）
【解析】（I）证明：连接， 在中，分别是的中点，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD
（Ⅱ）在中，，所以
而DC平面ABC，，所以平面ABC
而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE
由（Ⅰ）知四边形DCQP是平行四边形，所以
所以平面ABE， 所以直线AD在平面ABE内的射影是AP，
所以直线AD与平面ABE所成角是
在中， ，
所以
考点：线面平行的判定定理；线面角
点评：本题主要考查了空间中直线与平面所成的角，属立体几何中的常考题型，较难．本题也可以用向量法来做．而对于利用向量法求线面角关键是正确写出点的坐标和求解平面的一个法向量．注意计算要仔细、认真