四川省泸州市泸县第二中学2026届高二数学第一学期期末预测试题含解析.doc

四川省泸州市泸县第二中学2026届高二数学第一学期期末预测试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（）
A.8 B.10
C.12 D.14
2．某商场为了解销售活动中某商品销售量与活动时间之间的关系，随机统计了某次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间

销售量

由表中数据可知，销售量与活动时间之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为，据此模型预测当时，的值为（）
A B.
C. D.
3．已知，，则等于（）
A.2 B.
C. D.
4．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（ ）

A.函数在上是增函数
B.函数在上是减函数
C.是函数的极小值点
D.是函数的极大值点
5．某双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，则该双曲线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
6．双曲线的焦点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
7．若双曲线（，）的焦距为，且渐近线经过点，则此双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8．函数在（0，e]上的最大值为（ ）
A.－1 B.1
C.0 D.e
9．如图在平行六面体中，与的交点记为．设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）

A. B.
C. D.
10．在一个正方体中， 为正方形四边上的动点， 为底面正方形的中心， 分别为中点，点 为平面内一点，线段 与互相平分，则满足 的实数的值有

A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
11．已知直线，若圆C的圆心在轴上，且圆C与直线都相切，求圆C的半径（ ）
A. B.
C.或 D.
12．已知直线，，若，则实数等于（ ）
A.0 B.1
C. D.1或
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额（单位：千亿元）和出口总额（单位：千亿元）之间的一组数据如下：

2017年
2018年
2019年
2020年

若每年的进出口总额，满足线性相关关系，则______；若计划2022年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为______亿元
14．已知数列{an}满足an+2=an+1－an（n∈N*），且a1= 2，a2= 3，则a2022的值为_________.
15．给定点、、与点，求点到平面的距离______.
16．已知为直线上的动点，为函数图象上的动点，则的最小值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出曲线C的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线C相交于A，B两点，求.
18．（12分）已知圆，P（2，0），M点是圆Q上任意一点，线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，当M点在圆上运动时，点C的轨迹为曲线C
（1）求曲线C方程；
（2）已知直线l：x＝8，A、B是曲线C上的两点，且不在x轴上，，垂足为，，垂足为，若D（3，0），且的面积是△ABD面积的5倍，求△ABD面积的最大值
19．（12分）已知椭圆C：的长轴长为4，离心率e是方程的一根
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O是坐标原点，斜率为k的直线l经过点，已知直线l与椭圆C相交于点A，B，求面积的最大值
20．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同

（1）求a，b的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）
21．（12分）已知抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4.
（1）求抛物线E的方程；
（2）点A、B为抛物线E上异于原点O的两不同的点，且满足.若直线AB与椭圆恒有公共点，求m的取值范围.
22．（10分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）试讨论函数的单调性.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】利用抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：

焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点，
过焦点F，准线方程为：，
作垂直于准线于点，作垂直于准线于点，
则，
，
，
，
故选：C
2、C
【解析】求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程，求出的值，再将代入回归方程即可得解.
【详解】由表格中的数据可得，，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得，
所以，回归直线方程为，故当时，.
故选：C.
3、D
【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.
【详解】.
故选：D
4、A
【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.
【详解】由图象可知，当时，；当时，，
在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；
是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误
故选：A
5、D
【解析】设双曲线的方程为，利用焦点为求出的值即可.
【详解】因为双曲线的一条渐近方程为，且焦点为，
所以可设双曲线的方程为，
则，，
所以该双曲线方程为.
故选：D.
6、B
【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.
【详解】由题意，双曲线，可得，所以，
且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.
故选：B.
7、B
【解析】根据题意得到，，解得答案.
【详解】双曲线（，）的焦距为，故，.
且渐近线经过点，故，故，双曲线方程为：.
故选：.
【点睛】本题考查了双曲线方程，意在考查学生对于双曲线基本知识的掌握情况.
8、A
【解析】对函数求导，然后求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值
【详解】由，得，
当时，，当，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，
故选：A
9、B
【解析】利用空间向量的加法和减法法则可得出关于、、的表达式.
【详解】
故选：B.
10、C
【解析】因为线段D1Q与OP互相平分，
所以四点O，Q，P，D1共面，
且四边形OQPD1为平行四边形．若P在线段C1D1上时，

Q一定在线段ON上运动，只有当P为C1D1的中点时，
Q与点M重合，此时λ＝1，符合题意
若P在线段C1B1与线段B1A1上时，在平面ABCD找不到符合条件Q；

在P在线段D1A1上时，点Q在直线OM上运动，
只有当P为线段D1A1的中点时，点Q与点M重合，
此时λ＝0符合题意，所以符合条件的λ值有两个
故选C.
11、C
【解析】设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离相等列方程，求得圆心坐标并求得圆的半径.
【详解】设圆心坐标为，
则或，
所以圆的半径为或.
故选：C
12、C
【解析】由题意可得，则由得，从而可求出的值
【详解】由题意可得，
因为， ，，
所以，解得，
故选：C

