第三章 不确定性与期望效用理论.pdf

第三章不确定性与期望效用理论重点内容：掌握在风险和不确定性条件下投资者消费 的效用满足的衡量风险的度量方法和投资 者的风险态度、随机占优和均值一方差模 型的引入。第一节风险与不确定性第二节不确定性条件下的效用函数第三节风险厌恶、公平赌局、风险喜好第四节随机占优第五节均值一方差模型第一节确定性、风险与不确定性一、什么是风险与不确定性二、不确定性下建立偏好模型的方法三、不确定性下的决策原则风险、不确定性与不确定性的定义金融决策是时序决策，它们包括：选择，选择的 结果向将来延伸。由于将来是未知的，金融决策 不可避免的在不确定条件下进行。为了开始我们 对金融经济学的研究，必须对“确定”和不确 定”进行概念上的区分。在此基础上，我们然后 才能构筑在不确定条件下决策的标准上层结构。理解不确定条件下决策的原理对于充分评价金融 经济分析的不同论点是必要的。风险、不确定性与利润(1921)Frank Hyneman Knight(15-1972)Knight不承认“风险二不确定性”，提出“风险”是有概率分布的随机性，而“不 确定性”是不可能有概率分布的随机性。Knight的观点并未被普遍接受。但是这一 观点成为研究方法上的区别(一)定义奈特(1938)对风险与不确定性进行了明 确的区分。根据费兰克奈特(FrankHKninght)的观点，所谓“不确 定性”状态，是指那些每个结果的发生 概率尚未不知的事件，如明年是否发生 地震是不确定的。因此，不确定性是指 发生结果尚未不知的所有情形，也即那 些决策的结果明显地依赖于不能由决策 者控制的事件，并且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问题。所谓“风险状态”是指那些涉及以已知概 率或可能性形式出现的随机问题，但排除 了未数量化的不确定性问题。所谓“确定性”指自然状态如何出现已知,并替换行动所产生的结果已知。由于对有些事件的客观概率难以得到，人 们在实际中常常根据主观概率或者设定一 个概率分布来推测未来的结果发生的可能 性，因此学术界常常把具有主观概率或设 定概率分布的不同结果的事件和具有客观 概率的不同结果的事件同时视为风险。也就是说，风险与不确定性有区别，但在 操作上，我们引入主观概率或设定概率分 布的概念，二者的界线就模糊了，几乎成 为一个等同概念。（二）风险来源的不同看法风险与不确定性联系在一起。一项经济活动的 风险可以由其收益的不可预测性的波动性来定 义，而不管收益波动采取什么样的形式。风险与其可能带来的不利后果相联系，一项经 济活动的风险可以由收益波动的损失来定义。一项经济活动的风险是与不确定性和相应的不 利后果相联系的，即以价格或收益的波动衡量 不确定性，在这种不确定性给投资者带来损失 时就构成一项经济活动的风险。（三）在投机与赌博中的风险风险：承担风险一定要求风险补偿。投机：在获取相应报酬时承担一定的风 险。赌博：是为一个不确定的结果打赌或下 注。二、不确定性下建立偏好模型的方法(一)状态偏好方法(Arrow,Debreu,Hirshleifer)用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的 集合，而不是用概率来反映个人所面临的 随机性。不确定性下选择的要素设定:A:可行行为的集合S:可能现实状态的集合C:结果的集合行为aA和SS结合产生的结果CC 函数f把行为与状态和结果对应起来：(s,a)一 c=f(s,a)当经济行为人在可行的行为之间进行选 择时，他们以被选行为产生的结果为基 础进行选择。但是行为对于决定特别的结果来说，常 常是不充足的。其他因素会与选择的行 为相互作用产生一个特别的结果。这些 其他因素，超越了经济行为人的控制，被称为现实状态。