2025年江苏省南通市如皋市高二数学第一学期期末经典试题含解析.doc

2025年江苏省南通市如皋市高二数学第一学期期末经典试题
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．若，则n的值为（）
A.7 B.8
C.9 D.10
3．如图，在平行六面体中，（）

A. B.
C. D.
4．设双曲线：的左、右焦点分别为、，P为C上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（）
A. B.
C. D.
5．已知等差数列且，则数列的前13项之和为（）
A.26 B.39
C.104 D.52
6．三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且异面直线AC与BD所成角为60°，E、F分别是棱DC、AB的中点，则EF和AC所成的角等于( )
A.30° B.30°或60°
C.60° D.120°
7．已知圆，圆相交于P，Q两点，其中，分别为圆和圆的圆心.则四边形的面积为（）
A.3 B.4
C.6 D.
8．已知圆与抛物线的准线相切，则实数p的值为（）
A.2 B.6
C.3或8 D.2或6
9．双曲线的焦距是（　　）
A.4 B.
C.8 D.
10．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为
A. B.
C. D.
11． “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数，，，，…构成的数列的第项，则的值为（）

A. B.
C. D.
12．命题“，使得”的否定形式是
A.，使得 B.，使得
C.，使得 D.，使得
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.
14．已知过椭圆上的动点作圆（为圆心）：的两条切线，切点分别为，若的最小值为，则椭圆的离心率为______
15．已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上任意一点，则周长的最小值是__________.
16．已知命题：，总有．则为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在等比数列中，已知，
（1）若，求数列的前项和；
（2）若以数列中的相邻两项，构造双曲线，求证：双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同
18．（12分）平面直角坐标系中，曲线与坐标轴交点都在圆上.
（1）求圆的方程；
（2）圆与直线交于，两点，在圆上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的方程；若不存在，说明理由.
19．（12分）已知椭圆的焦距为，离心率为
（1）求椭圆方程；
（2）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且，，成等比数列，求的值
20．（12分）已知椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为2
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上任意两点，为坐标原点，且以为直径的圆经过原点，求证：原点到直线的距离为定值，并求出该定值
21．（12分）已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和；
（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
22．（10分）设椭圆：（）的离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过的直线与椭圆交于、两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】先将双曲线的方程化为标准方程得，再根据双曲线渐近线方程求解即可.
【详解】解：将双曲线的方程化为标准方程得，
所以，
所以其渐近线方程为：，即.
故选：A.
2、D
【解析】根据给定条件利用组合数的性质计算作答
【详解】因为，则由组合数性质有，即，
所以n的值为10.
故选：D
3、B
【解析】由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量
【详解】
连接，可得，又，
所以
故选：B.
4、B
【解析】根据双曲线定义结合，求得，在中，利用余弦定理求得之间的关系，即可得出答案.
【详解】解：因为在双曲线中，因为，
所以，
所以，
在中，，，
由余弦定理可得，
即，所以，
所以，
所以，
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：B.

5、A
【解析】根据等差数列的性质化简已知条件可得的值，再由等差数列前项和及等差数列的性质即可求解.
【详解】由等差数列的性质可得：，，
所以由可得：，
解得：，
所以数列的前13项之和为
，
故选：A
6、B
【解析】取AD中点为G，连接GF、GE，易知△EFG为等腰三角形，且∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，据此可求∠FEG大小，从而得EF和AC所成的角的大小
【详解】如图，

取AD中点为G，连接GF、GE，
易知FG∥BD，GE∥AC，且FG＝，GE＝AC，
故FG＝GE，∠EGF为异面直线AC和BD所成角或其补角，
故∠EGF＝60°或120°
故EF和AC所成角为∠FEG或其补角，
当∠EGF＝60°时，∠FEG＝60°，
当∠EGF＝120°时，∠FEG＝30°，
∴EF和AC所成的角等于30°或60°
故选：B
7、A
【解析】求得，由此求得四边形的面积.
【详解】圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，
所以，
由、两式相减并化简得，
即直线的方程为，
到直线的距离为，
所以，
所以四边形的面积为.
故选：A
8、D
【解析】由抛物线准线与圆相切，结合抛物线方程，令求切线方程且抛物线准线方程为，即可求参数p.
【详解】圆的标准方程为：，故当时，有或，
所以或，得或6
故选：D
9、C
【解析】根据，先求半焦距，再求焦距即可.
【详解】解：由题意可得，，
∴，
故选：C
【点睛】考查求双曲线的焦距，基础题.
10、D
【解析】过点A(3，3)且垂直于直线的直线斜率为，代入过的点得到.
故答案为D.
11、B
【解析】根据杨辉三角可得数列的递推公式，结合累加法可得数列的通项公式与.
【详解】由已知可得数列的递推公式为，且，且，
故，
，
，

，
，
等式左右两边分别相加得，

，
故选：B.
12、D
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D
【考点】全称命题与特称命题的否定
【方法点睛】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．对含有存在（全称）量词的命题进行否定需要两步操作： ①将存在（全称）量词改成全称（存在）量词；②将结论加以否定

