高三数学一轮复习线面垂直面面垂直.ppt

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高考总复习,数学（理）,衡水,名师新作,第三节,直线和平面垂直、平面与平面垂直,最新考纲,1.,掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理,2,掌握斜线在平面上的射影的概念,3,掌握三垂线定理及其逆定理,4,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理,高考热点,1.,以选择题形式考查线面、面面位置关系的判定和性质,2,以解答题的形式考查多面体中的线面垂直或面面垂直,.,1.,直线和平面垂直,(1),定义：如果一条直线,l,和一个平面,内的,，那么就说这条直线,l,和平面,互相垂直,(2),判定方法,.,定义,.,判定定理：,任意一条直线都垂直,2,两个平面垂直,(1),定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是,，就说这两个平面互相垂直,直二面角,1,无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为,“,低维,”,垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的,“,桥梁,”,2,在线面垂直和面面垂直的判定定理，有一些非常重要的限制条件，如,“,两条相交直线,”“,一个平面经过另一个平面的一条垂线,”,等，这即为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性,3,三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直,(,这是前提,),；二是平面内一条直线与斜线的射影,(,或斜线,),垂直；三是这条直线与斜线,(,或射影,),垂直，构成定理的五个元素是,“,一面四线,”,运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面,作出垂线,找到斜线,连成射影,找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线,题型一,直线和平面垂直的判定与性质,思维提示,线面垂直的定义,线面垂直的判定定理,注意垂直关系的相互转化,例,1,如图，,AC,平面,，,AB,平面,，,CD,，点,M,是,AC,的中点，点,N,是,BD,的中点，若,AB,4,，,AC,2,，,CD,4,，,BD,6.,(1),求证：,AB,平面,ACD,；,(2),求证：,MN,为,AC,与,BD,的公垂线，并计算,MN,的长,(2),如图，过,B,作,BE,平面,于,E,，,AB,平面,，,AC,平面,，,四边形,ABEC,是矩形,规律总结,(1),证线面垂直，需先有线线垂直，在,BAD,中应用勾股定理的逆定理，可判断出,AB,AD,，即通过计算来证明垂直关系，这在高考题中也是常用的方法之一,(2),直角三角形的一条直角边平行于平面，则直角在该平面内的射影仍为直角，将图形补充完整，把证,MN,BD,转化为证,CF,平面,BDE,.,等腰三角形底边的中线垂直于底边是我们常遇到的一种类型做这种类型题时，应注意抓住这一点另外反复运用线面垂直的性质定理与判定定理，是解决本题的基本方法,.,备选例题,1,如图所示，直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AC,BC,1,，,ACB,90,，,A,1,A,，,D,是,A,1,B,1,的中点,(1),求证：,C,1,D,平面,ABB,1,A,1,；,(2),在,BB,1,上找一点,F,，使,AB,1,平面,C,1,DF,，并说明理由,解：,(1),证明：,ABC,A,1,B,1,C,1,是直三棱柱，,AA,1,平面,A,1,B,1,C,1,.,又,C,1,D,平面,A,1,B,1,C,1,，,C,1,D,A,1,A,，,又,A,1,C,1,B,1,C,1,AC,BC,1,，,D,是,A,1,B,1,的中点，,C,1,D,A,1,B,1,，,C,1,D,平面,ABB,1,A,1,.,(2),作,DE,AB,1,于,E,，延长,DE,交,BB,1,于,F,，,连结,C,1,F,，则,AB,1,平面,C,1,DF,.,这是因为,AB,1,DF,，,AB,1,C,1,D,，,DF,C,1,D,D,，所以,AB,1,平面,C,1,DF,.,题型二,两个平面垂直的判定,思维提示,利用定义证明两个平面所成的二面角是直角,利用面面垂直的判定定理证明一个平面经过另一个平面的一条垂线,例,2,如图所示，,ABC,为正三角形，,EC,平面,ABC,，,BD,CE,，且,CE,CA,2,BD,，,M,是,EA,的中点,求证：,(1),DE,DA,；,(2),平面,MDB,平面,ECA,；,(3),平面,DEA,平面,ECA,.,分析,(1),要证明,DE,DA,，只需证明,Rt,DEF,Rt,DAB,.