【普通高中数学课程标准】日常修订版—（2017年版2025年修订）.docx

普通高中
数学课程标准
日常修订版
（ 2017 年版 2025 年修订）

目 录

一 、课程性质 1

二 、课程理念 3

三 、课程目标 5

（一）学科核心素养内涵 5
（二） 目标要求 8

四 、课程结构 9

（一）设计依据 9
（二）结构 9
（三）学分与选课 11

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五 、课程内容 13

（一）必修课程 13
（二）选择性必修课程 35
（三）选修课程 50

六 、学业质量 72

（一）学业质量内涵 72
（二）学业质量描述 72
（三）学业质量标准的应用 75

七 、实施建议 76

（一）教学与评价建议 76
（二）学业水平考试与高考建议 82
（三）教材编写建议 85
（四）地方与学校实施课程标准的建议 90

附录 94

附录 1 数学学科核心素养的水平划分 94
附录 2 教学与评价案例 101

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一 、课程性质

数学是研究数量关系和空间形式的一门科学 。数学源于对现实世界 的抽象，基于抽象结构，通过符号运算 、形式推理 、模型构建等 ，理解 和表达现实世界中事物的本质 、关系和规律 。数学与人类生活和社会发 展紧密关联 。数学不仅是运算和推理的工具 ，还是表达和交流的语言。 数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分 。数学是自然科学 的重要基础，也是重大科技创新发展的基础，并且在社会科学中发挥越 来越大的作用，数学的应用已渗透到现代社会及人们日常生活的各个方 面 。随着现代科学技术特别是人工智能技术的迅猛发展，人们获取数据 和处理数据的能力都得到极大提升 。伴随着数字化时代的到来，人们常 常需要对网络 、文本 、声音 、图像等反映的信息进行数字化处理 ，数学 的研究领域与应用领域得到极大拓展 。数学直接为社会创造价值 ，推动 社会生产力的发展。
数学在形成人的理性思维 、科学精神和促进个人智力发展的过程中 发挥着不可替代的作用 。数学素养是现代社会每一个人应该具备的基本 素养。
数学教育承载着全面贯彻党的教育方针 ，落实立德树人根本任务， 发展素质教育的功能 。高中数学课程具有基础性 、选择性和发展性 。高 中数学课程能帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学基础知

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识 、基本技能 、基本思想和基本活动经验（简称 “四基”）； 引导学生 会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言 表达世界，形成和发展数学学科核心素养；促进学生思维能力 、实践能 力和创新意识的发展，增强社会责任感 ；在学生形成正确世界观 、人生 观 、价值观等方面发挥独特作用 ，为学生的终身学习和全面发展奠定 基础。

2

二 、课程理念

1. 学生发展为本
高中数学课程以学生发展为本 ，落实立德树人根本任务，致力于实 现高中教育阶段的培养目标 。使得人人都能获得良好的数学教育，不同 的人在数学上得到不同的发展；促进学生不断提升适应未来社会需要和 个人终身发展需要的数学学科核心素养。

2. 优化课程结构
高中数学课程体现社会发展的需求 、数学学科的特征和学生的认知 规律 ，发展学生数学学科核心素养 。优化课程结构 ，为学生发展提供共 同基础和多样化选择 ；突出数学主线 ， 凸显数学的内在逻辑和思想方 法；精选课程内容 ，注重知识体系的构建 ；强调数学与生活以及其他学 科的联系 ，提升学生应用数学解决实际问题的能力 ；注重数学文化的 渗透。

3. 把握数学本质
高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教 学情境，启发学生思考 ，引导学生把握数学内容的本质 。提倡独立思 考 、 自主学习 、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣 ，养成

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良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展；充分利用数字 化赋能数学教学 ，助力提高教学质量和教学效率 ；不断引导学生感悟数 学的科学价值 、应用价值 、文化价值和审美价值。

4. 重视过程评价
高中数学学习评价要关注学生学习的结果 ，重视学生学习的过程， 促进数学学科核心素养的形成和发展 。要制定科学合理的学业质量标 准 ，开发有效的评价工具，建立素养导向 、重视过程 、方式多样的评价 体系；要重视教 、学 、评的有效融合 ，通过评价 ，提高学生的学习兴 趣 ，帮助学生认识自我，增强自信 ，帮助教师改进教学 ，提高质量。