大量的现实状态的存在使得目前所采取 的任何行为的将来结果是不确定的。在决定行为的过程中，行为人对现实状态 是不确定的，这些状态将共同确定被选行 为的结果。选择行为a就为每一现实状态决 定了一个结果f(s,a),对A中行为的选取从而 被视为对偶然状态结果的选取。通过观察函数f可以容易区分确定条件下和 不确定条件下的决策。1 若f关于现实状态是不变的，即现实状态 不会影响产生的结果，则可以认为是确定 条件下的决策。2若不同的状态导致不同的结果，则可以 认为是不确定条件下的决策。（二）用概率来描述不确定条件下的决策另一种思考方法。在 本质上它与上面描述的完全相同，但有时更易处理。既然在行为、现实的状态和结果之间的关 系通过函数f：SXAC来描述，在S上定一 个概率测度：对任意aA,存在一个C上的 概率分布：对KC,ProbK:=Probs e S|f(s,a)K简单地说，一个特定结果的概率等于现 实状态的概率，给定一个行为，现实状 态会导致结果。公平的说一个行为的选择总的来说是对 于结果的一个概率分布的选择。考虑不确定条件下决策的一个同等方法 就是将其作为在可选的概率分布之间所 作的选择。不确定条件下的选择的两种方式1,作为一种在依存状态的结果之间进行的 选择2,作为一种在不同结果的概率分布之间进 行的选择三、不确定性下的决策原则（一）确定性下的决策原则收益最 大准则收益最大准则广泛应用于完全没有风险 的情况下。按照这一法则，只需选取收 益率最高的投资机会即可。通过正确的 选择，可以实现投资期末的财富最大化。经济学中的生产者理论和价值理论广泛 使用这一准则。这样的一个收益最大准则可以应用于我们的 不确定环境下的投资决策问题吗？特别是对 于不确定收益的证券的资产组合的选择问题 的应用？下面的例子表明，收益最大准则仅 可以收益确定的环境中，而在收益不确定的 情形，收益最大准则并不适用。二）不确定性下理性决策的三种原则 数学期望最大化原则期望效用最大原则后期望效用最大原则最大期望收益准则不确定的条件下最大期望收益准则是指使用投资收益的预 期值比较各种投资方案优劣。这一准则有 其合理性，它可以对各种投资方案进行准 确的优劣比较，同时这一准则还是收益最 大准则在不确定情形下的推广。是否期望收益最大准则就是一个最优的 决策法则呢？圣彼得堡悖论18世纪的一个经典的例子圣彼得堡 悖论，这个例子说服18世纪的学者期望 收益最大化原则不是最合适的在不确定 性下的决策原则。“圣彼德堡悖论”问题考虑一个博弈，掷硬币直到头部出现为止。当头部出现时，如果投掷次数为X,则奖励 金额为2X-1元。一旦头部出现，博弈终止。从理论上来说，这一博弈可以无限进行下 去。但为了参加这一博弈，愿意支付多少 金额？有这样一场赌博：第一次赢得1元，第一次 输第二次赢得2元，前两次输第三次赢得4 元，.,一般情形为前n1次输，第n次赢 得2的n-1次方元。问：应先付多少钱，才 能使这场赌博是“公平”？如果用数学期望来定价，答案将是无穷大！但经过试验观察，我们发现，为了参加这一 游戏，们愿意付出的金额在2-3之间。因此，期望收益最大原则并不能解决一切的 不确定性问题。对于证券投资来讲，只追求期望收益最大化 投资者绝不会选择一个多元化的资产组合。如果一种证券具有最高的期望收益，这个投 资者会把他的全部资金投资于这种证券。如 果几种证券具有相同的最大化期望收益，对 这个投资者来说，投资于若干这些证券的组 合或者只是其中的某一种证券是无差别的。由此可见，如果我们认为多元化是投资的基 本原则的话，我们必须否定仅仅最大化期望 收益原则的目标假定。期望效用准则贝努利提出期望效用准则方法：用期望效 用作为最大化的目标，假设投资者关心的 是期末财富的效用，从而成功解决了圣彼 得堡悖论问题。用期末财富的对数形式或指数形式作为效用 函数，则alog(w)或w1/2表示效用函数,w 表示财富。