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、 ①.1.6 ②.3.65千##3650
【解析】根据给定数表求出样本中心点，代入即可求得，取可求出该年进口总额.
【详解】由数表得：，，
因此，回归直线过点，由，解得，
此时，，当时，即，解得，
所以，预计该年进口总额为千亿元.
故答案为：1.6；3.65千
14、
【解析】根据递推关系求出数列的前几项，得周期性，然后可得结论
【详解】由题意，，，，，，所以数列是周期数列，周期为6，
所以
故答案为：
15、
【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.
【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，
，
，即，
令，得

故答案为：.
16、
【解析】求得的导数，由题意可得与直线平行的直线和曲线相切，然后求出的值最小，设出切点，求出切线方程，再由两直线平行的距离公式，得到的最小值
【详解】解：函数的导数为，
设与直线平行的直线与曲线相切，
设切点为，则，
所以，所以，所以，所以，
所以切线方程为，
可得的最小值为，
故答案为：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）首先将圆的参数方程华为普通方程，再转化为极坐标方程即可.
（2）首先联立得到，再求的长度即可.
【详解】（1）将曲线C的参数方程，（为参数）化为普通方程，
得，
极坐标方程为.
（2）联立方程组，
消去得，
设点A，B对应的极径分别为，，则，，
所以.
18、（1）
（2）
【解析】（1）由定义法求出曲线C的方程；
（2）先判断出直线AB过定点H(2,0)或H(4,0).当AB过定点H(4,0)，求出最大；当H(2,0)时，可设直线AB：.用“设而不求法”表示出，不妨设（），利用函数的单调性求出△ABD面积的最大值.
【小问1详解】
因为线段PM的垂直平分线交半径MQ于点C，所以,
所以,符合椭圆的定义，
所以点C的轨迹为以P、Q为焦点的椭圆，其中，所以
，
所以曲线C的方程为.
【小问2详解】
不妨设直线l：x＝8交x轴于G(8,0)，直线AB交x轴于H(h,0)，则,.
因为，， ，所以.
又因为的面积是△ABD面积的5倍，所以.
因为G(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).
当H(4,0)时，则H与A（或H与B）重合，不妨设H与A重合，此时，，
要使△ABD面积最大，只需B在短轴顶点时，=2最大，所以最大；
当H(2,0)时，要想构成三角形ABD，直线AB的斜率不为0，可设直线AB：.
设,则，消去x可得：，
所以，，，
所以.
不妨设（），则，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，所以当t=4时，，此时最大
综上所述，△ABD面积的最大值为.
【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；
（2）解析几何中最值计算方法有两类：
①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：表示为函数，利用函数求最值.
19、（1）；（2）.
【解析】（1）待定系数法求椭圆的方程；
（2）设直线的方程为，，，用“设而不求法”表示出三角形OAB的面积.令转化为关于t的函数，利用函数求最值.
【详解】（1）依题意得：，∴.
方程的根为或.
∵椭圆的离心率，∴，∴
∴
∴椭圆方程为.
（2）设直线的方程为，，
由，得，
则，
点到直线的距离为，

.
令，则.
.
∵在单调递增，
∴时.有最小值3.此时有最大值.
∴面积的最大值为.
20、（1）
（2）90 （3）平均值69.5；中位数69.4
【解析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；
（2）由高分频率乘以600即可；
（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.
【小问1详解】
由题意可知：
解得
小问2详解】
高分的频率约为：
故高分人数为：
【小问3详解】
平均值为，
设中位数为x，则
故中位数为69.4
21、（1）
（2）
【解析】（1）由焦半径公式可得，求解即可得答案；
（2）由题意，直线AB斜率不为0，设，，联立直线与抛物线的方程，由韦达定理及可得，从而可得直线AB恒过定点，进而可得定点在椭圆内部或椭圆上即可求解.
【小问1详解】
解：因为抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为4，
所以，解得，
所以抛物线E的方程为；
【小问2详解】
解：由题意，直线AB斜率不为0，设，，
由，可得，
所以，
因为，即，所以，
所以，即，所以，
所以直线，
所以直线AB恒过定点，
因为直线AB与椭圆恒有公共点，
所以定点在椭圆内部或椭圆上，即，
所以.
22、（1）
（2）详见解析.
【解析】（1）由，求导，得到，写出切线方程；
（2）求导，再分，，讨论求解.
【小问1详解】
解：因为，
所以，则，
所以，
所以曲线在点处的切线方程是，
即；
【小问2详解】
因为，
所以，
当时，成立，则在上递减；
当时，令，得，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增；
综上：当时，在上递减；
当时，在上递减，在上递增；