浙江省湖州市2025-2026学年数学高二上期末检测模拟试题含解析.doc

浙江省湖州市2025-2026学年数学高二上期末检测模拟试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（ ）
A.3 B.
C. D.
2．若数列满足，，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
3．已知正方体中，分别为棱 的中点，则直线与所成角的余弦值为 ( 　)

A. B.
C. D.
4．已知直线l：，则下列结论正确的是（）
A.直线l的倾斜角是
B.直线l在x轴上的截距为1
C.若直线m：，则
D.过与直线l平行的直线方程是
5．设双曲线的离心率为，则下列命题中是真命题的为（）
A.越大，双曲线开口越小 B.越小，双曲线开口越大
C.越大，双曲线开口越大 D.越小，双曲线开口越大
6．已知A，B，C是椭圆M：上三点，且A（A在第一象限，B关于原点对称，，过A作x轴的垂线交椭圆M于点D，交BC于点E，若直线AC与BC的斜率之积为，则（）
A.椭圆M的离心率为 B.椭圆M的离心率为
C. D.
7．不等式的解集为（）
A. B.
C.或 D.或
8．在等差数列中，，，则使数列的前n项和成立的最大正整数n=（ ）
A.2021 B.2022
C.4041 D.4042
9．已知数列是等比数列，，是函数的两个不同零点，则（ ）
A.16 B.
C.14 D.
10．在数列中，，，，则（）
A.2 B.
C. D.1
11．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（）
A. B.
C. D.
12．已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，则双曲线的标准方程为（ ）
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________
14．如图三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照自上而下，自左而右的顺序，2021位于第i行的第j列，则______
15．已知平面，过空间一定点P作一直线l，使得直线l与平面，所成的角都是30°，则这样的直线l有______条
16．已知函数，则曲线在点处的切线方程为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知圆的圆心为，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于、两点，求.
18．（12分）在平面直角坐标系中，已知点，轴于点，是线段上的动点，轴于点，于点，与相交于点.
（1）判断点是否在抛物线上，并说明理由；
（2）过点作抛物线的切线交轴于点，过抛物线上的点作抛物线的切线交轴于点，……，以此类推，得到数列，求，及数列的通项公式.
19．（12分）已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心在轴上，与直线相切，且被轴截得的弦长为，圆的面积小于
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆交于不同的两点、，以、为邻边作平行四边形．是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，请说明理由
20．（12分）如图，几何体中，平面，，，，E是中点，二面角的平面角为.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21．（12分）已知双曲线的左焦点为，到的一条渐近线的距离为1.直线与交于不同的两点，，当直线经过的右焦点且垂直于轴时，.
（1）求的方程；
（2）是否存在轴上的定点，使得直线过点时，恒有？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（10分）已知椭圆的右焦点为，短轴长为4，设，的左右有两个焦点
求椭圆C的方程；
若P是该椭圆上的一个动点，求的取值范围；
是否存在过点的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，使得？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明两点
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果
【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，
所以，则，所以，
所以
故选：D.
2、B
【解析】根据等差数列的定义和通项公式直接得出结果.
【详解】因为，
所以数列是等差数列，公差为1，
所以.
故选：B
3、D
【解析】以D为原点建立空间直角坐标系，求出E,F,B,D1点的坐标，利用直线夹角的向量求法求解
【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，

则，,，
,,
直线与所成角的余弦值为：.
故选D
【点睛】本题主要考查了空间向量的应用及向量夹角的坐标运算，属于基础题
4、D
【解析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D.设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
5、C
【解析】根据双曲线的性质结合离心率对双曲线开口大小的影响即可得解.
【详解】解：对于A，越大，双曲线开口越大，故A错误；
对于B，越小，双曲线开口越小，故B错误；
对于C，由，越大，则越大，双曲线开口越大，故C正确；
对于D，越小，则越小，双曲线开口越小，故D错误.
故选：C.
6、C
【解析】设出点，,的坐标，将点，分别代入椭圆方程两式作差，构造直线和的斜率之积，得到，即可求椭圆的离心率，利用，求出，可知点在轴上，且为的中点,则.
【详解】设，，，则，
，，两式相减并化简得，
即，则,则AB错误；
∵，，∴，
又∵，∴，即，
解得，则点在轴上，且为的中点即，则正确.
故选：C.
7、A
【解析】先将分式不等式转化为一元二次不等式，然后求解即可
【详解】由，得，
解得，
所以原不等式的解集为，
故选：A
8、C
【解析】根据等差数列的性质易得，，再应用等差数列前n项和公式及等差中项、下标和的性质可得、，即可确定答案.
【详解】因为是等差数列且，，
所以，
，.
故选：C.
9、B
【解析】由题意得到，根据等比数列的性质得到，化简，即可求解.
【详解】由，是函数的两个不同零点，
可得，根据等比数列的性质，可得
则.
故选：B.
10、A
【解析】根据题中条件，逐项计算，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，
因此.
故选：A.
11、A
【解析】由直线斜率与方向向量的关系算出斜率，然后可得.
【详解】记直线的倾斜角为，由题知，又，所以，即.
故选：A
12、D
【解析】根据双曲线的性质求解即可.
【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4，虚半轴长为5，
可得a＝4，b＝5，所以双曲线方程为：＝1.
故选：D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】设过M的切线切点为，求出切线方程，参变分离得，令，则原问题等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点，根据导数研究g(x)的图像即可求出m的范围
【详解】，
设过点的直线与曲线相切于点，
则，
化简得，，令，
则过点存在三条直线与曲线相切等价于y=g(x)与y=-m-2的图像有三个交点
∵，
故当x<0或x>1时，，g(x)单调递增；当0<x<1时，，g(x)单调递减，
又，，
∴g(x)如图，

