同济高数总复习下市公开课一等奖省赛课微课金奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,总 复 习,第1页,1.多元函数导数,设二元函数 则因变量对某一个变量偏,例1 设 求,解 由定义得,一、多元微分,导是将其余变量视为常量导数.,第2页,例2 设,解 由复合函数导数公式,得,求,第3页,在偏导计算过程中,要注意是怎样按定义计算函数,例3 求函数,偏导.,解 当 时,在一点导数.,第4页,第5页,当 时,同理:,第6页,2.高阶偏导,因为偏导本质上是一元函数导数,故偏导函数依然是,多元函数,由此能够定义高阶导数.对二元函数,高阶导数为,第7页,例4 设,解 由例2,知,所以,求二阶偏导.,第8页,在上例中看到,在二阶偏导连续条件下,有,第9页,3.全微分,定义 对函数 对自变量增量,若全增量含有表示式,其中 则称函数为可微,对应微,对应因变量全增量为,分记为,第10页,可微条件,偏导连续,可微,函数连续,偏导存在.,微分计算公式,若函数有连续偏导,则,第11页,例5 设,解 由例2知,故,求,第12页,例6 讨论例3中函数在原点可微性.,解 由例3知,从而有,由此得,第13页,即有函数在原点可微分,且有,第14页,4.复合函数导数,设二元复合函数,其中函数 都有所需要各阶偏导数,则,第15页,例7 设,解 令 则,由导数公式,求,第16页,例8 设,解 令 则,所以,其中 为 类函数,求二阶偏导.,第17页,第18页,5.隐函数导数,一个方程确定隐函数,隐函数存在定理 若函数 满足,则在点 某一邻域,由方程 可,确定一个 类函数 且有,函数有对各个变量连续偏导数;,第19页,例9 设二元函数 由方程 确,解 令 则,故由公式得,定,求,第20页,例10 设函数,是由方程,确定,求,解 令,则:,所以:,第21页,第22页,例11 设方程,确定 是 函,数,证实,证 令,则:,所以:,第23页,因而,第24页,第25页,方程组确定隐函数,隐函数存在定理 设四元函数,函数对各个变量含有连续偏导,则方程组 在点 某个邻,满足,第26页,域内能唯一地确定一组 函数组 满足条,件 并有对应导数公,式.,第27页,例12 设方程,求,解 方程两边对 求导,则有,上式第二式乘 再两式相减得,确定隐函数,第28页,从而有,同理有,由对称性得,第29页,6.方向导数与梯度,设二元函数 为可微函数,是与 同,向单位向量,则函数在点 处沿方向 方向导数,为:,梯度为,由此得:,第30页,处外法向量,求,例13 设 是曲面,解,令,因,取外法线方向,故,导数.,则:,在点,在点,处沿 方向,第31页,所以:,又:,第32页,从而:,第33页,处沿哪个方向方向导数最大？并求此最大值.,例14 函数,解,因为梯度方向即为最大方向导数方向.,在点,第34页,为最大方向导数方向.,最大方向导数为,第35页,二、多元微分应用,1.几何应用,曲线切线与法平面方程,设曲线由参数方程给出:,第36页,点 则曲线在该点处切线和法平,切线,法平面,面方程为,第37页,若曲线有普通方程给出,则切线可视为两切平面交线.,曲面切平面与法线,设曲面方程为 点,切平面,则切平面方程与法线方程为,第38页,法线,第39页,例15 在曲线 上,求与平面,解 设切点所对应参数值为 故对应切向量为,即,平行切线.,由已知条件得切向量与平面法向垂直,即有,第40页,故切点为 和 切向量为,和 对应切线方程为,和,第41页,例16 求曲面,切平面方程.,解 设切点为,上平行于平面,则该点法向量为:,由条件两平面平行,即有:,有:,代入曲面方程有:,因而切点为:,第42页,故所求切平面为,第43页,例17 求曲面,解 设切点为,切平面,使之过,且与直线,平行.,则该点法向量为,因平面与直线平行,故平面方向与直线方向垂直,即,设切平面方程为,即,第44页,又点在平面上,即有,联立方程:,解之得,对应切平面方程为,第45页,二元函数极值,设二元函数 为 类函数,求极值.,1.求函数一阶和二阶偏导;,2.令 求函数全部驻点;,3.对函数全部驻点,计算 符号,若,第46页,极小值,极大值,非极值,第47页,例18 设 由,解 方程两边求导,得,令 则有方程组,确定,求函数极值.,第48页,解此方程组,得 再代入原方程,有驻点,对上述驻点,解此方程组,并注意到一阶偏导为零,有,在上面两个方程中,继续求导,得,第49页,此时,极小值点,极小值为,此时 所以 是,极大值点,极大值为,所以 是,第50页,条件极值,问题 求函数 在条件 下,极值.,方法 1.结构函数,2.解方程组,3.对方程解进行讨论.,第51页,例19 求椭圆 长半轴和短半轴之,解 椭圆半轴长分别为原点到曲线最长距离和最短,对应方程组为,长.,距离.