那么通过简单的计算，可以发现 人们的确定等价财富的确在23元之间。彼得堡大街悖论告诉我们，最大期望收益准 则在不确定情形下的时候可能导致不可接受 的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期 望收益的方案，可能为我们的不确定情形下 的投资选择问题提供最终的解决方案。期望效用原则是期望收益原则的一种替代。根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的 10%的收益一样好；20%的损失也不一定与 2倍的10%损失一样糟后期望效用理论：由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望 效用理论，如前景理论、遗憾理论、加权 的期望效用理论、非线性的期望效用理论 等等行为金融学和非线性经济学对期望效 用的新的解释。第二节期望效用理论一、二元关系与偏好关系二、效用函数三、期望效用函数四、期望效用准则矛盾、二元关系(binary relations)与偏好关 系(preference relationship)一个集合上的二元关系是确定这个集合中 两元素之间的一种联系。有的二元关系所涉及的两个元素有相同的 性质，有的二元关系所涉及的两个元素则 属于不同性质的集合。有的二元关系满足一定的性质，如完全性、传递性、自反性、(非)对称性。我们主 要考虑前三者。如果二元关系满足；对于任意x,y,zX,xy,yz,意味着xNz,则称之具有传递性。如果二元关系满足；对于任意x,yX,要 么xNy,y?x,则称之具有完全性。如果二元关系满足；对于任意xX,有 x?x,则称N具有自反性。定义：偏好关系(preference relationship)是 指具有传递性、完全性、自反性的一个二 兀关系之。给定偏好关系之，称X与y是无差别的，如果 xy,yXo 记为xy称x严格偏好y,如果xNy,yNx不成立。记 作：xy二、效用函数确定性下的选择与福利标 定效用函数：表示偏好关系的函数。X上的偏好 关系可以用效用函数来表示是指存在X到R的 函数U,使得存在x1,x2X,x12x2等价于 U(x1)U(x2)三、期望效用函数给定偏好关系虽然可以用效用函数来表示，但是当可能状态数目非常巨大时，证券组合 是一个高维的向量或随机变量。为此，我们 对效用函数进一步限制，经常用一类更为特 殊的、性质更好的效用函数一期望效用函数。下面我们将讨论在什么情形下，偏好关系不 单单能被效用函数表示，而且是期望效用函 数表示。(一)不确定性下的选择问题与对象不确定性下的选择问题是其效用最大化的 决定不仅对自己行动的选择，也取决于自 然状态本身的选择或随机变化。因此不确定下的选择对象被人们称为彩票(Lottery)或未定商品(contingentcommodity)投资者的证券组合选择抽彩lottery 投资者的消费计划(或者投资收益)也可以 看成一个彩票，Z中的元素为所有可能各种 奖金数额，不妨设Z=z1_.zn,得到奖品 的zi的概率为p(zi),i=1,2.n(z1,p1;.;zn,pn)表示一次性抽彩p gPo二)期望效用函数不确定性下的福利表达方式 在不确定性下，商品量(证券收益)都是随机变量，在所涉及的随机商品量X集合上直接定义效用函数U,它应该满足：Eu1(x)=u(x),u1(x)是一个随机变量，若具体到以概率p取a,以概 率(1p)取b的随机变量x,这种效用函数应满足：pu(a)+(1-p)u(b)=u(x),其含义是一种“未定商品”的效用就等于该“未定商品”所涉及的“确定商品”效用的均值。