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三 、课程目标

（一）学科核心素养内涵
学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步 形成的正确价值观 、必备品格和关键能力 。数学学科核心素养是数学课 程目标的集中体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的 ，包 括：数学抽象 、逻辑推理 、数学建模 、直观想象 、数学运算和数据分 析 。这些数学学科核心素养既相对独立 、又相互交融 ，是一个有机的 整体。

1. 数学抽象
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对 象的素养。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维的重要基础，反映了 数学的本质特征，贯穿在数学产生 、发展 、应用的过程中 。数学抽象使 得数学成为高度概括 、表达准确 、结论一般 、有序多级的系统。
数学抽象主要表现为：通过对问题情境中数量关系和空间形式的抽 象 ，获得数学概念和规则 ，提出数学命题和模型 ，形成数学方法与思 想，认识数学结构与体系。

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通过高中数学课程的学习 ，学生能在情境中抽象出数学概念 、命 题 、方法和体系 ，积累从具体到抽象的活动经验；养成在日常生活和实 践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质 ，以简驭繁 ；运用数学抽 象的思维方式思考并解决问题。

2. 逻辑推理
逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素 养 。主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理 ，推理形式主要有归 纳 、类比 ；另一类是从一般到特殊的推理 ，推理形式主要有演绎。
逻辑推理是得到数学结论 、构建数学体系的重要方式，是数学严谨 性的基本保证，是人们在数学活动中进行交流的基本形式。
逻辑推理主要表现为：掌握推理的基本形式和规则 ，发现问题和提 出命题，探索和表述论证过程 ，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。
通过高中数学课程的学习 ，学生能掌握逻辑推理的基本形式 ，学会 有逻辑地思考问题 ；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联 ，把 握事物发展的脉络；形成重论据 、有条理 、合乎逻辑的思维品质和理性 精神，增强交流能力。

3. 数学建模
数学建模是指在现实情境中发现和提出问题 ，用数学语言表达问 题 ，构建和求解数学模型的素养。
数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形 式 。数学建模既是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发 展的动力。
数学建模主要表现为：在现实情境中，从数学的视角发现问题 、提 出问题，分析问题 、建立模型 ，确定参数 、计算求解 ，检验结果 、改进 模型，最终解决实际问题。
通过高中数学课程的学习 ，学生能有意识地用数学语言表达现实世

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界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联 ；学会用数学模型解 决实际问题 ，积累数学实践的经验；认识数学模型在科学 、社会 、工程 技术诸多领域的作用 ，提升实践能力，增强创新意识和科学精神。

4. 直观想象
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化 ，利 用空间形式与数形结合理解和解决数学问题的素养。
直观想象是发现和提出问题 、分析和解决问题的重要手段，是探索 和形成论证思路 、进行数学推理 、构建抽象结构的思维基础。
直观想象主要表现为：借助空间形式认识事物的位置关系与变化规 律；利用图形描述与分析数学问题；建立形与数的联系 ，构建数学问题 的直观模型 ；运用空间想象，探索解决问题的思路。
通过高中数学课程的学习 ，学生能提升数形结合的能力 ，发展几何 直观和空间想象能力；增强运用几何直观和空间想象思考问题的意识； 形成数学直观 ，在具体的情境中感悟事物的本质。

5. 数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则进行合理运 算，通过运算解决问题的素养。
数学运算是解决数学问题的基本手段 。数学运算是演绎推理，是计 算机解决问题的基础。
数学运算主要表现为 ：能结合具体问题 ，明确运算对象；依据运算 规则，形成运算思路和步骤；求得运算结果，解决问题。
通过高中数学课程的学习 ，学生能进一步发展数学运算能力；有效 借助运算方法解决实际问题；通过运算促进数学思维发展，形成规范化 思考问题的品质，养成一丝不苟 、严谨求实的科学精神。

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6. 数据分析
数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整 理 、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。
数据分析源于研究随机现象，是数字化时代数学应用的一种主要方 法 。数据分析已经深入科学 、技术 、工程和现代社会生活的各个方面。
数据分析主要表现为：结合具体问题，选择合适的方法收集和整理 数据，运用统计工具和其他数学工具描述和分析数据 ，提取信息 ，获得 并解释结论。
通过高中数学课程的学习 ，学生能提升获取有价值信息并进行定量 分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问 题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质 ；积累依托数据探索事物 本质 、关联和规律的活动经验。