∴-2<-m-2<0，即
故答案为：﹒
14、69
【解析】由图可知，第行有个数，求出第行的最后一个数，从而可分析计算出，即可得出答案.
【详解】解：由图可知，第行有个数，
第行最后一个数为，
因为，
所以第行的最后一个数为2016，
所以2021位第行，即，
又，
所以2021位第行第5列，即，
所以.
故答案为：69.
15、4
【解析】设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，设OM是的角平分线，过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，由此可得答案.
【详解】解：设平面，在平面内作于点O，在平面内过点O作，
因为平面，所以，设OM是的角平分线，则，
过棱m上一点P作，则过点O在平面OMQP上存在2条直线l，使得直线l与OB、OA成，此时直线l与平面且与平面，所成的角都是30°，
同理，在的补角一侧也存在2条满足条件的直线l，所以这样的直线l有4条，
故答案为：4.

16、
【解析】先求函数的导数，再利用导数的几何意义求函数在处的切线方程.
【详解】，，，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，重点考查计算能力，属于基础题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】（1）求出圆的半径长，结合圆心坐标可得出圆的标准方程；
（2）求出圆心到直线的距离，利用勾股定理可求得.
小问1详解】
解：圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：圆心到直线的距离为，
因此，.
18、（1）在抛物线上，理由见解析
（2）, ,.
【解析】（1）根据直线的方程设出点的坐标，利用已知条件求出点的坐标即可判断点是否在抛物线上；
（2）设出直线的直线方程，与抛物线联立，令，即可求出，同理可以求出，设出直线的直线方程，与抛物线联立，令即可求出的方程，若令，，即，故数列是首项，公比为的等比数列，即可求出数列的通项公式.
【小问1详解】
由已知条件得直线的方程为，
设点，则，
由直线的方程为可得点的坐标为，
点满足抛物线，则点是否在抛物线上；
【小问2详解】
设的直线方程为，
将直线与抛物线联立得，
，解得，
的直线方程为，则，即，
由此可知，设的直线方程为，
将直线与抛物线联立得，
，解得，
的直线方程为，则，即，
由此可知设点，设直线方程为，
将直线与抛物线联立得，
，其中，
即，，解得，
直线的方程为，即，
令得，即直线过点，
则直线的斜率为，直线的方程也可以表示为，
即，令，，即，
则，即数列是首项，公比为的等比数列，
故.
19、（1）；
（2）不存在，理由见解析.
【解析】（1）设圆心，设圆的半径为，可得出，根据已知条件可得出关于实数的方程，求出的值，可得出的值，进而可得出圆的标准方程；
（2）分析可知直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，将直线的方程与圆的方程联立，由可求得的取值范围，列出韦达定理，分析可得，可求得点的坐标，由已知可得出，求出的值，检验即可得出结论.
【小问1详解】
解：设圆心，设圆的半径为，则，由题意可得，
由勾股定理可得，则，
由题意可得，解得，则，
因此，圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：若直线的斜率不存在，此时直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，可设直线的方程为，设点、，
联立，可得，
，解得或，
由韦达定理可得，，则，
因为四边形为平行四边形，则，
因为，则，则，解得，
因为或，
因此，不存直线，使得直线与恰好平行.
20、（1）证明见解答；
（2）
【解析】（1）平面，可得，是二面角的平面角，由余弦定理可得，，从而可证平面；
（2）以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求平面的一个法向量与的方向向量，利用向量法可求直线与平面所成角的正弦值
【小问1详解】
证明：取中点，又是中点，，
，平面，平面，
，平面，
是二面角的平面角，，
又，，在中，由余弦定理有，
可得，又是中点，，
平面，，又，平面，
平面.
【小问2详解】
解：以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，0，，，1，
，1，，，0，，，1，
设平面的一个法向量为，，，
则，令，则，，
平面的一个法向量为，，，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为

21、（1）；
（2）存在，理由见解析.
【解析】（1）根据题意，列出的方程组，解得，则椭圆方程得解；
（2）假设存在点满足题意，设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理以及，即可求解.
【小问1详解】
双曲线的左焦点，其中一条渐近线，则；
对双曲线，令，解得，则，解得，
故双曲线方程为：.
小问2详解】
根据（1）中所求可知，假设存在轴上的点满足题意，
若直线的斜率不为零，则设其方程为，联立双曲线方程，
可得，则，
即，此时直线与双曲线交于两点，
则，则，
即，即，
则，此时满足题意；
若直线的斜率为零，且过点，此时，满足题意.
综上所述，存在轴上的一点满足.
【点睛】本题考察双曲线方程的求解，以及双曲线中存在某点满足条件的问题；解决问题的关键是合理转化，利用韦达定理进行求解，属综合中档题.
22、（1）（2）（3）满足条件的直线不存在，详见解析
【解析】根据条件直接求出,进而求出椭圆标准方程;
设,表示出,求出其范围;
设CD的中点为;由,则;得到其斜率的乘积为,最后列取方程联立计算即可.
【详解】解：由题意可知,,则;
所以椭圆C的方程为:;
由题意可知,,设,
则,;
所以的取值范围是;
假设存在满足条件的直线,根据题意得直线的斜率存在;
则设直线的方程为：；
消化简得:;
,则;
；
设，则CD的中点为；
,；
，则;
，即;即,无解;
故满足条件的直线不存在.
【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质,向量的数量积,直线的垂直,设而不求的思想方法,关键在于将几何条件进行适当的转化,还考查了学生的综合运算能力,属于中档题.