满足这样条件的效用函数就是期望效用函数或 vonNeumann-Morgenstern 效用函数所谓期望效用函数是定义在一个随机变量 集合上的函数，它在一个随机变量上的取 值等于它作为数值函数在该随机变量上取 值的数学期望。用它来判断有风险利益就 是比较“钱的函数的数学期望”（“而不 是钱的数学期望”）OVNM期望效用函数(上)John von Neumann(1903-1957)(下)Oskar Morgenstern(1902-1977)1944年在巨著对策论与经济行为中 用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险（三）期望效用函数的公理化陈述定理定义在P上的偏好关系，若它满足如下公理,则该偏好关系可以用von Neumann and Morgenstern期望效用函数表示，并且期望 效用函数是唯一的。公理1二元关系是一个定义在P上的偏好关系,满足：自返性传递性完全性公理2(独立性公理或替代公理，Independent or Substitute Axiom)对于 p,qeP,pq,意味着ap+(1-a)r aq+(1-a)r,对任意rP,任意a(0,1)。含义:引入一个额外的不确定性的消费计划 不会改变原有的偏好。也即消费者对于一个 给定事件中的消费p、q的满意程度并不依赖 于如果另外事件发生时消费r将会是什么。公理3(阿基米德公理，Archimedean Axion)对于p,q,rP,pqr,则存在实数 a,be(0,1)使得ap+(1-a)rqbp+(1-b)r 含义:没有哪一个消费计划P好到使得对任意 满足qr的消费计划qj,无论概率b多么小，复合彩票bp+(1b)r不会比q差。同样,没有 哪一个消费计划r,差到使得对任意满足pq 的消费计划p,q,无论概率a多么大，复合彩 票ap+(1-a)r不会比q好。即不存在无限好或无限差的消费计划。(数学 上有类似的阿基米德公理)第三节人们对风险的主观态度与风险度量一、风险的客观度量二、个体风险的主观态度三、确定性等值、风险升水与风险厌恶度星一、风险的客观度量人们一般用离差、方差或标准差来对风险 进行客观度量。二、风险厌恶、公平赌博与风险中性、风 险喜好18世纪著名的数学家Daniel Bernoulli在研 究赌博问题时发现，人们往往对赌博输掉 的钱看得比可能赢的钱跟重。例如:有一个 掷硬币的赌局，假定硬币是完全对称的，正面朝上可以赢2000元，面朝上1分钱也 没有。现在入局费为多少，才能使这场赌 博为一场公平的赌博？1.公平赌博 公平赌博是指不改变个体当前期望收益的 赌局，一个赌局的随机收益为。其变化均 值为E(D=O的赌局。或者公平赌博是指一个 赌博结果的预期只应当和入局费相的赌博。考虑一个博弈，它以概率P有一个正的回 报hi似概率(1-p)有负收益h2,它称为 一个公平的赌博是指ph1+(1-p)h2=0。如果在某场博弈中，某一局中人所赢钱的 数学期望值大于零，那么此人应当先交出 等于期望值的钱来，才可以使得这场赌博 变得公平。或者说公平的赌博得结果的预期只应当和 入局前持有的资金量相等，即赌博得结果 从概率均意义上的应该是不输不赢。思考：有这样一个赌局：抛硬币，字为上 你能得到200元，否则你什么都得不到。如 果参加的本金分别为100,50,0,判断是 否为公平赌博若投资者的初始财富为wo,他不参与一 个公平赌博，则其效用值是U(WO),若参与,则其财富会起变化，变化的财富的期望效 用是以p取(WO+h1),以(1-p)取(WO+h2),比较投资者对二者之间态度，可以判断投资者的风险态度。2.风险厌恶定义：如果投资者参与任何公平赌博，即 u(WO)pu(WO+h1)+(1-p)u(W0+h2),贝ij 称投资者是风险厌恶型此时，函数u是一个 凹函数，更一般的表示为：u(E(W)E(u(W)o个体风险厌恶是指个体不愿意接受或至 多无差异于任何公平的赌博。