（二） 目标要求
通过高中数学课程的学习 ，学生能获得发展数学学科核心素养所必 需的数学基础知识 、基本技能 、基本思想 、基本活动经验 ，发展从数学 角度发现和提出问题的能力 、分析和解决问题的能力（简称 “四能”）。
在数学问题解决和知识体系构建的过程中 ，学生能发展数学抽象、 逻辑推理 、数学建模 、直观想象 、数学运算 、数据分析等数学学科核心 素养。
通过高中数学课程的学习 ，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好 数学的自信心，养成良好的数学学习习惯 ，发展自主学习的能力 ；树立 敢于质疑 、善于思考 、严谨求实的科学精神 ；不断提高实践能力 ，提升 创新意识；认识数学的科学价值 、应用价值 、文化价值和审美价值。

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四 、课程结构

（一）设计依据
1. 依据高中数学课程理念 ，实现 “人人都能获得良好的数学教育， 不同的人在数学上得到不同的发展”，符合学生认知规律 ，促进学生数 学学科核心素养的形成和发展。
2. 依据高中课程方案 ，借鉴国际经验 ，体现课程改革成果 ，调整 课程结构 ，改进学业质量评价。
3. 依据高中数学课程性质，体现课程的基础性 、选择性和发展性， 为全体学生提供共同基础 ，为满足学生的不同志趣和发展提供丰富多样 的课程。
4. 依据数学学科特点 ，关注数学逻辑体系 、内容主线 、知识之间 的关联 ，重视数学实践和数学文化。

（二）结构
高中数学课程分为必修课程 、选择性必修课程和选修课程，包括函 数 、几何与代数 、概率与统计 、数学建模活动与数学探究活动四条主 线 。主线在必修课程和选择性必修课程中分为若干主题，数学文化融入

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课程内容 。高中数学课程结构如下：

预备知识
函数
必修课程
几何与代数
概率与统计
数学建模活动与数学探究活动

高中数学课程
数学文化
函数
几何与代数
选择性必修课程
概率与统计
数学建模活动与数学探究活动

A : 数理类课程
选修课程
B : 经济、社会、部分理工类课程
C : 人文类课程
D : 体育、艺术类课程
E : 拓展、生活、地方、大学数学先修类 课程

说明：数学文化是指数学的思想 、精神 、语言 、方法 、观点 ，以及 它们的形成和发展；还包括数学在人类生活 、科学技术 、社会发展中的 贡献和意义 ，以及与数学相关的人文活动。

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（三）学分与选课
1. 学分设置
必修课程8学分，选择性必修课程 6 学分，选修课程 6 学分。
选修课程的分类 、内容及学分如下。
A类课程包括微积分、空间向量与代数 、概率与统计三个专题 ，其 中微积分 2.5 学分 ，空间向量与代数2学分，概率与统计 1.5 学分 。供 有志于学习数理类（如数学、物理 、计算机 、精密仪器等）专业的学生 选择。
B类课程包括微积分、空间向量与代数 、应用统计 、模型四个专 题，其中微积分2学分，空间向量与代数 1 学分，应用统计 2 学分，模 型 1 学分 。供有志于学习经济 、社会类（如数理经济、社会学等） 和部 分理工类（如化学、生物 、机械等）专业的学生选择。
C类课程包括逻辑推理初步、数学模型 、社会调查与数据分析三个 专题，每个专题2学分。供有志于学习人文类（如语言、历史等）专业 的学生选择。
D类课程包括美与数学、音乐中的数学 、美术中的数学 、体育运动 中的数学四个专题 ，每个专题 1 学分 。供有志于学习体育 、艺术（包括 音乐 、美术）类等专业的学生选择。
E类课程包括拓展视野、 日常生活 、地方特色的数学课程 ，还包括 大学数学的先修课程等 。大学数学先修课程包括三个专题：微积分 、解 析几何与线性代数 、概率论与数理统计 ，每个专题 6 学分。

2. 课程定位
必修课程为学生发展提供共同基础，是普通高中学业水平考试（简 称 “学业水平考试”） 和普通高等学校招生全国统一考试（简称 “高 考”） 的内容要求。
选择性必修课程是供学生选择的课程，是高考的内容要求。

