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基本数学方法

导言：众里寻她千百废，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处。
考察数学思想方法是《数学科考试说明》中的一项基本要求，这是数学学科的特点所决定的。数学思想方法与课本中的数学知识相比，具有普遍性、概括性和深刻性。一方面，数学思想方法不能脱离具体的数学对象而独立的发挥作用，另一方面，在运用数学知识的过程中，又不可避免地涉及到数学思想方法。对数学思想方法的系统认识，能使我们从总体上深刻理解、全面把握数学知识。
数学思想与数学方法是不同的两个范畴．“方法”比较接近于操作，与经验的联系很密切；而“思想”则具有指导性，并且与一般方法论相衔接．数学方法在完成数学过程中的那些典型形式，包括一般地应如何处理数学对象、通过什么途径、如何进行变化来达到解决数学问题的目的．
本章的目的显然是为了系统地理解和掌握数学方法，从而使我们能有意识地
选择适当的方法解题．
高考中考查的数学方法主要有定义法、代入法、比较法(指比较大小)、配方法、数学归纳法、待定系数法、换元法、反证法、参数法等．

1．定义法

所谓定义法，就是直接利用数学定义解题的一种方法．
从本质上说，数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来的．因此用定义法解题，是最直接的方法．
那么，什么叫定义呢？
定义是揭示概念内涵的逻辑方法，也就是通过指出概念所反映的事物的本质
属性来明确概念的逻辑方法．
定义，是千百次实践后的必然结果，它科学地反映和揭示了客观世界的事物
的本质特点．简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象．
让我们回到定义中去！
例1．已知f(x)=－xn＋cx，f(2)=－14, f(4)=－252, 求y=的定义域并判定它在[，1)上的单调性．
解析：要判断函数的单调性，必须首先确定 n与c的值
解： ，
∴ f(x)=－x4+x, 由f(x)=－x4＋x＞0，得其解集为(0，1).
任取x1、x2∈[, 1)，并设x1<x2，
∴ f(x1)－f(x2)=－x14+x1+x24－x2=(x2－x1)[(x2+x1)(x22+x12)－1].
而x2－x1＞0，又(x2＋x1) (x22+x12)＞1．
∴ f(x1)－f(x2)＞0, 故f(x)在［，1)上单调递减，y=在定义域
上单调递增．
解题关键：关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性的判断，一般都是直
接应用定义．这就要求我们对这些定义必须有深刻的本质认识，对定义中给出的
每一个“词”要透彻理解．
例2．若an=lg, bn=a3n, 试写出{bn}的前三顶．并证明数列{bn}是等差数列。
解：b1=a3=lg, b2=a6=lg, b3=a9=lg,
∵ an+1－an=lg－lg=lg,
∴ 数列{an}是首项a1=lg, 公差d=lg的等差数列，a3n=a1+(3n－1)d,
a3n－a3(n－1)=[ a1+(3n－1)d]－[a1+(3n－4)d]=3d=3lg (常数)
∴ {bn}是等差数列，
解题关键：证明一个数列是等差(或等比)数列，必须根据定义：an+1－an=d, d为常数 (或=q, q为常数且q≠0)，而巧用等差(或等比)数列的定义，更是简化计算的有力手段。

2．代入法

例1．若0<b<a，且a＋b=1，则四个数字，a，2ab，a2+b2中，最大的是( ).
A． B．a C．2 ab D．a2+b2
提示：作为只有一个选择支正确的选择题，可用特殊值代人的方法加以判
断．取a=，b=．易见选(B)．
解题关键：代入法的另一类应用，是用于排除不合理的推测、选项等．
例2．已知a、b、c∈C，a＋b＋c=0，a2+b2+c2=0．求证：|a|=|b|=|c|.
证： a=－(b＋c)，代人另式得[－(b＋c)]2＋b2＋c2=0b2+c2+bc=0，
由之，解出b=(－±i)c, 取其模可得|b|=|c|，同理|a|=|b|，因此|a|=|b|=|c|.
解题关键：代人法是经常用到的数学方法，从上例可看出，代人能充分应
用等式的条件，并起消元作用，从而使问题变得更加明确，易于发现解题途径。

