福建省龙岩市龙岩第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末调研试题含解析.doc

福建省龙岩市龙岩第一中学2025-2026学年数学高二第一学期期末调研试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0公共弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
2．设，，，…，，，则（）
A. B.
C. D.
3．已知数据的平均数是，方差是4，则数据的方差是（ ）
A.3.4 B.3.6
C.3.8 D.4
4．某校开展研学活动时进行劳动技能比赛，通过初选，选出共6名同学进行决赛，决出第1名到第6名的名次（没有并列名次），和去询问成绩，回答者对说“很遗㙳，你和都末拿到冠军；对说“你当然不是最差的”.试从这个回答中分析这6人的名次排列顺序可能出现的结果有（ ）
A.720种 B.600种
C.480种 D.384种
5．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）

A.，1， B.，1，
C.，， D.，1，
6．已知不等式的解集为，关于x的不等式的解集为B，且，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
7．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（）
A.9 B.12
C.20 D.
8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S7＝28，则a4＝（）
A.4 B.7
C.8 D.14
9．设双曲线与椭圆：有公共焦点，.若双曲线经过点，设为双曲线与椭圆的一个交点，则的余弦值为（ ）
A. B.
C. D.
10．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，且则的实轴长为
A.1 B.2
C.4 D.8
11．在等差数列中，，则（）
A.9 B.6
C.3 D.1
12．已知双曲线的一条渐近线方程为，它的焦距为2，则双曲线的方程为（）
A B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．如图，在等腰直角中，，为半圆弧上异于，的动点，当半圆弧绕旋转的过程中，有下列判断：

①存在点，使得；②存在点，使得；③四面体的体积既有最大值又有最小值：④若二面角为直二面角，则直线与平面所成角的最大值为45°.其中正确的是______（请填上所有你认为正确的结果的序号）.
14．中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意，为迎接2022年春节的到来，有网友建议在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂______盏灯笼
15．抛物线（）上的一点到其焦点F的距离______.
16．过点，且周长最小的圆的标准方程为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）某校从参加高二年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的化学成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段，，…，后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求出这60名学生中化学成绩低于50分的人数；
（2）估计高二年级这次考试化学学科及格率（60分以上为及格）；
（3）从化学成绩不及格的学生中随机调查1人，求他的成绩低于50分的概率
18．（12分）已知数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
19．（12分）已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且与x轴垂直的直线交该抛物线于A，B两点，|AB|＝4
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若△OPQ的面积为4，求直线l的斜率（其中O为坐标原点）
20．（12分）在三角形ABC中，三个顶点的坐标分别为，，，且D为AC的中点.
（1）求三角形ABC的外接圆M方程；
（2）求直线BD与外接圆M相交产生的相交弦的长度.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别是，，离心率，请再从下面两个条件中选择一个作为已知条件，完成下面的问题：①椭圆C过点；②以点为圆心，3为半径的圆与以点为圆心，1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（只能从①②中选择一个作为已知）
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过点的直线l交椭圆C于M，N两点，点N关于x轴的对称点为，且，M，三点构成一个三角形，求证：直线过定点，并求面积的最大值.
22．（10分）已知函数.
（1）求函数在处的切线方程；
（2）设为的导数，若方程的两根为，且，当时，不等式对任意的恒成立，求正实数的最小值.
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】两圆的方程消掉二次项后的二元一次方程即为公共弦所在直线方程.
【详解】由x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0两式相减
得：，即.
故选：B
2、B
【解析】根据已知条件求得的规律，从而确定正确选项.
【详解】，，
，，
，……，以此类推，
，所以.
故选：B
3、B
【解析】利用方差的定义即可解得.
【详解】由方差的定义，，
则，
所以数据的方差为：
.
故选：B
4、D
【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4种情况，再排，也有4种情况，余下的问题是4个元素在4个位置全排列，根据分步计数原理求解即可
【详解】由题意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4种情况，
再排，也有4种情况，余下4人有种情况，
利用分步相乘计数原理知有种情况
故选：D.
5、A
【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.
【详解】在单位正方体中，
以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，
，0，，，1，，，1，，
，1，，，0，，
设平面的法向量是，，，
则，取，得，1，，
平面的法向量是，1，.
故选：.