故作函数,第52页,由条件轻易知道:于是有,令 即有,第53页,解之得 再代入曲线方程,得,故两半轴之长分别为,第54页,二、重积分,1.二重积分计算,先 后,先 后,在直角坐标下计算,第55页,在极坐标下计算,普通坐标变换,第56页,例20 计算积分,解 积分区域如图.因被积函数原函数不是初等函数,故不能直接积分.首先交换积分次序:,第57页,第58页,例21 计算积分,及直线 围成平面区域.,解,其中 由双曲线,第59页,例22 计算积分,解,其中,第60页,2.三重积分计算,在直角坐标下三重积分计算,先1后2积分:,第61页,先2后1积分,利用柱面坐标计算三重积分,第62页,利用球面坐标计算三重积分,第63页,例23 计算积分,绕 轴旋转一周所成曲面再与 所围成立体.,解1,其中 由,第64页,所以,积分,解2 利用柱面坐标,第65页,例24 计算积分,及 所围成区域.,解 利用球面坐标,其中 是由曲面,第66页,3.重积分应用,曲面面积 设空间曲面,空间立体质量与重心坐标计算:设空间几何形,体 密度函数为 则质量 和重心坐标,则曲面面积为,分别为,第67页,第68页,三、曲线积分与曲面积分,1.曲线积分,第一类曲线积分,计算方法:若,第69页,则有,第二类曲线积分,计算方法 若,第70页,则有,第71页,例25 求积分,解,其中,第72页,例26 求八分之一球面,解 曲线弧质量为,设中心坐标为 则,边界曲线重心（）.,第73页,由对称性知 即重心坐标为,第74页,例27 求,其中 取逆时针方向.,解 由积分公式得,第75页,所以,原积分为,第76页,2.曲面积分,第一类曲面积分,计算方法:,第二类曲面积分,第77页,积分方法:,其中,上侧取正,下侧取负.,第78页,例28 设 为椭球面,为 在点 处切平面,为点,到平面距离,求,解 由条件知切平面方程为,则,上半部分,点,第79页,因曲面方程为,因而,所以,第80页,第81页,例29 计算积分,上半球面 取上侧.,解,其中 为,第82页,第83页,所以,第84页,三个主要公式,格林公式,而且曲线积分与路径无关,高斯公式,第85页,斯托克斯公式,第86页,例30 设函数 在 平面上有一阶连续偏导数,曲线积分 与路径无关,且对任意,求,解 由曲线积分与路径无关条件,得,恒有,第87页,故,又,两边求导,得,故 即,第88页,例31 求,其中 为正常数,为从点 沿,解 添加弧段 因,到点 一段弧.,第89页,由格林公式,所以,第90页,例32 计算积分,其中 取上侧.,解 作辅助曲面 并取下侧,则,所以,第91页,第92页,例33 求,解 作 取下侧,则,其法向与 轴正向夹角为锐角.,所以,其中,第93页,而,第94页,由此得到,第95页,例34 求 其中,是曲线 从 轴正向看是顺时针方向.,解 取曲面为平面 被柱面所割下部分,并,取下侧,则有,第96页,第97页,四、无穷级数,1.数项级数,设级数 部分和 若,则级数是收敛,且,第98页,正项级数,正项级数收敛性判定,比较判别法及极限形式;,比值判别法;,根值法.,交织级数,交织级数收敛性判定定理.,第99页,绝对收敛性,第100页,例35 讨论级数 收敛性.,解 因,故级数收敛.,第101页,例36 讨论级数,解 因,又,收敛性.,第102页,所以级数 绝对收敛.,第103页,例37 讨论级数 收敛性.,解 因,考虑级数 显然有,第104页,又,从而级数 收敛,又 发散,故原级数,发散.,第105页,例38 讨论级数 收敛性.,解 令,又,故原级数条件收敛.,第106页,2.幂级数,求幂级数收敛半径,比值法 设幂级数 则收敛半径为,根值法,第107页,泰勒级数和麦克劳林级数,基本展开式,第108页,函数展开成泰勒级数和麦克劳林级数,求和函数.,第109页,例39 求幂级数,解 轻易得到收敛域为 在收敛范围中令和函数,为 即,收敛域和和函数.,第110页,所以,由此得到,第111页,例40 求,解 轻易得到收敛域为 令和函数为 则,收敛域及和函数.,第112页,第113页,例41 将函数,解 因,又,故,展开成 及,幂级数.,第114页,所以,第115页,第116页,例42 将函数,展开成 幂级数.,解 因,所以,第117页,两边积分,得,第118页,例43 求,解 利用比值法直接求出对应收敛半径.因,故当 级数收敛,当 时级数发散,所,以收敛区间为 .在端点处,级数收敛.令,收敛区间及和函数.,第119页,则,两端求导后得,第120页,3.傅立叶级数,将周期为 周期函数展开成傅立叶级数,其中,第121页,将周期为 周期函数展开成傅立叶级数,第122页,正弦级数与余弦级数,第123页,例44 将函数 展开成周期为,2傅立叶级数.,解 注意到函数为偶函数,且满足收敛条件.,第124页,所以,第125页,第126页,