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选修课程为学生确定发展方向提供引导 ，为学生展示数学才能提供 平台 ，为学生发展数学兴趣提供选择 ，为普通高等学校（简称 “高等学 校”）招生提供参考。

3. 选课说明
如果学生以高中毕业为目标，需要完成必修课程的学习，参加数学 学业水平考试。
如果学生以进入高等学校为目标，需要完成必修课程和选择性必修 课程的学习，参加数学高考。
如果学生在上述选择的基础上，还希望多学习一些数学课程 ，可以 在选择性必修课程或选修课程中 ，根据自身未来发展的需求进行选择。
在选修课程中可以选择某一类课程 ，例如 ，A类课程；也可以选择 某类课程中的某个专题 ，例如 ，E类课程的大学数学先修课程中的微积 分；还可以选择某些专题的组合 ，例如，D类课程中的美与数学、C类 课程中的社会调查与数据分析等。

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五 、课程内容

（一）必修课程
必修课程包括五个主题，分别是预备知识 、函数 、几何与代数 、概 率与统计 、数学建模活动与数学探究活动 。数学文化融入课程内容。
必修课程共 8 学分 144 课时 ，表 1 给出了课时分配建议 ，教材编 写 、教学实施时可以根据实际作适当调整。
表 1 必修课程课时分配建议表

主题
单元
建议课时

主题一 预备知识
集合

18
常用逻辑用语
相等关系与不等关系
从函数观点看一元二次方程 和一元二次不等式

主题二 函数
函数概念与性质

52
幂函数 、指数函数 、对数函数
三角函数
函数应用

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续表

主题
单元
建议课时
主题三
几何与代数
平面向量及其应用

42
复数
立体几何初步
主题四
概率与统计
概率

20
统计
主题五
数学建模活动
与数学探究活动

数学建模活动 与数学探究活动

6
机动
6

主题一 预备知识
预备知识以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合 、常用逻 辑用语 、相等关系与不等关系 、从函数观点看一元二次方程和一元二次 不等式等内容的学习 ，为高中数学课程做好学习心理 、学习方式和知识 技能等方面的准备 ，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。

【内容要求】
内容包括：集合 、常用逻辑用语 、相等关系与不等关系 、从函数观 点看一元二次方程和一元二次不等式。

1. 集合
集合是刻画一类事物的语言和工具 。本单元的学习 ，可以帮助学生 使用集合的语言简洁 、准确地表述数学的研究对象 ，学会用数学的语言 表达和交流 ，积累数学抽象的经验。
内容包括 ：集合的概念与表示 、集合的基本关系 、集合的基本 运算。

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(1) 集合的概念与表示
①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。
②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言 刻画集合。
③在具体情境中，了解全集与空集的含义。
(2) 集合的基本关系
理解集合之间包含与相等的含义 ，能识别给定集合的子集。
(3) 集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。
②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。
③能使用 Venn 图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理 解抽象概念的作用。

2. 常用逻辑用语
常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工 具，是逻辑思维的基本语言 。本单元的学习 ，可以帮助学生使用常用逻 辑用语表达数学对象 、进行数学推理，体会常用逻辑用语在表述数学内 容和论证数学结论中的作用 ，提高交流的严谨性与准确性。
内容包括 ：必要条件 、充分条件 、充要条件 ，全称量词与存在量 词，全称量词命题与存在量词命题的否定。
(1) 必要条件 、充分条件 、充要条件
①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定 理与必要条件的关系。
②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定 理与充分条件的关系。
③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定 义与充要条件的关系。

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(2) 全称量词与存在量词
通过已知的数学实例 ，理解全称量词与存在量词的意义。
(3) 全称量词命题与存在量词命题的否定
①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。
②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。

3. 相等关系与不等关系
相等关系 、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程 、不 等式的基础 。本单元的学习 ，可以帮助学生通过类比 ，理解等式和不等 式的共性与差异 ，掌握基本不等式。
内容包括：等式与不等式的性质 、基本不等式。
(1) 等式与不等式的性质
梳理等式的性质 ，理解不等式的概念 ，掌握不等式的性质。
(2) 基本不等式
掌握基本不等式（a，b≥0)。结合具体实例，能用基
本不等式解决简单的最大值或最小值问题。

