2025-2026学年北京市第四十四中学数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

2025-2026学年北京市第四十四中学数学高二上期末达标检测试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列中，，则的公差为（ ）
A.1 B.2
C.3 D.4
2．下列命题错误的是()
A.命题“若，则”的逆否命题为“若，则”
B.命题“若，则”的否命题为“若，则”
C.若命题p：或；命题q：或，则是的必要不充分条件
D.“ ”是“”的充分不必要条件
3．等差数列中，已知，则（）
A.36 B.27
C.18 D.9
4．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为()
A. B.
C. D.
5．函数在处的切线方程为()
A. B.
C. D.
6．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（）
A. B.
C. D.1
7．圆与直线的位置关系为（）
A.相切 B.相离
C.相交 D.无法确定
8．如图①所示，将一边长为1的正方形沿对角线折起，形成三棱锥，其主视图与俯视图如图②所示，则左视图的面积为（）

A. B.
C. D.
9．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的值为（）
A.1 B.
C.或1 D.或
10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（即百分比）为“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分别分得，，，，递减的比例为，那么“衰分比”就等于，今共有粮石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和为石，则“衰分比”为（ ）
A. B.
C. D.
11．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种
C.240种 D.480种
12．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）
A.192 里 B.96 里
C.48 里 D.24 里
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，，，则______
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点，垂直于轴，且为等腰三角形，则椭圆的离心率为__________
15．已知分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对
16．已知数列的前项和.则数列的通项公式为_______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在区间上有唯一的零点.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）证明：.
18．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F，点A（a，0），且|AF|＝1
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点F的直线l（不与x轴重合）交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别与直线x＝4交于点P，Q，求∠PFQ的大小
19．（12分）已知点，圆.
（1）若直线l过点M，且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程；
（2）设O为坐标原点，点N在圆C上运动，线段的中点为P，求点P的轨迹方程.
20．（12分）如图，在四棱锥中中，平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
21．（12分）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（1）已知样本中分数在[40，50）的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；
（2）试估计测评成绩的75%分位数；
（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例
22．（10分）如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点

（1）求证：平面平面；
（2）求点到平面的距离
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】根据等差数列性质可得方程组，求得公差.
【详解】等差数列中,,，由通项公式可得

解得
故选：A
2、C
【解析】根据逆否命题的定义可判断A；根据否命题的定义可判断B；求出、，根据充分条件和必要条件的概念可以判断C；解出不等式，根据充分条件和必要条件的概念可判断D.
【详解】命题“若，则”的逆否命题为“若，则”，故A正确；
命题“若，则”的否命题为“若，则”，故B正确；
若命题p：或；命题q：或，则：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要条件，故C错误；
或x＜1，故“ ”是“”的充分不必要条件，故D正确.
故选：C.
3、B
【解析】直接利用等差数列的求和公式及等差数列的性质求解.
【详解】解：由题得.
故选：B
4、C
【解析】将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围
【详解】，
，
当且仅当时取等号，
故
故选：C
5、C
【解析】利用导数的几何意义即可求切线方程﹒
【详解】，
，，
，
在处的切线为：，即﹒
故选：C﹒
6、A
【解析】先表示出渐近线方程，设出点坐标，利用，解出点坐标，再按照面积公式求解即可.
【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为，不妨设在上，设，由得，
解得，的面积为.
故选：A.
7、C
【解析】先计算出直线恒过定点，而点在圆内，所以圆与直线相交.
【详解】直线可化为，所以恒过定点.
把代入，有：，
所以在圆内，所以圆与直线的位置关系为相交.
故选：C
8、A
【解析】由视图确定该几何体的特征，即可得解.
【详解】由主视图可以看出，A点在面上的投影为的中点，
由俯视图可以看出C点在面上的投影为的中点，
所以其左视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边长为，
于是左视图的面积为
故选：A.