3．比较法

我们平时所说的比较法，只是单纯地作差(与0比)或作商(和1比)，而作差
更具有普遍性．作商时必须注意所比的两个数(或式)的符号．
事实上，要比较两个数的大小，许多时候仅用作差比商的方法是绝对不能解
决问题的，在作差或比商的基础上，还必须应用不等式证明时的一切方法．我们为了把问题阐述得更清楚、透彻，也为了所讲的内容更具有实用的意义和价值，不妨将“比较法”理解成“比较两数(或式)的大小的方法”更科学和实际．那么这样一来，与“比较法”的真实含义就出入颇大了．
例1．已知f(x)=ax－1．(a>1)，试比较3f－1(x)与f－1(3x)的大小．
解：f－1(x)=loga(x＋1) (a＞1，x>－1)．
3f－1(x)=3foga(x＋1)=loga(x＋1)3．f－1(3x)=loga(3x＋1)，(x＞－)．
要比较 3f－1(x)与f－1(3x)的大小，由于 a>1，y=logax单调递增, 因此只须比较(x＋1)3与3x＋1的大小．
∵ (x＋1)3－(3x＋1=x2(x＋3)＞0 (x＞－)
∴ 3f－1(x)＞f－1(3x)，当且仅当x=0时取“=”．
解题关键：在x的许可值范围内比较大小，实际上是对欲比的代数式作了
适当的限制与约束．就本题而言，正确地确定自变量x的取值范围，是不能缺少的重要步骤．当然，错把x的范围当成(－1，＋∞)，虽然其结果不变，但推理过程至少是不严谨的．
比较法是不等式证明的基本步骤和方法之一．它遵循“作差(或比商)——变
形——判断”的解题规律．作差之后的配方或因式分解，有时确实是判断“差”的符号的关键。
例2．设数列{an}为等比数列，公比q＞0且q≠1，若A=a1＋a2＋……＋an, B=，C=，试比较 2BnC2与 An之大小．
略解： A=a1＋a2＋……＋an=，
B==，C==,
∴ 2BnC2－An＝
∵ qn－1与q－1同号、故
(1) 当a1>0时，2BnC2与>An ；
(2) 当a1<0时，若n为偶数，2BnC2>An ，若n为奇数，2BnC2<An ．
注：对a1分类讨论，还不可能彻底解决问题，当a1<0时，n的奇偶性决定了所比的两个表达式的大小．

