福建省龙岩市上杭县第一中学2025年数学高二上期末达标检测试题含解析.doc

福建省龙岩市上杭县第一中学2025年数学高二上期末达标检测试题
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
2．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A.72元 B.300元
C.512元 D.816元
3．我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）
A.2192 B.
C. D.
4．某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（）
A. B.
C. D.
5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5， 11，21，37，61，则该数列的第7项为（ ）
A.95 B.131
C.139 D.141
6．在直角坐标系中，直线的倾斜角是
A.30° B.60°
C.120° D.150°
7．函数在的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
8．抛物线的焦点坐标为
A. B.
C. D.
9．已知对称轴为坐标轴的双曲线的两渐近线方程为，若双曲线上有一点，使，则双曲线的焦点（）
A.在轴上 B.在轴上
C.当时在轴上 D.当时在轴上
10．已知向量，则（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
11．已知圆与圆没有公共点，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
12．若复数的模为2，则的最大值为（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线l与C交于A，B两点（点A在x轴上方），且满足，则直线l的斜率为______.
14．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为___________.
15．已知点，则线段的垂直平分线的一般式方程为__________.
16．若抛物线上一点到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，且的短轴长为
（1）求的方程；
（2）若直线与交于P，Q两点，，且的面积为，求k
18．（12分）某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2.
（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；
（ii）若，证明：.
19．（12分）已知四棱锥的底面是矩形，底面，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图.

（1）求证：平面；
（2）求直线FH与平面所成角的大小.
20．（12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点