9、B
【解析】利用定义法进行判断.
【详解】把代入，得：，解得：或.
当时，可化为：，解得：，此时“”是“”的充要条件，应舍去；
当时，可化为：，解得：或，此时“”是“”的充分不必要条件.
故.
故选：B
10、A
【解析】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可
【详解】根据题意，设衰分比为，甲分到石，，
又由今共有粮食石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，
已知乙分得90石，甲、丙所得之和为164石，
则，，
解得：，，
故选：A
11、C
【解析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
12、B
【解析】由题可得此人每天走的步数等比数列，根据求和公式求出首项可得.
【详解】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得，解得，
第此人第二天走里.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##0.2
【解析】根据二项分布的均值和方差的计算公式可求解
【详解】依题意得X服从二项分布，则，解得，
故答案为：
14、.
【解析】通过垂直于轴,可以求出，由已知为等腰三角形，可以得到，结合关系，可以得到一个关于离心率的一元二次方程，解方程求出离心率.
【详解】∵垂直于，∴可得，又∵为等腰三角形，
∴，即，整理得，解得.
【点睛】本题考查了求椭圆离心率问题，关键是通过已知条件构造出关于离心率的方程.
15、0
【解析】计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.
【详解】因为，
，
.
所以中任意两个向量都不垂直，即α，β，γ中任意两个平面都不垂直
故答案为：0.
16、
【解析】根据公式求解即可.
【详解】解：当时，
当时，
因为也适合此等式，所以.
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.
【解析】（1）求出，，利用导数的几何意义即可求得切线方程；
（2）（ⅰ）根据题意对参数分类讨论，当时，等价转化，且构造函数，利用零点存在定理，即可求得参数的取值范围；
（ⅱ）根据（ⅰ）中所求得到与的等量关系，求得并构造函数，利用导数研究其单调性和最值，则问题得证.
【小问1详解】
当时，，则，故，，
则曲线在点处的切线方程为.
【小问2详解】
（ⅰ）因为，故可得，
因为，则当时，，则，无零点，不满足题意；
当时，若在有一个零点，即在有一个零点，
也即在有一个零点，又，则单调递增，
则只需，解得.
综上所述，若在区间上有唯一的零点，则；
（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在区间上有唯一的零点，则，
也即，则，
令，则，
又在都是单调增函数，故是单调增函数，
又，故，则在单调递增，则，
故，即证.
【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点以及最值；处理问题的关键是合理转化函数零点问题，以及充分利用零点存在定理，熟练掌握构造函数法，属综合困难题.
18、（1）
（2）∠PFQ＝90°
【解析】（1）由题意得求出a，c，然后求解b，即可得到椭圆方程
（2）当直线l的斜率不存在时，验证，即∠PFQ＝90°．当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0．联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理，结合直线MA的方程为．求出、．利用向量的数量积，转化求解即可
【小问1详解】
由题意得
解得a＝2，c＝1，
从而，
所以椭圆C的方程为
【小问2详解】

当直线l的斜率不存在时，有，，P（4，﹣3），Q（4，3），F（1，0），
则，，故，即∠PFQ＝90°
当直线l的斜率存在时，设l：y＝k（x﹣1），其中k≠0
联立得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0
由题意，知Δ＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，
直线MA的方程为，
令x＝4，得，即，同理可得
所以，
因为
0，所以∠PFQ＝90°
综上，∠PFQ＝90°
19、（1）或
（2）
【解析】（1）由直线被圆C截得的弦长为，求得圆心到直线的距离为，分直线的斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.
（2）设点，，根据线段的中点为，求得，结合在圆上，代入即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，圆，可得圆心，半径，
因为直线被圆C截得的弦长为，
则圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
【小问2详解】
解：设点，
因为点，线段的中点为，可得，解得，
又因为在圆上，可得，即，
即点的轨迹方程为.
20、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）根据平面得到，结合得到证明。
（2）建立空间直角坐标系，计算各点坐标，计算平面的法向量，根据向量的夹角公式得到答案。
【小问1详解】
由于平面，平面，所以，
由于，又，所以平面
【小问2详解】
两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

，，，，，
设平面的一个法向量为
设平面的一个法向量为，
由，得，故可取
所以
所以二面角的平面角的余弦值
21、（1）20人（2）
（3）
【解析】（1）根据频率分布直方图先求出样本中分数在[40，90）的频率，即可解出；
（2）先根据频率分布直方图判断出75%分位数在[70，80）之间，即可根据分位数公式算出；
（3）根据频率分布直方图知分数不小于70分的人数中男女各占30人，从而可知样本中男生有60人，女生有40人，即可求出总体中男生和女生人数的比例
【小问1详解】
由频率分布直方图知，分数在[50，90）频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在样本中分数在[50，90）的人数为100×0.9=90(人)，在样本中分数在[40，90）的人数为95人，所以分数在[40，90）的人数为400×0.95=380(人)，总体中分数小于40的人数为20人
【小问2详解】
测试成绩从低到高排序，占人数75%的人分数在[70，80）之间，所以估计测评成绩的75%分位数为
【小问3详解】
由频率分布直方图知，分数不小于70分的人数共有60人，由已知男女各占30人，从而样本中男生有60人，女生有40人，故总体中男生与女生的比例为
22、（1）证明见解析
（2）
【解析】（1）设与交点为，延长交的延长线于点，进而根据证明，再结合底面得，进而证明平面即可证明结论；
（2）由得点到平面的距离等于点到平面的距离的，进而过作，垂足为，结合（1）得点到平面的距离等于，再在中根据等面积法求解即可.
【小问1详解】
证明：设与交点为，延长交的延长线于点，
因为四棱锥的底面为直角梯形，，
所以，所以，
因为为的中点，所以，
因为
所以，所以，所以，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以
又因为底面，所以，
因为，

所以平面，
因为平面，
所以平面平面
【小问2详解】
解：由于，
所以，点到平面的距离等于点到平面的距离的，

因为平面平面，平面平面
故过作，垂足为，
所以，平面，
所以点到平面的距离等于
在中，，
所以，点到平面的距离等于.