4．配方法

配方是一种基本而重要的恒等变形的手段．许多时候，它是解答全题的关键
一步，而正是这一步，才为我们解完全题创造了条件．
配方，它被广泛地应用于数学的各个方面、各种场合．什么时候需要配方？往往要靠我们去“适当地预测”．
为了“配”，需要“凑”；“凑”是配的前奏，“配”是“凑”的目的．
在解题中，需要的时候，能否熟练地应用“配方法”，某种程度上体现了一个人的分析和运算的能力．
例1．一个首项为正数的等差数列，若S3=S11，那么这数列前多少项和为最大？
解：设此等差数列首项为a1，公差为d，
依题意有3a1＋3d=11a1＋55d2a1=－13d，
则数列的前n项和Sn=na1＋＝na1－n(n－1)= [49－(n－7)2].
∵ a1＞0，∴ 当n=7时，Sn为最大．
解题关键：配方是常用的一种变形方式．中学阶段的主要要求是掌握如何配平方．配方的目的为：(1) 判定一个代数式的正负；(2) 运用二次函数的有关性质；(3) 有利于二次方程的讨论；(4) 使用含有平方式的公式(例如两点距离公式
等)．
例2．设方程x2+2kx+4=0的两个实根为x1、x2，若≥3成立，求实数k的取值范围．
解：=≥3，
由韦达定理知：x1＋x2=－2k，x1x2=4，
于是便有(k2－2)2≥5，k≥或k≤－,
又∵ x1、x2是方程的实根，∴ △≥0，∴ 4k2－16≥0，即k≥2或k≤－2．
综合起来，k的范围是[, +∞)∪(－∞, －].
解题关键：关于实系数一元二次方程的问题，总是先考虑“△”，然后恰当地应用韦达定理．对于本题，去掉了对“△”的讨论，虽然结果相同，但解答是不完整、不严密的．而绝大部分的问题，由“△”首先来确定一元二次方程中参数的取值范围，它是必不可缺少的决定性的步骤．
从不等式≥3的结构特征必然联想到配方．这样就为我们应用韦达定理扫清了障碍．
思考一：已知实系数方程x2＋x+p=0的两根α、β有|α－β|=3，则p的值
为( )
A．－2 B．2.5 C．－2或2.5 D．以上都不对
解析：选 A还是选 B？
如果读者意识到实系数方程的根可能是实数也可能是虚数，那么显然A、B
都不是所求的p值，C与D到底谁正确呢？运算中少不了配方．选C
思考二：复数z1、z2满足10z12+5z22=2z1z2，且z1+2z2为纯虚数，求证：3z1－z2∈R.
解析：等式10z12+5z22=2z1z2，使我们联想到配方是当然的事，而z1＋2z2与3z1－z2又提示我们去恰到好处地“配”、“凑”系数.
证明：10z12+5z22－2z1z2=(3z1－z2)2＋(z1＋2z2)2=0，
∵ z1＋2z2为纯虚数，∴ (z1＋2z2)2＜0．
则 (3z1－z2)3＞0，可知3z1－z2R.
注：抓住特殊常数，有目的地“配”与“凑”，必须具备较深刻的观察能力．
例3．△ABC中，S是它的面积，a、b是它的两条边的长，S=(a2+b2), 求这三角形的各内角．
解：由absinC=(a2+b2) a2+b2－2absinC=0,
a2－2absinC+b2sin2C+b2cos2C=0,
(a－bsinC)2+b2cos2C=0 ,
∠A=∠B=45°, ∠C=90°.
几道例题，绝不可能将配方法的应用的广泛性和变换的灵活性表达得淋漓尽
致．更深刻的感受，还在以后的应用中逐步强化．
配方法是恒等变形的一种基本技巧，它在关键的时候把问题的结构特征暴露
出来．学会熟练地运用配方法，这是数学解题的最基本的要求．

5．待定系数法

正如配方法一样，待定系数法也是中学数学中最基本方法之一．
它的理论根据是多项式恒等实现(即两个多项式恒等的充要条件)，
由于它的应用的广泛性和它在中学数学中的突出作用，我们已经将它理解为
一种解题的重要策略．把待定系数法提高到一种思想方法上来认识，足见这在中
学数学中的突出的地位．
例1．已知函数y=的最大值为7，最小值为－1，求此函数
的解析式．
解析：求函数解析式，实际上是确定系数m、n的值．
有些问题的本身并未指明要用待定系数法，甚至问题的解决也并非十分直观
地应用了多项式恒等的原理，它只是反映了应用这一方法的一些基本思想，我们也将这一类解决问题的方法称为待定系数法，它是广义的．
解：将函数式变形为： (y－m)x2－4x＋(y－n)＝0．
∵ x∈R, ∴ △=(－4)2－4(y－m)(y－n)≥0，
即y2－(m＋n)y＋(mn－12)≤0, ①
这时y=m也成立．要使函数有最大值7，最小值－1，亦就是－1≤y≤7，显然(y＋1)(y－7)≤0，就是 y2－6y－7≤0 ②
比较①②的系数得方程组：，∴ 或,
故所求函数的表达式为：y=, 或y=.
例2．已知复数z=1+i, ，|ω|=2, 且z2ω3是虚部为负数的纯虚数，求复数ω.
解：设z2ω3=－ai(a∈R), 则|z2ω3|=a得a＝16.
于是 ω3==－8=8(cosπ+isinπ),
∴ω=2[cos+isin] (k＝0，1，2)，
∴ ω1=1＋i，ω2=－2，ω3=1－i．
(设ω=2(cosθ+isinθ)，再由sin3θ=0且cos3θ<0也可得ω).
解题关键：待定系数法的理论原属于多项式的恒等定理，在实际应用中已 超出这个原理的范围．只要我们知道一个代数模型(方程、代数式、函数等)所具有的一般形式，便可以由它所需要满足的具体条件，逐步对一般形式中的某些常量或参数加以确定，从而得到一个具体形式．在这一过程中，常常伴随着代入法和解方程或方程组．