4. 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法 。本单元的学习， 可以帮助学生用一元二次函数认识一元二次方程和一元二次不等式 。通 过梳理初中数学的相关内容 ，理解函数 、方程和不等式之间的联系 ，体 会数学的整体性。
内容包括：从函数观点看一元二次方程 、从函数观点看一元二次不 等式。
(1) 从函数观点看一元二次方程
会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实 根的个数 ，了解函数的零点与方程根的关系。

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(2) 从函数观点看一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次 不等式的现实意义 。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用 集合表示一元二次不等式的解集。
②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方 程的联系（参见案例 1)。

【教学提示】
初中阶段数学知识相对具体 ，高中阶段数学知识相对抽象 。教师应 针对这一特征帮助学生完成从初中到高中数学学习的过渡，包括学习心 理 、学习方式等方面。
在集合 、常用逻辑用语的教学中，教师应创设合适的教学情境 ，以 义务教育阶段学过的数学内容为载体 ，引导学生用集合语言和常用逻辑 用语梳理 、表达学过的相应数学内容 。应引导学生理解属于关系可以定
义集合的基本关系，了解元素a与由元素a组成的集合｛a｝的差异， 即a∈｛a｝，a与｛a｝不相同。在梳理过程中，可以针对学生的实际布
置不同的任务，采用自主学习与合作学习相结合的方式组织教学活动。
在相等关系与不等关系的教学中，应引导学生通过类比学过的等式 与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异。
在从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的教学中 ，可以先 以讨论具体的一元二次函数变化情况为情境 ，引导学生发现一元二次函 数与一元二次方程的关系 ，引出一元二次不等式概念 ；然后进一步引导 学生探索一般的一元二次函数与一元二次方程 、一元二次不等式的关 系 ，归纳总结出用一元二次函数解一元二次不等式的程序。
教学中，要根据内容的定位和教育价值，关注数学学科核心素养的 培养 。要让学生逐渐养成借助直观理解概念 、进行逻辑推理的思维习 惯 ，以及独立思考 、合作交流的学习习惯 ，引导学生感悟高中阶段数学 课程的特征，适应高中阶段的数学学习。

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【学业要求】
能够在现实情境或数学情境中 ，概括出数学对象的一般特征，并用 集合语言予以表达 。初步学会用三种语言（自然语言、 图形语言 、符号 语言）表达数学研究对象，并能进行转换 。理解集合的基本关系与基本 运算。
能够借助常用逻辑用语进行数学表达 、论证和交流，体会常用逻辑 用语在数学中的作用。
能够从函数观点认识一元二次方程和一元二次不等式，感悟数学知 识之间的关联，认识函数的重要性 。掌握等式与不等式的性质。
重点提升数学抽象 、逻辑推理和数学运算素养。

主题二 函数
函数是现代数学最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律 的最为基本的数学语言和工具 ，在解决实际问题中发挥重要作用 。函数 是贯穿高中数学课程的主线。

【内容要求】
内容包括： 函数概念与性质，幂函数 、指数函数 、对数函数 ，三角 函数 ，函数应用。

1. 函数概念与性质
本单元的学习 ，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理 解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集 合之间的对应关系 ；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质 ；在 现实问题中 ，能利用函数构建模型，解决问题。
内容包括：函数概念、函数性质、* 函数的形成与发展（标有 *的
内容均为选学内容，不作为考试要求）。

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(1) 函数概念
①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和 对应关系刻画函数 ，建立完整的函数概念（参见案例 2), 体会集合语 言和对应关系在刻画函数概念中的作用 。了解构成函数的要素 ，能求简 单函数的定义域。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、 列表法 、解析法等）表示函数 ，理解函数图象的作用。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
(2) 函数性质
①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大（小）值， 理解它们的作用和实际意义。
②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。
③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。
(3) * 函数的形成与发展
收集 、阅读函数的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数 发展的过程 、重要结果 、主要人物 、关键事件及其对人类文明的贡献。

2. 幂函数 、指数函数 、对数函数
幂函数 、指数函数与对数函数是最基本的 、应用最广泛的函数，是 进一步学习数学的基础 。本单元的学习 ，可以帮助学生学会用函数图象 和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算 规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在 解决实际问题中的作用。
内容包括：幂函数 、指数函数 、对数函数。
(1) 幂函数
通过具体实例，结合狔＝x，狔＝，狔＝x2 , 狔＝\x，狔＝x3 的图
象 ，理解它们的变化规律 ，了解幂函数。

