陕西省西安电子科技大学附属中学2025年数学高二第一学期期末联考试题含解析.doc

陕西省西安电子科技大学附属中学2025年数学高二第一学期期末联考试题
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．给出命题：若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（ ）
A.3 B.2
C.1 D.0
2．若数列的前n项和(n∈N*)，则=（ ）
A.20 B.30
C.40 D.50
3．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
4．设抛物线的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A，B两点，若，则（ ）
A 1 B.2
C.4 D.8
5．为了解青少年视力情况，统计得到名青少年的视力测量值（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数，则该组数据的中位数是（ ）

A. B.
C. D.
6．已知双曲线，点F为其左焦点，点B，若BF所在直线与双曲线的其中一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（）
A. B.
C. D.
7．若a>b，c>d，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8．若椭圆的一个焦点为，则的值为（）
A.5 B.3
C.4 D.2
9．已知分别是等差数列的前项和，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10．若，则（）
A.1 B.0
C. D.
11．随机地向两个标号分别为1与2的格子涂色，涂上红色或绿色，在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为（）
A. B.
C. D.
12．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题：平面上一矩形ABCD的对角线AC与边AB和AD所成角分别为，则，若把它推广到空间长方体中，体对角线与平面，平面，平面所成的角分别为，则可以类比得到的结论为___________________.
14．已知双曲线的焦点，过F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的方程为_________
15．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______
16．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面所成角的正弦值为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）平行六面体，

（1）若，，，，，，求长；
（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值
18．（12分）如图，正方体的棱长为4，E，F分别是上的点，且.

（1）求与平面所成角的正切值；
（2）求证：.
19．（12分）已知圆的圆心为，且圆经过点
（1）求圆的标准方程；
（2）若圆：与圆恰有两条公切线，求实数取值范围
20．（12分）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”者，则考试“通过”，并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为，在面试中“通过”的概率依次为，笔试和面试是否“通过”是独立的，那么
（1）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？
（2）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.
21．（12分）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，且.
（1）求的面积；
（2）若a、b、c成等差数列，求b的值.
22．（10分）如图，第1个图形需要4根火柴，第2个图形需要7根火柴，，设第n个图形需要根火柴

（1）试写出，并求；
（2）记前n个图形所需的火柴总根数为，设，求数列的前n项和
参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、C
【解析】若函数是幂函数，则函数的图象不过第四象限，原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数的图象不过第四象限，则函数是幂函数是假命题，所以原命题的否命题也是假命题.故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题有一个．选C
2、B
【解析】由前项和公式直接作差可得.
【详解】数列的前n项和(n∈N*)，所以
.
故选：B.
3、A
【解析】根据命题与它的否定命题一真一假，写出该命题的否定命题，再求实数的取值范围
【详解】解：命题“，”是假命题，
则它的否定命题“，”是真命题，
时，不等式为，显然成立；
时，应满足，解得，
所以实数的取值范围是
故选：A
4、C
【解析】根据焦点弦的性质即可求出
【详解】依题可知，，所以
故选：C
5、B
【解析】将样本中的数据由小到大进行排列，利用中位数的定义可得结果.
【详解】将样本中的数据由小到大进行排列，依次为：、、、、、、、、、，
因此，这组数据的中位数为.
故选：B.
6、C
【解析】设出双曲线半焦距c，利用斜率坐标公式结合垂直关系列式计算作答.
【详解】设双曲线半焦距为c，则，直线BF的斜率为，
双曲线的渐近线为：，
因直线BF与双曲线的一条渐近线垂直，则有，即，
于是得，而，解得，
所以双曲线的离心率为.
故选：C
7、B
【解析】根据不等式的性质及反例判断各个选项.
【详解】因为c>d，所以，所以，所以B正确；
时，不满足选项A；
时，，且，所以不满足选项CD；
故选：B
8、B
【解析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.
【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.
故选：B.
9、D
【解析】利用及等差数列的性质进行求解.
【详解】分别是等差数列的前项和，故，且，故，
故选：D
10、C
【解析】由结合二项式定理可得出，利用二项式系数和公式可求得的值.
【详解】，
当且时，，
因此，.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查二项式系数和的计算，解题的关键是熟悉二项式系数和公式，考查学生的转化能力与计算能力，属于基础题.
11、D
【解析】根据古典概型的概率公式即可得出答案.
【详解】在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色有红色与绿色两种情况，
其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的情况有1种，
所以在已知其中一个格子颜色为红色条件下另一个格子颜色也为红色的概率为.
故选：D.
12、B
【解析】根据斜率的取值范围，结合来求得倾斜角的取值范围.
【详解】设倾斜角为，因为，且，所以.
故选：B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13、
【解析】先由线面角的定义得到，再计算的值即可得到结论
【详解】在长方体中，连接，
在长方体中，平面，
所以对角线与平面所成的角为，
对角线与平面所成的角为,
对角线与平面所成的角为，
显然，
，
，
所以
,