(2),注意到,M,为,EA,中点，可取,CA,中点,N,，先证明,N,点在平面,BDM,内，再证明,BN,与平面,ECA,垂直即可,(3),仍需证明平面,DEA,经过平面,ECA,的一条垂线,规律总结,在证明两平面垂直时，,一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加，在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直要熟练掌握,“,线线垂直,”,、,“,线面垂直,”,、,“,面面垂直,”,间的转化条件和转化运用,.,备选例题,2,(2010,菏泽模拟,),如图，在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E,、,F,分别是,BB,1,、,CD,的中点,(1),证明：,AD,D,1,F,；,(2),求,AE,与,D,1,F,所成的角；,(3),证明：面,AED,面,A,1,FD,1,.,解：,(1),证明：,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,是正方体，,AD,平面,DCC,1,D,1,.,D,1,F,平面,DCC,1,D,1,，,AD,D,1,F,.,(2),设,G,为,AB,的中点，连结,A,1,G,、,FG,，,因为,F,是,CD,的中点，所以,GF,AD,，且,GF,AD,.,又,A,1,D,1,AD,，且,A,1,D,1,AD,，,所以四边形,GFD,1,A,1,是平行四边形，,A,1,G,D,1,F,.,设,A,1,G,与,AE,相交于,H,，则,A,1,HA,是,AE,与,D,1,F,所成的角,因为,E,是,BB,1,的中点，所以,A,1,AG,ABE,，,GA,1,A,GAH,，从而,A,1,HA,90,，,故直线,AE,与,D,1,F,所成的角为,90.,(3),证明：,由,(1)(2),得：,D,1,F,AD,，,D,1,F,AE,，,AD,AE,A,，,D,1,F,平面,AED,，,平面,A,1,D,1,F,平面,AED,，即平面,AED,平面,A,1,D,1,F,.,题型三,两个平面垂直的性质,思维提示,面面垂直的性质定理,线线、线面、面面垂直的相互转化,例,3,已知：三棱锥,P,ABC,，平面,PAB,平面,ABC,，平面,PAC,平面,ABC,，,AE,平面,PBC,，,E,为垂足,(1),求证：,PA,平面,ABC,；,(2),当,E,为,PBC,的垂心时，求证：,ABC,是直角三角形,分析,已知条件,“,平面,PAB,平面,ABC,，,”,，想到平面垂直的性质定理，便有如下解法,证明,(1),在平面,ABC,内取一点,D,，作,DF,AC,于,F,.,平面,PAC,平面,ABC,，且交线为,AC,，,DF,平面,PAC,.,又,PA,平面,PAC,.,，,DF,PA,.,作,DG,AB,于,G,，同理可证：,DG,PA,.,DG,、,DF,都在平面,ABC,内且,DG,DF,D,，,PA,平面,ABC,.,(2),连结,BE,并延长交,PC,于,H,，,E,是,PBC,的垂心，,PC,BH,.,又已知,AE,是平面,PBC,的垂线，,PC,平面,PBC,，,PC,AE,.,又,BH,AE,E,，,PC,平面,ABE,.,又,AB,平面,ABE,，,PC,AB,.,PA,平面,ABC,，,PA,AB,.,又,PC,PA,P,，,AB,平面,PAC,，,又,AC,平面,PAC,，,AB,AC,，,即,ABC,是直角三角形,规律总结,已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面,第,(2),问的关键是灵活利用,(1),问的结论,.,备选例题,3,(2010,泉州模拟,),在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,AA,1,AB,AC,4,，,BAC,90,，,D,为侧面,ABB,1,A,1,的中心，,E,为,BC,的中点,(1),求证：平面,DB,1,E,平面,BCC,1,B,1,；,(2),求异面直线,A,1,B,与,B,1,E,所成的角,解：,(1),证明：连结,AE,.,AB,AC,，且,E,为,BC,的中点，,AE,BC,，,BB,1,平面,ABC,，,AE,BB,1,，,AE,平面,BCC,1,B,1,，,平面,DB,1,E,平面,BCC,1,B,1,.,题型四,三垂线定理及其逆定理的应用,思维提示,线线垂直、线面垂直的判定与性质,三