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(2) 指数函数
m
①通过对有理数指数幂an（a＞0, 且a≠1；m，n∈Z，且n≠0)、 实数指数幂ax（a＞0, 且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓 展过程 ，掌握指数幂的运算性质。
②通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的 概念。
③能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理 解指数函数的单调性与特殊点。
(3) 对数函数
①理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化 成自然对数或常用对数。
②通过具体实例，了解对数函数的概念。能用描点法或借助计算工 具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
③知道对数函数y=logax与指数函数y＝ax 互为反函数（a＞0, 且 a≠1 )。
④ *收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文， 论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用。

3. 三角函数
三角函数是一类最典型的周期函数 。本单元的学习 ，可以帮助学生 在用锐角三角函数刻画直角三角形中边角关系的基础上，借助单位圆建 立一般三角函数的概念，体会引入弧度制的必要性 ；用几何直观和代数 运算的方法研究三角函数的周期性 、奇偶性（对称性）、 单调性和最大 （小）值等性质；探索和研究三角函数之间的一些恒等关系 ；利用三角 函数构建数学模型，解决实际问题。
内容包括 ：角与弧度 、三角函数概念和性质 、同角三角函数的基本 关系式 、三角恒等变换 、三角函数应用。

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(1) 角与弧度
了解任意角的概念和弧度制 ，能进行弧度与角度的互化，体会引入 弧度制的必要性（参见案例3)。
(2) 三角函数概念和性质
①借助单位圆理解三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的 定义 ，能画出这些三角函数的图象 ， 了解三角函数的周期性 、单调性、 奇偶性 、最大（小）值 。借助单位圆的对称性，利用定义推导出诱导公 式 ，α±π的正弦、余弦、正切）。
②借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0, 2π] 上，正切函数在 上的性质。
③结合具体实例，了解狔＝Asin（wx+φ)（A≠0, w≠0) 的实际 意义；能借助图象理解参数w，φ, A的意义，了解参数的变化对函数 图象的影响。
(3) 同角三角函数的基本关系式
理解同角三角函数的基本关系式 tan x。
(4) 三角恒等变换
①经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义。
②能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公 式，二倍角的正弦 、余弦 、正切公式 ，了解它们的内在联系。
③能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括推导出积化和差、和 差化积 、半角公式 ，这三组公式不要求记忆）。
(5) 三角函数应用
会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻 画事物周期变化的数学模型（参见案例4)。

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4. 函数应用
函数应用不仅体现在用函数解决数学问题，更重要的是用函数解决 实际问题 。本单元的学习 ，可以帮助学生掌握运用函数性质求方程近似 解的基本方法（二分法）； 理解用函数构建数学模型的基本过程 ；运用 模型思想发现和提出问题 、分析和解决问题。
内容包括：二分法与求方程近似解 、函数与数学模型。
(1) 二分法与求方程近似解
①结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系。
②结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探 索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图 ，能借助计算工具用二 分法求方程近似解 ，了解用二分法求方程近似解具有一般性。
(2) 函数与数学模型
①理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言 和工具 。在实际情境中 ，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化 规律。
一
②结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、
元一次函数 、指数函数增长速度的差异 ，理解 “对数增长”“直线上升” “指数爆炸”等术语的现实含义。
③收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，
体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实 意义。

【教学提示】
教师应把本主题的内容视为一个整体 ，引导学生从变量之间的依赖 关系 、实数集合之间的对应关系 、函数图象的几何直观等角度整体认识 函数概念；通过梳理函数的单调性 、周期性 、奇偶性（对称性）、 最大 （小）值等，认识函数的整体性质 ；经历运用函数解决实际问题的全 过程。

