数列极限部分.ppt

数学竞赛强化讲义,极限与连续,杨建新,数列极限部分,1)设,求,证明:先证明,是递增数列.事实上,假设,成立，则,因此,是递增数列.,用归纳法证明,于是,是有界数列.,显然成立.而,成立.,设,成立，则,因此，,成立.,由单调有界定理,收敛，设,在,两边取极限，得,解得,或,但由于,于是,数列的敛散性,若收敛则求出极限.,2)设数列,由,和,给出,讨论,证明,于是,若,成立,则,极限值为,单调减少,单调增加.,于是,用归纳法可以验证,因此数列是有界的.,3)设,求,证明:显然,首先证明,.,若假设,则,根据归纳法可得,成立.,又由,即,是递增数列且有上界,由单调有界定理知,收敛，,设,在,两边取极限，得,得,解得,或,但由于,因此,从而,证明:注意两个事实：1),单调递增趋于e,单调递减趋于e。,2),4)设,求证：,存在。,有不等式,故,单调下降，且,于是,存在。,注记：,其中,是欧拉常数。,更一般的情形,设,单调递减且,，求证：,存在。,证明:,故,单调下降。而,于是,存在。,2 利用夹逼准则,定理 如果,及,满足下列条件:,(1),，使得,(2),则,的极限存在,且,5)验证,证明 由于,于是,因此,即,利用夹逼准则,于是,若函数,在区间,上连,续，则该函数在区间,上必可积,3 利用定积分,此时极限,存在且与区间,的分法及,的取法无关，,将区间,进行n等分,则,取区间,的右端点:,可用定积分来计算数列的和式极限问题,若函数,在区间,上连续，并有,则,6)求,解:,取 连续函数,满足,7)设,求,解：令,则,故,8)求极限,解：,4 利用微分近似公式,9)设,存在,定义数列,求,利用此结果求极限,解,于是,因此,若令,则,若令,则,5 利用Taylor公式,10)试求,的值,解 利用Taylor公式可得,其中,于是,.其中,为整数,11)设a,1,a,2,是两个不同的实数，用归纳法定义,求数列a,n,的极限.,解:由于,令,则,是公比为,的等比数列.,则,于是,12)设数列,由,给出,求证,证明:显然,是单调减少且趋于0的,而,于是,于是,于是,即,但是,而,于是,因此,设,的极限为0，,可以证明,的极限为0.,13)求最小的,和最大的,使对所有正整数n都有,解:令,则,可证明,时,于是,于是最大的,而最小的,6 施笃兹(stolz)定理.,设 1),(n=1，2，),2),3),则,注2：(,型stolz定理),设对一切充分大的n，,严格递减，且,若,存在，则,也存在，且,14)设,证明,证明:因,故利用Stolz公式，,得,15)设,证明,证明:显然,是单调增加的,又可证明,事实上若,有极限,则,矛盾,因此,又令,由施笃兹(stolz)定理可得.,而,于是,因此,16)求 极限,解,而,于是,17)设,求,解：,则数列有下界，,又,故数列单调减少，易得,18)设数列,满足,请问,收敛吗？,若收敛，求,；若发散，说明理由.,解：,则,单减有下界,根据单调有界定理知,收敛，,令,在,两边取极限得,，于是有,由于,于是,故,，从而,收敛.,而,19)证明：数列,收敛，并求其极限。,证明：设该数列通项为,，则,令,则,由拉格朗日中值定理存在,介于,之间，使得,由题意得,令,则,由,且,由夹逼定理得,即,同理可得,所以，,20)设,证明：,存在，并求此极限值。,证明：令x=1得：,于是,即,因此,单调递减且有下界，,存在,设,对,两边同时取极限得,解得,