，
故答案为：

14、
【解析】根据直线与双曲线只有一个交点可知直线与双曲线平行，由渐近线斜率可列出的齐次方程，利用齐次方程求解.
【详解】直线与双曲线有且只有一个交点，且焦点，
直线与双曲线渐近线平行，，即，
，即，.
则双曲线的方程为
故答案为：
15、##
【解析】设，则，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解
【详解】解：设，则，
甲：由可得，则，
乙：由可得：，
丙：由可得，即，所以，
若，则，则不成立，，则，解得或，
所以甲，丙正确，乙错误，
此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，
所以，
故答案为：
16、
【解析】作图，考虑底面是正三角形，按照线面夹角的定义构造直角三角形即可.
【详解】依题意，作图如下，

取
的中点G，连结，
∵是正三角形，∴，，
又∵是正三棱柱，∴底面，∴，
即平面，，与平面的夹角=，
在中，，
故答案为：.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；
（2）.
【解析】(1)由，可得，再利用数量积运算性质即可得出；
(2)以为一组基底，设与所成的角为，由求解.
【小问1详解】
，，，
，
∴
，
；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵＝8，∴，
设与所成的角为，则.
18、（1）；
（2）证明见解析.
【解析】(1)在正方体中，平面，连接，则为与平面所成的角，在直角三角形，求出即可；
(2)∵是正方体，又是空间垂直问题，∴易采用向量法，∴建立如图所示的空间直角坐标系，欲证，只须证，再用向量数量积公式求解即可.
【小问1详解】
在正方体中，平面，
连接，则为与平面所成的角，
又，，，
∴；
【小问2详解】
如图，以为坐标原点，直线、、分别轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.

则
∴，，
∴，
∴.
19、（1）；
（2）.
【解析】(1)根据给定条件求出圆C的半径，再直接写出方程作答.
(2)由给定条件可得圆C与圆O相交，由此列出不等式求解作答.
【小问1详解】
依题意，圆C的半径，
所以圆的标准方程是：.
【小问2详解】
圆：圆心，半径为，
因圆与圆恰有两条公切线，则有圆O与圆C相交，即，而，
因此有，解得，
所以实数的取值范围是.
20、（1）甲获得录取的可能性大；
（2）
【解析】（1）利用独立事件的乘法公式求出甲、乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.
（2）应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.
【小问1详解】
记“甲通过笔试”为事件，“甲通过面试”为事件，“甲获得录取”为事件A，“乙通过笔试”为事件，“乙通过面试”为事件，“乙获得录取”为事件B，则
，，即，
所以甲获得录取的可能性大.
【小问2详解】
记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C，则.
21、（1）；（2）.
【解析】（1）先利用数量积和余弦值得到，再利用面积公式计算即得结果；
（2）根据等差数列得到，再结合余弦定理进行运算得到关于b的关系，求值即可.
【详解】（1）由得，所以，
所以，所以，
所以；
（2）因为a、b、c成等差数列，所以，
由余弦定理得，
即，解得.
22、（1），；
（2）.
【解析】（1）根据题设找到规律写出，由等差数列的定义求.
（2）由等差数列前n项和求，再利用裂项相消法求.
【小问1详解】
由题意知：，，，，
可得每增加一个正方形，火柴增加3根，即，
所以数列是以4为首项，以3为公差的等差数列，则.
【小问2详解】
由题意可知，，
所以，则，
所以，，
即