个体严格风险厌恶是指个体不乐意接受 任何公平的赌博。U的凹性对应着个体风险厌恶；U的严格 凹性对应着个体严格风险厌恶。风险厌恶者之所以回避公平赌博，从直观 来讲，原因是损失带来的“不愉快”量大 于可能的赢所带来的“愉快”量。3.风险喜好定义：如果投资者喜欢参与所有公平的赌 博，BPu(WO)pu(WO+h1)+(1-p)u(WO+h2),则称投资者是风险爱好型。此时，效 用函数u是一个凸函数，更一般的表示为：u(E(W)f(W)=Eu(W)淇中,W=WO+Hf(WO,H)是一个收入额度，当一个完全确定 的收入减去该额度后所产生的效用水平仍 等于不确定性条件下财富的期望效用水平。该额度越大表明投资者为了避免赌博愿交 的罚金越多，因而就越厌恶风险。二）Pratt Pratt-Arrow risk premium定义：考察风险很小的赌博，Pratt-Ar row 风险溢价定义为：/（卬0向=2/(4%)绝对的厌恶风险型对于个体效用函数，定义它的绝对风险厌 恶系数为：用来判断当个体在风险资产与无风险资产 之间行选择时，是否能像对待正常商品一 样对待有风险资产。定义如果RA()是严格递减的函数，即，*。Vz,那么称投资者是递减绝对风 险厌恶的，类似的，若=。，Vz,那么 称投资者是常绝对风险厌恶的，若 竽。，Vz，则称投资者是递增绝对风 险厌恶的。定理（阿罗普拉特定理）对于递减绝对风险厌恶者来说，随着个人财 富的增长，他对风险资产的投资也就越大；对于递增绝对风险厌恶者，随着个人财富的 增加，他对风险资产投资反而减少（视风险 资产为劣质品）；对于常绝对风险厌恶者，他对风险资产投资与财富无关。前面我们已经知道：显示递减绝对风险厌 恶系数的投资者，当财富增加时，他对风 险资产的绝对投资量也会增加，但是，不 能回答，相对于总财富的风险投资比例是 增加还是减少。引入相对风险厌恶的概念 可以回答这一问题。相对的厌恶风险型对于个体效用函数，定义它的相对风险厌 恶系数为：定义：如果Rr O是严格递减的函数，即，。那么称投资者是递减相对 风险厌恶的；若 =0,Vz,那么称投资者是常（不变）相对风险厌恶的；若，则称投资者是递增相对风险厌恶的。定理对于递增相对风险厌恶者，风险资产需求的 财富弹性小于1（即随财富的增加，投资于风险资 产相对于财富的比例下降），对于不变相对风险 厌恶者，风险资产需求的弹性等于1,对于递减相 对风险厌恶者，风险资产需求的财富弹性大于1（即随财富的增加，投资于风险资产相对于财富 的比例上升）。财富弹性：随着财富的增加，投资于风险资产的 比例相对于财富的增加而减少（不变，增加）。究竟现实中的投资者属于哪种风险厌恶类型?普遍接受的看法是，大多数人具有递减绝对 风险厌恶系数和不变相对厌恶系数，这反映 了大多数投资者的投资行为。但也有人认为具有递减绝对风险厌恶系数，递减相对风险厌恶系数也许更能反映大多数 人投资者的行为.第四节随机占优 341随机占优的逻辑偏好关系是随机计划集L上的全序关系，但 是偏好关系是如何形成的？一个合乎逻辑的思想链条是：决策者的特征决定 了其偏好关系，而其偏好关系决定了效用函数的 性质，因此决策者特征的准确描述等价于偏好关 系的准确描述，并且决策者的特征在效用函数层 面上表现为效用函数的形式和相关性质如单 调性、凹凸性等，即给定一个具体的效用函数也 就给定了该效用函数所代表的决策者的所有特征,不给出具体的效用函数而仅仅给出效用函数满足 的若干抽象性质也就是指给定了该决策者的部分 特征。元的所同 的定优不 系设占行 关征机具 序特随就 偏者即优 种策，占 这决同机 足对不随 满着也，。究随系同称 研，关不名 是系序就或 正关偏象式 优的该对形 占间，的现 机之同究表 随素不研的上述分析是建立在同一个个体基础上的，所不同的是掌握的关于该个体特征的信息 集是不同的。