6．换元法

解数学问题时，通过引入一个或几个新变量代替原来的变量，使得代换后的问题中包含这些新变量的方法称为换元法(也称变量代换法)，用这种方法解题的
目的是变换研究对象，其实质是移问题至新对象的知识背景中去研究，达到化难
为易，化繁为简的目的．
例1．求函数y=2+4－x (x≥0)的值域．
解析：求函数的值域当然是在定义域上进行的．在多种多样的方法中，哪一种最好呢？我们先别管方法的优劣，把能够想到的思路全部提出来，集中精力考虑一个问题：解答此题，能得到多少锻炼！
思路一：由启发我们用三角代换．
令x=3tanθ, θ∈(0, )，则y=6secθ－3tanθ＋4，
怎样来y的值域呢？只须求2secθ－tanθ的值域就可以了,而这里最自然的想法就是．
设 z=2secθ－tanθ=>0, ∴ zcosθ+sinθ=2,
sin(θ+α)=, 由||≤1得z2≥3，
∴ zmin=，ymin=4+3，y∈[4＋3，＋∞)．
其实，从z=的结构特征上，还有一个最基本的联想是直线的斜率公式．定点(0，－2)和单位圆x2＋y2=1(x＞0且y≥0)上的点的连线的斜率，只相差一个负号！
于是令a=, θ∈[0, )，由数形结合知z的最小值为.
我们要求读者要仔仔细细地推敲所给条件中的每一个字母、每种表达式，从而激发解题的灵感的火花．
思路二：令t=y－4，则x＋t=2,
(这种换元的真正的目的；为变形或有理式创设条件)．
两边平方有 3x2－2tx＋36—t2=0,
由x≥0知方程有非负实数解，因此 或者f(0)≤0,
又t>0；故t≥3，就是y≥4＋3.
(置函数于方程中，强化方程区间根的讨论，何况t=y－4的换元是何等巧妙)
思路三：设＝x+t, (0<t<3), 则x=, 而y=2+4－x就转化成：y=t++4≥4＋2=4+3，等号当且仅当t=．即x＝时取得，
∴ y∈[4＋3, +∞)．
解题关键：从不同的角度去思考问题，就可以产生出不同的换元的方法．用任何一个新变量来代替原来的变量，目的总是使得思路更加通畅，问题更加易于解决．我们既要熟练一般最常见的换元法，也要掌握某些独特的换元技巧，它的确能发展我们的智力品质．
例2．解关于x的不等式>a－2x，a＜0．
解：设t=，得x=a－, t≥0．
∴ a<0，由已知不等式化简得2t2－at－a2＞0，∴ t＞－,
再由>ha＞－，解得x>a．
解题关键：通过引入一个或若干个新的变量去替代原有的变量、表达式，其目的为：(1) 变繁为简：通过符号形式的变化，揭示问题的实质，而不至被繁多的数学符号所困惑；(2) 变生为熟：通过代换，把较难的、不熟悉的问题化解为若干个为我们所熟知的小问题．