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、##
【解析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.
【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，
所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，
则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，
所以，四边形为矩形，
设点，则，不妨设点为直线上的点，
则，，所以，.
故答案为：.
14、
【解析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当最小时，可知，此时；根据椭圆性质知，解方程可求得，进而得到离心率.
【详解】由椭圆方程知其右焦点为；由圆的方程知：圆心为，半径为；
当最小时，则最小，即，此时最小；

此时，；
为椭圆右顶点时，，解得：，
椭圆的离心率.
故答案为：.
15、##
【解析】利用抛物线的定义结合图形即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线的方程为，
过点作，垂足为，则，

所以的周长为
，
当且仅当三点共线时等号成立.
故答案为：.
16、，使得
【解析】全称命题改否定，首先把全称量词改成特称量词，然后把后面结论改否定即可.
【详解】解：因为命题，总有，
所以的否定为：，使得
故答案为，使得
【点睛】本题考查了全称命题的否定，全称命题（特称命题）改否定，首先把全称量词（特称量词）改成特称量词（全称量词），然后把后面结论改否定即可.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）证明过程见解析.
【解析】（1）根据等比数列的通项公式，结合对数的运算性质、等比数列和等差数列前项和公式进行求解即可；
（2）根据等比数列的通项公式，结合双曲线渐近线方程和离心率公式进行证明即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
因为，所以，因此，
所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）知，在双曲线中，
，所以得，
因此双曲线的渐近线方程为：，
双曲线的离心率为：，
所以双曲线系中所有双曲线的渐近线、离心率都相同.
18、（1）；
（2）存在，直线方程为或.
【解析】（1）利用待定系数法即求；
（2）利用直线与圆的位置关系可得，然后利用菱形的性质可得圆心到直线的距离，即得.
【小问1详解】
曲线与轴的交点为，与轴的交点为，，
设圆的方程为，
则，
解得.
∴圆的方程为；
【小问2详解】
∵圆与直线交于，两点，
圆化为，圆心坐标为，半径为.
∴圆心到直线的距离，解得.
假设存在点，使得四边形为菱形，则与互相平分，
∴圆心到直线的距离，
即，解得，经验证满足条件.
∴存在点，使得四边形为菱形，此时的直线方程为或.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）由焦距为，离心率为结合性质 ，列出关于的方程组，求出从而求出椭圆方程；
（2）设出直线方程，代入椭圆方程，求出点D、E的坐标，然后利用|BD|，|BE|，|DE|成等比数列，即可求解
【详解】（1）由已知，，解得，
所以
椭圆的方程为
（2）由（1）得过点的直线为，
由，得，
所以，所以，
依题意，
因为，，成等比数列，所以，
所以，即，
当时，，无解，
当时，，解得，
所以，解得，
所以，当，，成等比数列时，
【点睛】方法点睛（1）求椭圆方程的常用方法：①待定系数法；②定义法；③相关点法
（2）直线与圆锥曲线的综合问题，常将直线方程代入圆锥曲线方程，从而得到关于（或）的一元二次方程，设出交点坐标），利用韦达定理得出坐标的关系,同时注意判别式大于零求出参数的范围（或者得到关于参数的不等关系），然后将所求转化到参数上来再求解．如本题及，联立即可求解．注意圆锥曲线问题中，常参数多、字母多、运算繁琐，应注意设而不求的思想、整体思想的应用．属于中档题.
20、（1）
（2）证明见解析，定值为
【解析】（1）根据题意得到，，得到椭圆方程.
（2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，将题目转化为，化简得到，代入计算得到答案.
【小问1详解】
椭圆的离心率为，短轴端点到焦点的距离为，
故，，故椭圆方程为.
【小问2详解】
当直线斜率存在时，设直线方程为，，，
则，即，，
以为直径的圆经过原点，故，
即，即，
化简整理得到：，
原点到直线的距离为.
当直线斜率不存在时，为等腰直角三角形，设，则，
解得，即直线方程为，到原点的距离为.
综上所述：原点到直线的距离为定值.
【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的定值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将圆过原点转化为是解题的关键.
21、（1）
（2）
（3）最大值为，最小值为
【解析】（1）将点代入函数解析再结合前和即可求解；
（2）运用错位相减法或分组求和法都可以求解；
（3）将数列的通项变形为，再求和，通过分类讨论从单调性上分析求解即可.
【小问1详解】
因为点在函数的图像上，
所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
【小问2详解】
解法1：，
==，
解法2：， ①
， ② ①-② 得
，
；
【小问3详解】

记的前n项和为，
则=
，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
22、（1）；（2）6.
【解析】（1）本小题根据题意先求，，，再求椭圆的标准方程；
（2）本小题先设过的直线的方程，再根据题意表示出四边形的面积，最后求最值即可.
【详解】解：（1）∵ 椭圆上一点到左右两个焦点、的距离之和是4，
∴ 即，
∵ ，∴ ，
又∵ ，∴ .
∴ 椭圆的标准方程为；
（2）设点、的坐标为，，
因为直线过点，所以可设直线方程为，
联立方程，消去可得：，
化简整理得，
其中，
所以，，
因为，所以四边形是平行四边形，
设平面四边形的面积为，
则，
设，则（），
所以，
因为，所以，，
所以四边形面积的最大值为6.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程，相交弦等问题，是偏难题.