6、B
【解析】解出不等式可得集合，由可得，然后可得在上恒成立，然后分离参数求解即可.
【详解】由得，，解得，
因为，所以
所以可得在上恒成立，
即在上恒成立，故只需，
，当时，，故
故选：B
7、C
【解析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，
当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；
当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时
综上：的最大值为20
故选：C
【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.
8、A
【解析】由等差数列的性质可知，再代入等差数列的前项和公式求解.
【详解】数列{an}是等差数列， ，
那么，所以.
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列的性质和前项和，属于基础题型.
9、A
【解析】求出双曲线方程，根据椭圆和双曲线的第一定义求出的长度，从而根据余弦定理求出的余弦值
【详解】由题得，双曲线中，所以，双曲线方程为：，假设在第一象限，根据椭圆和双曲线的定义可得： ，解得：，，所以根据余弦定理，
故选：A
10、B
【解析】设等轴双曲线的方程为
抛物线,
抛物线准线方程为
设等轴双曲线与抛物线的准线的两个交点,，
则,

将，代入，得

等轴双曲线的方程为
的实轴长为
故选
11、A
【解析】直接由等差中项得到结果.
详解】由得.
故选：A.
12、B
【解析】根据双曲线的一条渐近线方程为，可得，再结合焦距为2和，求得，即可得解.
【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，即，
又因焦距为2，即，即，
因为，所以，所以，
所以双曲线的方程为.
故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、①②④
【解析】①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,可证得四边形ABCD为正方形即可判断①；②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，可知平面ABC，可证得平面CDB，即可判断②；③，研究临界值即可判断③；
④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，作图分析验证可判断④.
【详解】①当D为中点，且A，B，C，D四点共面时,连结BD，交AC于，则为AC中点，此时，且,所以四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，故①正确；
②当D在平面ABC内的射影E在线段BC上（不含端点）时，此时有：平面ABC，，又因为，所以平面CDB，所以，故②正确；
③，当平面平面ABC，且D为中点时，h有最大值；
当A，B，C，D四点共面时h有最小值0，此时为平面图形，不是立体图形，故四面体D-ABC无最小值，故③错误.
④二面角D-AC-B为直二面角，且D为中点时，直线DB与平面ABC所成角的最大，取AC中点O，连结DO，BO，则，AC=平面平面ACD，平面平面ACD，所以平面ABC，所以为直线DB与平面ABC所成角，设，则，，所以为等腰直角三角形，所以，直线与平面所成角的最大值为45°，故④正确.
故答案为：①②④.

14、
【解析】根据给定条件，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，利用等比数列前n项和公式计算作答.
【详解】依题意，各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列，公比，前9项和为1533，
于是得，解得，
所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.
故答案为：3
15、【解析】将点坐标代入方程中可求得抛物线的方程，从而可得到焦点坐标，进而可求出
【详解】解：为抛物线上 一点，
即有，，
抛物线的方程为，
焦点为，
即有.
故答案为：5.
16、
【解析】方法一：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，由线段的中点为圆心，其长一半为半径求解； 方法二：根据当线段为圆的直径时，圆周长最小，根据以AB为直径的圆的方程求解.
【详解】方法一：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，
从而周长最小，即圆心为线段的中点，半径
则所求圆的标准方程为
方法二：当线段为圆的直径时，过点，的圆的半径最小，从而周长最小
又，，
故所求圆的方程为，
整理得，
所以所求圆的标准方程为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）6人；（2）75%；（3）.
【解析】（1）由频率分布直方图可得化学成绩低于50分的频率为0.1，然后可求得人数为人；（2）根据频率分布直方图求分数在第三、四、五、六组的频率之和即可；（3）结合图形可得“成绩低于50分”的人数是6人，成绩在这组的人数是，由古典概型概率公式可得所求概率为
试题解析：
（1）因为各组的频率和等于1，由频率分布直方图可得低于50分的频率为：
，
所以低于分的人数为（人）
（2）依题意可得成绩60及以上的分数所在的第三、四、五、六组（低于50分的为第一组），其频率之和为，
故抽样学生成绩的及格率是，
于是，可以估计这次考试化学学科及格率约为75%
（3）由（1）知，“成绩低于50分”的人数是6人，
成绩在这组的人数是（人），
所以从成绩不及格的学生中随机调查1人，有15种选法，成绩低于50分有6种选法，
故所求概率为
18、（1）
（2）
【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；
（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.
【小问1详解】
，
当时，，
当时，，也满足上式，
数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
①
②
①②得
，