7．反证法

牛顿说：“反证法是数学家最精锐的武器之一．”这就充分肯定了这一方法的积极作用和不可动摇的重要地位．
反证法的核心是从求证结论的反面出发，导出矛盾的结果．因此如何导出矛
盾，就成了反证法的关键所在．
出现矛盾的方式通常有：与公理定义矛盾；与已知条件或临时假设矛盾；与显然的事实矛盾；自相矛盾等．
反证法可分为归谬反证法和穷举反证法两种．若命题的结论的反面只有一种
情况就能肯定结论，这种反证法叫归谬法；若命题的结论的反面不只一种情况，则需将反面情况—一推翻才能肯定结论，这种反证法叫穷举法．
例1．设复数m=1－cosθ＋isinθ, θ∈(0, 2π)，n=a2＋ai (a∈R)，若m·n
是纯虚数，则m＋n不可能是实数．
证明：假设m＋n∈R,
∵ m· n=(1－cosθ＋isinθ)(a2＋ai=[a2(1－cosθ)－asinθ]+[a2sinθ+a(1－cosθ)]i为纯虚数．∴ ,
由②得a≠0，再由0<θ<2π 得1－cosθ≠0，sinθ≠0．
∴ a=, 而m＋n=(1－cosθ+a2)+(a＋sinθ)i∈R,
则a＋sinθ=0．a=－sinθ.
代入a=有=－sinθ又sinθ≠0,
∴ 1－cosθ=－1，cosθ=2，这是不可能的．
∴ 假设错误．m＋n不可能是实数．
解题关键：含有否定词的命题，都用反证法好．
思考：已知二项式(x＋x－1)m与(x＋x－1)n+1, (m∈N, n∈N)，求证：当m=n时，这两个二项式的展开式中不可能同时含有常数项．
证：两个展开式的通项分别是：
Tr+1=, T’k+1=, 假设它们都含有常数项，则有m=2r，n=2k+1．又m=n, 这是不可能的，矛盾表明假设是错误的，原命题成立．
例2．如图，设 SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点．求证：AC与平面SOB不垂直．
证明：假设 AC⊥平面SOB，那么由SO⊥底面 AOB得平面SOB⊥平面AOB，平面SOB∩平面AOB于直线OB，作AD⊥OB于D，则 AD⊥平面 SOB，又 AC⊥平面SOB，故AD//AC这与“AD与AC相交于点A”矛盾，所以假设不成立，则AC与平面SOB不垂直．
解题关键：反证法是一种重要的数学证题法，它是以排中律为依据(“A”是“B”与“A”不是“B”两者必居其一)，不直接证明“A”是
“B”，而从反面证明“A”不是“B”不对，从而肯定“A”是“B”是对的．反证法在证明否定性命题，存在性和推一性问题时常常被采用，其证题过程大致分为三步：(1) 作出与原结论相反的假设；(2) 从假设出发，推出结果矛盾(至于与谁矛盾，事先难以预料，这是运用反证法解题的一个难点)；(3) 否定假设，肯定命题正确，三步中关键是第二步．
例3．设函数 f(x)、g(x)在[0，1]上定义，证明：存在x0，y0∈[0，1]，使得
|x0y0－f(x0)－g(y0)|≥成立．
解析：存在x0，y0∈[0，1]，使得|x0y0－f(x0)－g(y0)|≥成立的反面结论是什么？ 任意的x，y∈[0，1]，均有|xy－f(x)－g(y)|<．
对任意的x、y不等式均成立，那么特殊的应该毫无疑问了．
证明：设对于任意的x、y都有|xy－f(x)－g(y)|<成立，则特殊地，取x=0, y=0；x=1, y=0；x=0, y=1；x=1, y=1. 就有．
|0－f(0)－g(0)|<, |0－f(1)－g(0)|<, |0－f(0)－g(1)|<, |1－f(1)－g(1)|<.
以上四个式子相加得
+++>|0－f(0)－g(0)|+ |0+f(1)+g(0)|+ |0+f(0)+g(1)|+ |1－f(1)－g(1)|
≥|0－f(0)－g(0)+ 0+f(1)+g(0)+ 0+f(1)+g(0)+1－f(0)－g(0)|=1
这是不可能的，矛盾表明原结论成立，即存在x0、y0∈[0，1]，使得|x0y0－f(x0)－g(y0)|≥成立.
解题关键：本题是一个肯定型的存在性命题，当我们去寻求x0、y0∈[0，1]满足不等式|x0y0－f(x0)－g(y0)|≥有困难时，于是便去构造命题的反面情况．