垂线定理及其逆定理,例,4,如图所示，,ADB,和,ADC,都以,D,为直角顶点的直角三角形，且,AD,BD,CD,，,BAC,60.,(1),求证：,BD,平面,ADC,；,(2),若,H,为,ABC,的垂心，求证：,H,是,D,在平面,ABC,内的射影；,(3),若,M,、,N,分别是,ABD,与,BCD,的重心，求证：,MN,面,ADC,.,分析,(1),“,射影,”,与,“,垂直,”,相连，,“,证线面垂直，先找线线垂直,”,；,(2),“,垂心,”,是,“,高,”,的交点，线线垂直，由此根据三垂线定理去找；,(3),“,重心,”,有个性质，把中线分为,2,1,，,“,平行,”,当然由平行截割定理而得到,证明,(1),AD,BD,CD,，,ADB,ADC,90,，,ABD,ACD,，,AB,AC,.,又,BAC,60,，,ABC,为正三角形，,AB,BC,.,ABD,BCD,，,BDC,为直角三角形，,BDC,90,，,BD,CD,.,又,BD,AD,，,AD,CD,D,，,BD,平面,ADC,.,(2),如图所示，设,D,在,ABC,内的射影为,H,，连结,CH,延长并交,AB,于,E,，,CD,AD,，且,CD,DB,，,CD,面,ADB,，,CD,AB,，由三垂线定理得,CE,AB,.,同理，连,BH,并延长交,AC,于,F,，,BF,AC,.,H,为,ABC,的垂心，即,D,在平面,ABC,内射影为,ABC,的垂心，,H,与,H,重合，,H,是垂心,规律总结,三垂线定理及其逆定理所论述的是三个垂直关系：一是直线与平面垂直；二是平面内一条直线与斜线的射影,(,或斜线,),垂直；三是这条直线与斜线,(,或射影,),垂直，构成定理的五个元素是,“,一面四线,”,，运用三垂线定理及其逆定理的步骤是：确定平面,作出垂线,找到斜线,连成射影,找面内线，其关键是确定平面及平面的垂线,.,备选例题,4,如图所示，,ABC,所在平面,外一点,P,，已知,PA,BC,，,PB,AC,.,求证：,(1),P,在平面,内的射影是,ABC,的垂心；,(2),PC,AB,.,证明：,(1),作,PO,平面,于,O,点，连结,AO,，并延长交,BC,于,D,.,连结,BO,并延长交,AC,于,E,.,PA,BC,，,BC,AD,(,三垂线定理逆定理,),同理，,AC,BE,，,O,为,ABC,的垂心,(2),连结,OC,，,O,为,ABC,的垂心，,AB,CO,.,又,PO,平面,，,AB,PC,(,三垂线定理,).,例,1,证明：斜线上任意一点在平面上的射影，一定在斜线的射影上,解题思路,如图，,AC,是平面,的斜线，点,C,是斜足，,AB,，点,B,是垂足，则,BC,是,AC,在平面,上的射影,在,AC,上任取一点,P,，过点,P,作,PO,，垂足为,O,.,AB,，,PO,AB,，,点,P,在,A,、,B,、,C,三点确定的平面上，因此，,PO,平面,ABC,，,O,BC,.,错因分析,对于平面,，直线,AB,是垂线，垂足,B,是点,A,的射影；,C,是斜足，直线,BC,是斜线,AC,的射影,在,AC,上任取一点,P,，过,P,作,PO,交,BC,于,O,，,点,P,在平面,上的射影在,BC,上,这样的证明似乎有点道理，事实上这些点也是在这条斜线在该平面的射影上，点在这条斜线在该平面射影上的理论根据不足，过点,P,作,PO,交,BC,于,O,，恰恰是本题易犯的逻辑错误，许多同学在解题中往往错而不觉，对此应引起警觉,例,2,如图所示，在斜三棱柱,A,1,B,1,C,1,ABC,中，底面是等腰三角形，,AB,AC,，侧面,BB,1,C,1,C,底面,ABC,.,(1),若,D,是,BC,的中点，求证：,AD,CC,1,；,(2),过侧面,BB,1,C,1,C,的对角线,BC,1,的平面交侧棱于,M,，若,AM,MA,1,，求证：截面,MBC,1,侧面,BB,1,C,1,C,.,解题思路,(1),AB,AC,，,D,是,BC,中点，,AD,BC,.,底面,ABC,侧面,BB,1,C,1,C,，交线为,BC,.,由面面垂直的性质定理，,可知,AD,侧面,BB,1,C,1,C,.,又,CC,1,侧面,BB,1,C,1,C,.,AD,CC,1,.,由,(1),知,AD,面,BB,1,C,1,C,.,ME,侧面,BB,1,C,1,C,.,又,ME,面,BMC,1,，,面,BMC,1,侧面,BB,1,C,1,C,.,错因分析,要证明截面,MBC,1,侧面,BB,1,C,1,C,，需要在截面,MBC,1,内找一条直线垂直于侧面,BB,1,C,1,C,，将面,面转化为线,面问题，而这条线原图形中没有，需要根据题意找到，作出这条线，这是学生第一个思维受阻的地方，为什么要找,(,作,),这条线，怎样去作，作出来后怎样去用？这是一个较高的能力要求，需要对本题意，对面与面垂直的判定定理熟练掌握，才能顺利作出辅助线，找到证题思路,.,