（1）求证：D1F平面A1EC1；
（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值.
21．（12分）已知命题实数满足不等式，命题实数满足不等式.
（1）当时，命题，均为真命题，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
22．（10分）已知是等差数列，其n前项和为，已知
（1）求数列的通项公式：
（2）设，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列下标的性质、等差数列通项公式进行求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，
，
，
故选：B
2、D
【解析】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，设箱子总造价为f（x）元，则f (x)＝72(x)+240，由此利用均值不等式能求出箱子的最低总造价
【详解】设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为m，
设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，
当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元
故选：D
3、D
【解析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.
【详解】由题意可知：每月还本金为2000元，
设张华第个月的还款金额为元，
则，
故选：D
4、A
【解析】记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，进而结合对立事件的概率公式得，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：记事件为该集成块能够正常工作，事件为仅有一个元件出现故障，
则为该集成块不能正常工作，
所以，，
所以
故选：A
5、A
【解析】利用已知条件，推出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可
【详解】由题意可知，1，5， 11，21，37，61，……，的差的数列为
4，6，10，16，24，……，
则这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，……，是一个等差数列，
设原数列的第7项为，则，解得，
所以原数列的第7项为95，
故选：A
6、D
【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.
【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.
7、D
【解析】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，
因为，
所以排除选项；
当时，有一零点，设为，当时，为减函数，
当时，为增函数
故选：D.
8、D
【解析】抛物线的标准方程为，从而可得其焦点坐标
【详解】抛物线的标准方程为，故其焦点坐标为，故选D.
【点睛】本题考查抛物线的性质，属基础题
9、B
【解析】设出双曲线的一般方程，利用题设不等式，令二者平方，整理求得的，进而可判断出焦点的位置
【详解】渐近线方程为，
，平方，
两边除，，
，
双曲线的焦点在轴上.
故选B.
【点睛】本题考查已知双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，考查对双曲线标准方程的理解与运用，求解时要注意焦点落在轴或轴的特点，考查学生分析问题和解决问题的能力
10、A
【解析】利用空间向量的模公式求解.
【详解】因向量，
所以，
故选：A
11、B
【解析】求出圆、的圆心和半径，再由两圆没有公共点列不等式求解作答.
【详解】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，，
因圆、没有公共点，则有或，
即或，又，解得或，
所以实数a的取值范围为.
故选：B
12、A
【解析】由题意得，表示以为圆心，2为半径的圆，表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，然后求出切线的斜率即可
【详解】因为复数的模为2，
所以，
所以其表示以为圆心，2为半径的圆，如图所示，
表示过原点和圆上的点的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，
设切线方程为，则，解得，
所以的最大值为，
故选：A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设出直线的方程并与椭圆方程联立，结合根与系数关系以及求得直线的斜率.
【详解】椭圆，
由于在轴上方且直线的斜率存在，所以直线的斜率不为，
设直线的方程为，且，
由，消去并化简得，
设，，
则①，②，
由于，所以③，
由①②③解得
所以直线的方程为，斜率为.
故答案为：
14、
【解析】先求出直线经过的定点，再求出圆心到定点的距离，数形结合即得解.
【详解】
由题得，所以直线经过定点，
圆的圆心为，半径为.
圆心到定点的距离为，
当时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：8
15、
【解析】由中点坐标公式和斜率公式可得的中点和直线斜率，由垂直关系可得垂直平分线的斜率，由点斜式可得直线方程，化为一般式即可
【详解】由中点坐标公式可得，的中点为，
可得直线的斜率为，
由垂直关系可得其垂直平分线的斜率为，
故可得所求直线的方程为：，
化为一般式可得
故答案为：
16、
【解析】先由抛物线的方程求出准线的方程，然后根据点到准线的距离可求，进而可得抛物线的标准方程.
【详解】抛物线的准线方程为，点到其准线的距离为，
由题意可得，解得，故抛物线的标准方程为.
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）
（2）或k=1.
【解析】（1）根据题意求得双曲线的焦点即知椭圆焦点，结合椭圆短轴长，可求得椭圆标准方程；
（2）将直线方程和椭圆方程联立，整理得，从而得到根与系数的关系式，然后求出弦长以及到直线PQ的距离，进而表示出，由题意得关于k的方程，解得答案.
【小问1详解】
双曲线即，
故双曲线交点坐标为 ，
由此可知椭圆焦点也为，
又的短轴长为，故 ，
所以 ，
故椭圆的方程为 ；
【小问2详解】
联立 ，整理得： ，
其 ，
设 ，则 ，
所以
= ，
点到直线PQ的距离为 ，
所以
= ，
又的面积为，则=，
解得或k=1.
18、（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.
【解析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；
（2）（i）由已知，可能取值分别为1，，求解概率然后求期望推出关于的关系式；
（ii）由，计算出，再由，构造函数，利用导数判断函数的最值可得答案..
【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，
所以前2次检验中有一阳性有一阴性样本第三次为阳性样本，或者前3次均为阴性样本，
则.
（2）（i），所以，可能取值分别为1，，
，
，
因为得，因为，
所以，.
（ii）因为，由（i）知，
所以，
设，，
所以在单调递增，所以
由于，所以，即，得证.
【（4）（5）选做】
19、（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连接CH，延长交PD于点K，连接BK，根据E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，易得，再利用线面平行的判定定理证明.
（2）建立空间直角坐标，求得的坐标，平面PBC一个法向量，代入公式求解.
【详解】（1）如图所示：

连接CH，延长交PD于点K，连接BK，
因为设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，
所以H为CK的中点，
所以，又平面平面，
所以平面；
（2）建立如图所示直角坐标系

则，
所以，
设平面PBC一个法向量为：，
则，有，
令，，
设直线FH与平面所成角为，
所以，
因为，
所以.
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.
20、（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面.
（2）利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系.
，
，
设平面的法向量为，
则，故可设.
由于，所以平面.
（2）直线与平面所成角为，
则.

21、（1）；（2）.
【解析】（1）分别求出命题，均为真命题时的取值范围，再求交集即可.
（2）利用集合间的关系求解即可.
【详解】实数满足不等式，即
命题实数满足不等式，即
（1）当时，命题，均为真命题，则且
则实数的取值范围为；
（2）若是的充分不必要条件，则是的真子集
则且
解得
故的取值范围为.
【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
22、（1）；
（2）.
【解析】（1）利用等差数列的基本量，结合已知条件，列出方程组，求得首项和公差，即可写出通项公式；
（2）根据（1）中所求，结合裂项求和法，即可求得.
【小问1详解】
因为是等差数列，其n前项和为，已知，设其公差为，
故可得：，，解得，
又，故.
【小问2详解】
由（1）知，，又，
故.
即.