8．数学归纳法

对某类事物部分或全体的观察研究发现它们具有某种属性，从而推出这类事
物整体都具有这种属性，这种推理方法，称为归纳法．
归纳法是从特殊到一般的研究方法．
在数学中证明与自然数有关的命题时，常用数学归纳法．
数学归纳法是一种递推的方法．先验证n等于第一个值n0时命题成立，再假设n=k时命题成立．然后证明n=k＋1时也成立．这两步缺一不可．第一步是递推的基础，第二步是能无限递推下去的理论依据．
由于事物的普遍性附于事物的特殊性之中，因此，在需要研究某一对象时，我们常从研究各个个别对象的特征、属性开始，进而去猜想整个对象集所具有的共性，接着用数学归纳法证明猜想的正确性．因此，猜想和归纳，总是紧紧相随的．
例1．设抛物线y=与x轴围成部分的内接正三角形A1，A2，…，An的边长为an，它在抛物线上的顶点为Pn，
(1) 用数学归纳法证明：若Ln=,
则Ln=n(n＋1)
(2) 记线段PnPn+1长为rn，求．
证明：设等边三角形在x轴上的交点为Qk，k=1，2, ……，n,
(1) OP1所在直线方程为=x，联立 y=,
∴ Q1=L1=|OP1|=·=, 初始条件成立．
假设 n=k肘，有 Lk＝k(k+1)
那么n=k+1时, QkPk+1所在直线方程为y=[x－],
联立 y=(k+1),
∴ Lk+1=k(k+1)+(k+1)·=(k+1)(k+2),
对于一切n∈N，命题成立．
(2) 在△PnQnPn＋1中，由余弦定理知
|PnPN+1|2=|PnQn|2+|QnPn+1|2－2|PnQN||QnPn+1|cos60°
=(n)2+[(n+1)]2－2·n·(n+1)·=(n2+n+1),
因此有=[(12+22+……+n2)+(1+2+……+n)+n],
∴ =(n2+3n+5).
解题关键：几何数列，特别要注意解题的严密性．当我们去验证n=k+1也成立时，怎样合理地应用几何性质，往往是成败的关键．
例2．已知数列{an}的首项为1，以后各项由递推式an＝1十 (n≥2)给出，求证：当n为偶数时，an＞an+2，n为奇数时，an＜an+2.
解析：与自然数的奇偶性有关的命题，往往须分奇、偶来讨论．
略证：由an＝1十＝1＋= (n∈N，n＞2)．
易知，a2＞a4，假设a2n＞a2n+2,
那么a2n+2－a2n+4=－=， (*)
只须证 an>0，则(*)由归纳假设知a2n+2－a2n+4＞0，这就是说，n为偶数时
有an＞an+2．
同理可知，n为奇数时，an＜an+2.
证明an＞0，同样用归纳法，请读者自行完成．
解题关键：将递推式变形成an=, 完全从问题的结论中激发灵感，不是要分奇偶讨论吗？因此建立间隔项之间的递推关系也就顺理成章．
例3．设f(x)=x3十x，用归纳法证明，对一切x∈Z．f(x)∈Z。
解析：一些函数与数列的基本性质都可以被巧妙地应用到归纳法的证明中来．拆项与添项，又是归纳法证明中经常应用的恒等变形的手段．
证：x=0，f(0)=0∈Z.
x=1时，f(1)=+=1∈Z命题成立．
假设n=k时, 命题成立 (k∈N), 那么x=k+1时，
f(k+1)=(k+1)3+(k+1)=k3+k+k2+k+1.
由k∈N, 知 ∴f(k+1)∈N.
∴ 当x∈N时，命题成立．
而f(x)为奇函数，因此当x<0，x∈Z时，f(－x)=－f(x)∈Z这就是说，对
于x∈Z，f(x)∈Z成立．
解题关键：应用函数的奇偶性，十分巧妙地实现了我们希望达到的目的．
思考：用数学归纳法证明：an－nabn－1＋(n－1)bn能被(a一b)n整除(n＞2，n
∈N)．
请读者自己熟悉拆项、添项等恒等变形的技巧．