19、（1）；（2）.
【解析】（1）根据抛物线的定义以及抛物线通径的性质可得，从而可得结果；（2）设直线的方程为，代入，得，利用弦长公式，结合韦达定理可得的值，由点到直线的距离公式，根据三角形面积公式可得，从而可得结果.
【详解】（1）由抛物线的定义得到准线的距离都是p ，
所以|AB|＝2p＝4，
所以抛物线的方程为y2＝4x
（2）设直线l的方程为y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)
因为直线l与抛物线有两个交点，
所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，
则，y1y2＝-4，
所以
又点O到直线l的距离，
所以，解得，即
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的相关问题，意在考查综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，其常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题
20、（1）；
（2）.
【解析】（1）根据题意，结合直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点，即可求解；
（2）根据题意，结合点到直线的距离，以及弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，易知是以BC为斜边的直角三角形，
故外接圆圆心是B，C的中点，半径为BC长度的一半为，
故三角形ABC的外接圆M方程为.
【小问2详解】
因为D为AC的中点，所以易求.
故直线BD的方程为，
圆心到直线的距离，
故相交弦的长度为.
21、（1）
（2）证明见解析，
【解析】（1）若选①，则由题意可得，解方程组求出，从而可求得椭圆方程，若选②，，再结合离心率和求出，从而可求得椭圆方程，
（2）由题意设直线MN的方程为，设，，，将直线方程代入椭圆方程中，消去，再利用根与系数的关系，表示出直线的方程，令，求出，结合前面的式子化简可得线过的定点，表示出的面积，利用基本不等式可求得其最大值
【小问1详解】
若选①：由题意知，∴.
所以椭圆C的方程为.
若选②：设圆与圆相交于点Q.
由题意知：.
又因为点Q在椭圆上，所以，∴.
又因为，∴，∴.
所以椭圆C的方程为.
【小问2详解】
由题易知直线MN斜率存在且不为0，
因为，故设直线MN方程为，
设，，，
∴，
∴，，
因为点N关于x轴对称点为，所以，
所以直线方程为，
令，∴.
又，
∴.
所以直线过定点，
∴
.
当且仅当，即时，取等号.
所以面积的最大值为.
22、（1）
（2）1
【解析】（1）先求导数，根据导数的几何意义可求得切线方程；
（2）将已知方程结合其两根，进行变式，求得，利用该式再将不等式变形，然后将不等式的恒成立问题变为函数的最值问题求解.
【小问1详解】
由题意可得，
所以切点为，
则切线方程为：.
【小问2详解】
由题意有：，则，
因为分别是方程的两个根，
即.两式相减，
则，
则不等式，可变为，
两边同时除以得，，
令，则在上恒成立.
整理可得，在上恒成立，
令，
则，
①当，即时，在上恒成立，
则在上单调递增，
又，则在上恒成立；
②当，即时，当时，，
则在上单调递减，则，不符合题意.
综上：，所以的最小值为1.