随机占优这个概念可以从另 一个角度进行解释：假定存在多个个体，这些个体具有不同的特征，但是面临相同 的随机计划集L。假设Ci表示第i个个体的完全特征集，Pi是 第i个个体在随机计划集L上所有的序关系p(偏序关系和全序关系)所形成的集合。令c表示某一个特征或一类特征形成的集合,如果 N(c)=jc c 则该集合所标示的决策者都具有特征C；令，则该集4中购而秦哀示了具有相同特征的 决策者所具有的共同的序关系。一般而言，集合P中的序关系是偏序关系，除非 所有的决策者具有相同的特征集C,并且c=C,从 而使P仅含有一个元素，并且该元素表示了随机 计划集L上的全序关系；对于具有某一类相同特征 的决策者而言，尽管丛全序关系上鹭目町1同，g 但是可能对随机计勘集L上的部分元素具有相同的 排序，即这一相同的偏序关系不依赖于具体的效 用函数（完全特征）而仅依赖于该类相同的特征。因此，随机占优的研究对象是具有某一%pl特优 的不同决策者在相同的随机计划最L上所作出的一 致判断，研究内容是满足该一致判断的元素之间 的关系。研究随机占优的根本目的是在没有明确个 体具体特征的前提下，根据所掌握的部分 特征信息将随机计划集L简化为新的随机计 划集，即中所具有的元素个数远远少于L中 的元素个数：在单一个体视角下，这样可 大大简化最优化问题的分析；在多个个体 视角下，这样更容易看出异质特征对不同 决策者最优决策的影响，有利于静态比较 分析。假设两种资产A和B,并且这两者的收益率 均在0和1之间；令4 和Ga）分别表示 两者的收益率的累积分布函数，其中 并柱0,1 o FAm=GBm=l342一阶随机占优仅仅知道个体偏好多而厌恶少的行为特征,至于其他特征则一无所知。在这种情况下,如果依然可以判断出对这样的个体而言资 产A偏好于资产B,则称资产A一阶随机占 优于资产B,记作 A Nfsd B一阶随机占优(FSD,First Order Stochastic Dominance)的定义是：vu,u连续并且，如果下式恒成立，即fw(w)rfF(w)f(w)G(w),即 Eu(yvF)Eu(wG)则称分布F(w)一阶随机占优于G(w),表现在资产上，就是资产之间的一阶随机 占优关系。定理3.10 afsd b等价于下列条件之一：等价条件 1：VreO,l,FA(r)0，d表示同分布。3.5.3二阶随机占优一阶随机占优中，假设仅知道个体的效用 函数是连续的和单调增的。而在二阶随机 占优中，则假设仅仅知道个体是风险厌恶 的，即效用函数u是凹函数，满足疗Y0，此时，如果个体判定资产A偏好于资产B,那么称资产A二阶随机占优于资产B,记 作 A Asd B o二阶随机占优的定义:V u,U二阶可微并即且,如果下式恒成立,即 Eu(wf)Eu(wg)则称分布F(w)二阶随机占优于G(w),表现在资产上，就是资产之间的二阶随机 占优关系。定理3.11 A Aso B等价于下列条件之一:等价条件 1：Vre 0,1,FA(r)0,且 w e 0,/(w)=-Zw/(w)=高阶导数均为零。则1 bEw(w)=u(Ew)-uEw)a2(w)=E1(vv)(w)2+cr2(vv)2 2353均值一方差模型概率分布角度 从概率分布的假设出发获得均值一方差模 型，要求该假设对任意偏好关系都成立。在该角度下，当风险资产的收益率服从多 元正态分布时，均值一方差模型是有效的。当风险资产的收益率服从多元正态分布时，根据 正态分布的性质可知，任何正态分布均可被其均 值和方差唯一确定，所有的高阶矩均可以通过均 值和方差计算得到，所以矶&）必然可以表示成 均值和方差的函数，从而期望效用函数可以表示 成均值一方差形式。同时，由于正态分布具有可 加性，即一个由收益率服从正态分布的资产构成 的资产组合，其收益率也服从正态分布，从而使 在该假设基础上的分析具有自恰性。