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函数概念的引入 ，可以用学生熟悉的例子为背景进行抽象 。例如， 可以从学生已知的 、基于变量关系的函数定义入手 ，引导学生通过生活 或数学中的问题 ，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必 要性，感悟数学抽象的层次。
函数单调性的教学，要引导学生正确使用符号语言清晰地刻画函数 的性质（参见案例 5)。 在函数定义域 、值域以及函数性质的教学过程 中，应避免编制偏题 、怪题，避免烦琐的技巧训练。
指数函数的教学，应关注指数函数的运算法则和变化规律 ，引导学 生经历从整数指数幂到有理数指数幂，再到实数指数幂的拓展过程 ，掌 握指数函数的运算法则和变化规律。
对数函数的教学，应通过比较同底数的指数函数和对数函数（例
如，y=2x和y=log2 x），认识它们互为反函数。
三角函数的教学，应发挥单位圆的作用 ，引导学生结合实际情境， 借助单位圆的直观 ，探索三角函数的有关性质（参见案例 6)。 在三角 恒等变换的教学中 ，可以采用不同的方式得到三角恒等变换基本公式； 也可以在向量的学习中 ，引导学生利用向量的数量积推导出两角差的余 弦公式。
函数应用的教学，要引导学生理解如何用函数描述客观世界事物的 变化规律，体会幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数等函数与现实 世界的密切联系（参见案例 7)。
鼓励学生运用信息技术学习 、探索和解决问题 。例如 ，利用计算 器 、计算机画出幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数等的图象 ，探 索 、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的近似解等（参见 案例 8)。
可以组织学生收集 、阅读函数的形成与发展的历史资料，结合内容 撰写报告，论述函数发展的过程 、重要结果 、主要人物 、关键事件及其 对人类文明的贡献。

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【学业要求】
能够从两个变量之间的依赖关系 、实数集合之间的对应关系 、函数 图象的几何直观等多个角度 ，理解函数的意义与数学表达 ；理解函数符 号表达与抽象定义之间的关联 ，知道函数抽象概念的意义。
能够理解函数的单调性 、最大（小）值 ，了解函数的奇偶性 、周期 性 ；理解一些基本函数类（如一元一次函数、反比例函数 、一元二次函 数 、幂函数 、指数函数 、对数函数 、三角函数等） 的背景 、概念和性 质 ；能从整体的角度探索具体函数模型和一般函数的性质和应用。
能够对简单的实际问题 ，选择适当的函数构建数学模型 ，解决问 题 ；能够从函数观点认识方程，并运用函数的性质求方程的近似解 ；能 够从函数观点认识不等式，并运用函数的性质解不等式 。具有用函数分 析事物的意识。
重点提升数学抽象 、数学建模 、数学运算 、直观想象和逻辑推理 素养。

主题三 几何与代数
几何与代数是高中数学课程的主线之一 。在必修课程与选择性必修 课程中 ，突出几何直观与代数运算之间的融合 ， 即通过形与数的结合， 感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。

【内容要求】
内容包括：平面向量及其应用 、复数 、立体几何初步。

1. 平面向量及其应用
向量理论具有深刻的数学内涵和丰富的物理背景 。向量既是代数研 究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁 。向量是描述直 线 、曲线 、平面 、曲面以及高维空间数学问题的基本工具，是进一步学 习和研究其他数学领域问题的基础 ，在解决实际问题中发挥重要作用。

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本单元的学习 ，可以帮助学生理解平面向量的几何意义和代数意义 ；掌 握平面向量的概念 、运算 、向量基本定理以及向量的应用 ；用向量语 言 、方法表述和解决现实生活 、数学和物理中的问题。
内容包括： 向量概念 、向量运算 、向量基本定理及坐标表示 、向量 应用与解三角形。
(1) 向量概念
①通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理 解平面向量的意义和两个向量相等的含义。
②理解平面向量的几何表示和基本要素。
(2) 向量运算
①借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运 算规则 ，理解其几何意义。
②通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何 意义 。理解两个平面向量共线的含义。
③了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。
④通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意 义，会计算平面向量的数量积。
⑤通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义 （参见案例 9)。
⑥会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
(3) 向量基本定理及坐标表示
①掌握平面向量基本定理。
②借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算。
④能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角。
⑤能用坐标表示平面向量共线、垂直。
(4) 向量应用与解三角形
①会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际

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问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用。
②借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定 理 、正弦定理。
③能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。

2. 复数
复数是一类重要的运算对象，有广泛的应用 。本单元的学习 ，可以 帮助学生通过方程求解等 ，理解引入复数的必要性 ， 了解数系的扩充， 掌握复数的表示 、运算及其几何意义。
内容包括 ：复数的概念 、