9．参数法

随着近代数学观念的更新，这种变化的思想已成为数学的基本思想之一．参
数的观点已渗透到中学数学各个分支，用参数方法解题也相当普遍．
什么是参数方法呢？
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目中研究的数学对象发生
联系的新变量——参数，以此作为“媒介”，再进行分析和综合，从而使问题得到解决的方法．
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证．
参数具有奇异活力，它能协调、制约主元变量的变化，揭示被研究数学对象瞬间的变化状态，沟通条件与结论之间的联系，达到化繁为简的目的．
例1．设函数f(x)对任意的x、y∈R都有f(x)＋f(y)且当x＞0时，f(x)＜0，试判断f(x)的单调性。
解析：判断f(x)的单调性，当然必须根据单调性的定义．常规思路：任取
x1、x2∈R，令x1＜x2，则x2－x1＞0，故f(x2－x1)＜0．
∵ f(x2)=f[(x2－x1)＋x1]=f(x2—x1)十f(x1), ∴ f(x1)>f(x2), f(x)在R上单调递减．
还有没有别的思路呢？
由x2＞x1, 设x2=x1+t (t>0),
f(x2)=f(x1＋t)=f(x1)十f(t)＜f(x1)．故f(x2)＜(x1)．
∴ f(x)在R上单调递减．
引进参数t，这是一种新的思维．
在有关不等式的命题中，这种思想方法是经常被应用的．
思考：实数a、b、c满足a＋b＋c=1，求a2＋b2＋c2的最小值．
分析：由a＋b＋c＝1，引进参数t1、t2、t3使得a=+t1，b=+t2，c=+t3.
t1+t2+t3=0,因此a2＋b2＋c2=(+t1)2＋(+t2)2＋(+t3)2
=+(t1+t2+t3)+t12+t22+t32≥
所求的最小值为．
我们绝不是去一味地欣赏这种引进参数的技巧和解题过程的标新立异，而只是希望读者能对参数法解题有一个比较深刻的具体的认识，在充分领略了它的特
殊魅力之后，去自觉地熟悉和积极地使用．
活用参数，这是解题能力的一种提高．
例2．如图，线段 QR的一端Q沿椭圆(a＞b＞0)在第一象限中的弧段中从B运动到A，点R同时沿x轴正方向移动，已知|QR|=b，求线段QR中点P的轨迹方程．
解：设Q(acosθ, bsinθ)，θ∈[0，]，R(t，0)，
这里θ, t都是参数，由|QR|=b得(acosθ－t)2+b2sin2θ=b2, 即 |acosθ－t|=bcosθ.
∵ t≥acosθ，∴ t=(a＋b)cosθ
又P是QR的中点，故得参数方程：,
消去θ得普通方程 (x≥0, y≥0)
解题关键：用参数求曲线的轨迹方程，关键在于选参数．根据对动点的运动形式、特点作认真的分析，恰当地引进参数，可使求轨迹方程的过程大大简化．
数学解题中恰到好处地引进参数，能沟通已知与未知内在的联系，利用参数提供的信息，顺利地建立起通向彼岸的桥梁，起到天堑变通途的作用．
以上几例可以看出参数在解题中的想力，同时也体现出：“俏也不争春，只把春来报，待到山花烂漫时，她在丛中笑。”这不也正告诉我们，如何学会做人吗？！
练习题
1．已知1≤x2+y2≤2，则 ≤xy≤ ．
2．再用数学归纳法证明某命题时，左式为+++……+, 从k到k+1时，左边需增加的代数式是 ．
3．如果函数y=Asin(ωx++φ)(A＞0，ω≠0)的图象关于y轴对称，则φ= .
4．函数f(x)=的最大值是 ．
5．若4<k<9，则方程=1表示( ).
A．焦点在x轴上的椭圆 B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线
6．设(1＋x＋x2)n=a0+a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则 |a1＋a2＋……+a2n－1|=( ).
A．2n B．2n＋1 C． D．
7．若a∈R，P=, Q=a2－a＋1，比较P与Q的大小．
8．设0<a<1，比较a、aa、的大小．
9．若y=－x2＋2ax＋b的顶点在直线mx－y＋2m＋1=0上移动，且与抛物线 y=x2有公共点，求实数m的变化范围．
10．在直角坐标平面内，有A(－1，2)，B(0，3)，C(4，1)三个点，试求一点P使|PA|2＋| PB|2＋|PC|2为最小．
11．设p=(k∈R)，求p的最大值与最小值.
12．从一张边长是2a的正方形铁皮的各角上截去相等的方块，把余下的部
分做成无盖的盒子，试问截去的方块的边长为多少时才能得到最大容积的盒子．
13．若方程mx2－x＋m－1=0的两根中一根大于1，另一根小于1，求实数
m的取值范围．
14．是否存在常数a、b，使等式+
=对人以自然数n都成立。
15．设函数f(x)=－3b2sin2x－3bsinx+4b2+ (b>0)的最大值等于7，求b.
参考答案